안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다.수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.
지난 포스팅에서 유리함수의 가장 기본 형태인 반비례 함수 y=k/x의 그래프에 대해 알아봤습니다. 여기서는 이 함수의 그래프의 특징에 대한 얘기를 좀 더 해보겠습니다. 여기서 다루게 될 꼭짓점이나 접선에 대한 내용은 내신을 위한 필수 과정은 아니지만 알아두면 유익하게 활용할 수 있으며, 좀 더 폭넓은 이해가 가능해집니다.
●y=k/x의 그래프의 꼭짓점
유리함수의 그래프는 직선이 아닌 곡선이기 때문에 그래프를 그릴 때는 몇 가지 점을 찍어서 연결하는 것이 보통입니다. 그렇다면 함수 $y=\frac{1}{x}$의 그래프를 그릴 때 가장 먼저 찍게 되는 점이 어디일까요? 그래프를 그려보면 누구나 $(1,~1)$을 가장 먼저 찍을 겁니다. 아니면 제3사분면부터 그린다면 점 $(-1,~-1)$을 먼저 찍겠죠.
이러한 점을 '꼭짓점'이라고 부릅니다. 이차함수의 그래프에도 꼭짓점이 존재했던 것처럼 이러한 유리함수의 그래프에도 꼭짓점의 개념이 존재하죠. 현 교육과정의 내용은 아니지만 기하를 공부하면 이차곡선에서 등장합니다. 일반적으로 유리함수 $y=\frac{k}{x}$의 그래프의 경우 직선 $y=x$ 또는 직선 $y=-x$와의 교점이 꼭짓점이 됩니다. 그리고 그 좌표는 $k$가 양수이면 $(\sqrt{k},~\sqrt{k})$와 $(-\sqrt{k},~-\sqrt{k})$이고 $k$가 음수이면 $(\sqrt{k},~-\sqrt{k})$와 $(-\sqrt{k},~\sqrt{k})$입니다.
꼭짓점이 가진 있는 특징은 이미 지난 포스팅에서 몇 예제를 통해 알아보았는데, 또 다른 특징은 원점과의 거리가 가장 가까운 그래프 위의 점이라는 겁니다.
유리함수는 그래프 두 개가 동떨어진 채로 대칭인 모양을 이루는 특징을 가지고 있죠. 이러한 곡선을 쌍곡선이라고 부르는데 위의 성질에 의하면 두 그래프에 임의의 두 점을 각각 잡았을 때, 그 두 점 사이의 거리가 가장 가까운 경우 역시 두 점이 모두 꼭짓점인 경우가 됩니다. 그리고 이러한 두 꼭짓점을 연결한 선분을 '주축'이라고 부릅니다. 이런 용어들도 나중에 기하를 공부하면 본격적으로 다루어집니다.
꼭짓점이 원점과의 최단거리가 되는 이유는 다음과 같이 이전에 배운 산술·기하부등식을 이용해서 쉽게 증명할 수 있어요.
$y=\frac{k}{x}$위의 한 점을 $(a,~\frac{k}{a})$라 하자. 이 점과 원점과의 거리를 $d$라 하면 $d^2=a^2+\frac{k^2}{a^2}$ 산술·기하부등식에 의해 $a^2+\frac{k^2}{a^2}\geq 2\sqrt{a^2\times \frac{k^2}{a^2}}=2|k|$ 이때, 등호는 $a^2=\frac{k^2}{a^2}$ 즉, $|a|=|\frac{k}{a}|$로부터 $|a|^2=|k|$, $|a|=\sqrt{|k|}$일 때, 성립한다. $k>0$일 때, $a>0$이면 $|a|=\sqrt{|k|}$로부터 $a=\sqrt{k}$이므로 해당 좌표는 $(\sqrt{k},~\sqrt{k})$이다. $a<0$이면 $|a|=\sqrt{|k|}$로부터$-a=\sqrt{k}$이므로 해당 좌표는 $(-\sqrt{k},-~\sqrt{k})$이다. $k<0$일 때, $a>0$이면 $|a|=\sqrt{|k|}$로부터 $a=\sqrt{-k}$이므로 해당 좌표는 $(\sqrt{-k},~-\sqrt{-k})$이다. $a<0$이면 $|a|=\sqrt{|k|}$로부터 $-a=\sqrt{-k}$이므로 해당 좌표는 $(-\sqrt{-k},~\sqrt{-k})$이다.
●y=k/x의 그래프의 접선
접선은 주로 미분에서 다루어지는 개념이고 유리함수에서는 특히 다루어지지 않는 부분이긴 하나 위에서 언급한 꼭짓점에서의 접선이 어떻게 생겼는지는 탐구해볼 가치가 있습니다.
■ 유리함수의 그래프의 꼭짓점에서의 접선
유리함수의 그래프의 꼭짓점에서의 접선은 주축과 수직이다.
이해를 위해 $k$가 양수일 때 $y=\frac{k}{x}$의 그래프를 살펴보겠습니다. 유리함수 $y=\frac{k}{x}$의 그래프는 직선 $y=x$와 대칭임을 이미 알고 있죠. 따라서 주어진 함수의 그래프는 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동을 해도 그 결과는 다음과 같이 아무런 변화가 없습니다.
그래프가 아무런 변화가 없다면 접선은 변화가 있을까요, 없을까요? 접선에서 변화가 일어난다면 꼭짓점에서의 접선이 두 개 존재한다는 모순이 만들어집니다. 따라서 접선 또한 직선 $y=x$와 대칭이 되어야 합니다.
접선이 대칭을 이루면 직선 $y=x$에 의해 나누어진 각 또한 모두 같아야 하죠. 그런데 직선은 $180^{\circ}$이므로 이 각을 이등분한 직각이 될 수밖에 없는 거예요.
이런 식으로 $k$가 음수인 경우에도 똑같이 생각해 볼 수 있습니다.
이러한 성질을 이해하면 원점과의 거리가 최소인 점이 꼭짓점인 이유도 위의 그림을 통해 직관적으로 이해할 수도 있겠죠.
추가적으로 다른 점에서 접선을 조금만 더 그어보면 꼭짓점에서의 접선은 모든 접선 중에서 원점과 가장 멀리 떨어진 접선인 것까지 확인할 수 있어요. 이건 여러분들이 직접 탐구하시면서 정리해 보시기 바랍니다.
유리함수 $y=\frac{2}{x}$의 그래프 위를 움직이는 점 P와 직선 $y=-x$사이의 거리의 최솟값은? [2015기출변형/4점]
① $1$ ② $\sqrt{2}$ ③ $\sqrt{3}$ ④ $2$ ⑤ $\sqrt{5}$
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