안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.
지난 포스팅에서 유리함수의 가장 기본 형태인 반비례 함수 y=k/x의 그래프에 대해 알아봤습니다. 여기서는 이 함수의 그래프의 특징에 대한 얘기를 좀 더 해보겠습니다. 여기서 다루게 될 꼭짓점이나 접선에 대한 내용은 내신을 위한 필수 과정은 아니지만 알아두면 유익하게 활용할 수 있으며, 좀 더 폭넓은 이해가 가능해집니다.
유리함수의 그래프는 직선이 아닌 곡선이기 때문에 그래프를 그릴 때는 몇 가지 점을 찍어서 연결하는 것이 보통입니다. 그렇다면 함수
이러한 점을 '꼭짓점'이라고 부릅니다. 이차함수의 그래프에도 꼭짓점이 존재했던 것처럼 이러한 유리함수의 그래프에도 꼭짓점의 개념이 존재하죠. 현 교육과정의 내용은 아니지만 기하를 공부하면 이차곡선에서 등장합니다. 일반적으로 유리함수
꼭짓점이 가진 있는 특징은 이미 지난 포스팅에서 몇 예제를 통해 알아보았는데, 또 다른 특징은 원점과의 거리가 가장 가까운 그래프 위의 점이라는 겁니다.
유리함수는 그래프 두 개가 동떨어진 채로 대칭인 모양을 이루는 특징을 가지고 있죠. 이러한 곡선을 쌍곡선이라고 부르는데 위의 성질에 의하면 두 그래프에 임의의 두 점을 각각 잡았을 때, 그 두 점 사이의 거리가 가장 가까운 경우 역시 두 점이 모두 꼭짓점인 경우가 됩니다. 그리고 이러한 두 꼭짓점을 연결한 선분을 '주축'이라고 부릅니다. 이런 용어들도 나중에 기하를 공부하면 본격적으로 다루어집니다.
꼭짓점이 원점과의 최단거리가 되는 이유는 다음과 같이 이전에 배운 산술·기하부등식을 이용해서 쉽게 증명할 수 있어요.
산술·기하부등식에 의해 이때, 등호는 |
접선은 주로 미분에서 다루어지는 개념이고 유리함수에서는 특히 다루어지지 않는 부분이긴 하나 위에서 언급한 꼭짓점에서의 접선이 어떻게 생겼는지는 탐구해볼 가치가 있습니다.
■ 유리함수의 그래프의 꼭짓점에서의 접선 |
유리함수의 그래프의 꼭짓점에서의 접선은 주축과 수직이다. |
이해를 위해
그래프가 아무런 변화가 없다면 접선은 변화가 있을까요, 없을까요? 접선에서 변화가 일어난다면 꼭짓점에서의 접선이 두 개 존재한다는 모순이 만들어집니다. 따라서 접선 또한 직선
접선이 대칭을 이루면 직선
이런 식으로
이러한 성질을 이해하면 원점과의 거리가 최소인 점이 꼭짓점인 이유도 위의 그림을 통해 직관적으로 이해할 수도 있겠죠.
추가적으로 다른 점에서 접선을 조금만 더 그어보면 꼭짓점에서의 접선은 모든 접선 중에서 원점과 가장 멀리 떨어진 접선인 것까지 확인할 수 있어요. 이건 여러분들이 직접 탐구하시면서 정리해 보시기 바랍니다.
유리함수
①
위에서 알아본 내용에 의하면 꼭짓점 위에서의 접선은 다음과 같이 직선
이때 꼭짓점 중 제1사분면의 꼭짓점의 좌표가
따라서 답은 ④번입니다.
참고로 이 문제의 모범답안은 유리함수 그래프 위의 점을
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