역함수의 그래프 및 교점 구하는 방법, y=x와의 관계에 대한 자세한 이해 (고1수학 함수)
함수와 역함수의 그래프의 교점은 대체로 직선 y=x 위에 나타나는 편입니다. (그림 출처: Speros' blog)
안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다.수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.
직전 포스팅까지 역함수의 개념 및 성질에 대해 공부를 해봤는데요. 역함수와 관련해서 많이 물어볼 수 있는 유형이 역함수의 그래프입니다. 이번 포스팅에서는 역함수의 그래프의 성질에 대해 알아보고 더 나아가서 본 함수와 역함수의 그래프의 교점에 대해 알아보도록 하겠습니다.
●역함수의 그래프
함수 $y=f(x)$의 역함수 $y=f^{-1}(x)$가 존재할 때, 함수 $y=f(x)$의 그래프 위의 점을 $(a,~b)$라고 하면
$b=f(a) \Leftrightarrow a=f^{-1}(b)$
가 성립합니다. 이 말은 즉, 점 $(a,~b)$가 함수 $y=f(x)$의 그래프 위의 점이면 점 $(b,~a)$는 역함수 $y=f^{-1}(x)$의 그래프 위의 점이 된다는 뜻이에요.
지난 포스팅에서 주어진 함수 $y=f(x)$의 역함수를 구할 때도 주어진 식을 $x$에 대하여 정리한 다음 $x$와 $y$를 바꿔서 구했었죠. 그런데 $x$와 $y$를 바꾸는 작업은 이미 도형의 대칭이동을 공부할 때 한 적이 있었습니다. 다음과 같이 직선 $y=x$에 대한 대칭이동을 할 때였죠.
대칭이동 관련 포스팅 (https://holymath.tistory.com/entry/대칭이동의기본)
이상으로부터 함수와 그 역함수의 그래프 사이에는 다음과 같은 관계가 성립합니다.
■ 함수와 그 역함수의 그래프
함수 $y=f(x)$의 그래프와 그 역함수 $y=f^{-1}(x)$의 그래프는 직선 $y=x$에 대하여 대칭이다.
함수 $y=ax+b$의 역함수의 그래프가 두 점 $(1,~1)$, $(4,~2)$를 지날 때 $3a+b$의 값을 구하시오.
이차함수는 원래 일대일이 안 되기 때문에 역함수를 생각할 수 없지만, 이 문제처럼 정의역을 제한하여 일대일함수가 되도록 하면 치역과 공역이 같은 것으로 간주하여 그 역함수를 생각할 수 있습니다. 실제로 $y=f(x)$의 그래프와 역함수 $y=f^{-1}(x)$의 그래프는 다음과 같이 그려집니다.
그리고 직선 $y=x$와의 대칭성에 의해 두 함수의 그래프의 교점은 직선 $y=x$ 위에 존재하는 걸 위의 그림으로부터 확인할 수 있어요. 이 원리를 고려하지 않는다면 그냥 막연하게 역함수 $y=f^{-1}(x)$를 직접 구해서 식을 연립할 수도 있으나 그 과정이 조금 번거롭죠. 따라서 이런 유형의 핵심 전략은 $y=f(x)$의 그래프와 $y=f^{-1}(x)$의 그래프와의 교점 대신 $y=f(x)$의 그래프와 직선 $y=x$의 교점을 구하는 겁니다.
위의 예제처럼 함수와 그 역함수의 그래프의 교점을 구할 때 직선 $y=x$와 연립하는 것은 흔히 물어볼 수 있는 유형입니다. 그렇다면 여기서 의문이 한 가지 들 수 있겠죠. 역함수와의 교점을 구하는 문제는 항상 이렇게 풀 수 있는가입니다. 결론부터 얘기하면 '그렇지 않다'입니다. 그래서 여기서부터는 좀 더 심도 있게 들어가서 역함수의 그래프와 직선 $y=x$는 무슨 관계가 있는지 알아보겠습니다.
■ 보충 정리 1) $y=x$와의 교점과 $y=f^{-1}(x)$의 그래프와의 교점의 관계
역함수가 존재하는 함수 $y=f(x)$에 대하여 $A=\left\{\left.\begin{matrix} (x,~y)~\end{matrix}\right|~\begin{cases} y=f(x) & \\ y=x & \end{cases} \right\}$, $B=\left\{\left.\begin{matrix} (x,~y)~\end{matrix}\right|~\begin{cases} y=f(x) & \\ y=f^{-1}(x) & \end{cases} \right\}$이라 하면 $A\subset B$
위의 정리는 충분조건 기호($\Rightarrow $)를 사용해서 다음과 같이 전개할 수 있어요.
즉, $(x,~y)\in A$를 가정했더니 $(x,~y)\in B$가 되었습니다. 이것은 집합 $A$의 모든 원소가 집합 $B$에 속한다는 뜻이므로 $A\subset B$임이 증명됩니다. 그리고 이 정리에 의해 $y=f(x)$와 $y=x$의 교점은 $y=f^{-1}(x)$와의 교점의 일부가 된다는 결론을 내릴 수 있죠.
위의 정리에서 $B\subset A$는 일반적으로 성립하지 않습니다. 즉, 일반적으로 $A=B$는 성립하지 않는다는 거죠. 다시 말해 $\begin{cases} y=f(x) & \\ y=x & \end{cases}$를 통해 역함수와의 교점을 찾았다 해도 그것이 전부는 아닐 수도 있다는 거예요. 다음의 예시를 보겠습니다.
중학교 때 배운 반비례 함수 $y=-\frac{1}{x}$을 생각해봅시다. 이 함수의 그래프는 다음과 같습니다.
그래프를 통해서도 확인할 수 있듯이 이 함수의 역함수는 자기 자신이에요. 즉, 그래프 위의 모든 점이 역함수와의 교점이 됩니다. 반면 직선 $y=x$와는 만나지 않으므로 이 경우 $A=\left\{\left.\begin{matrix} (x,~y)~\end{matrix}\right|~\begin{cases} y=f(x) & \\ y=x & \end{cases} \right\}=\varnothing $이 되고 $B=\left\{\left.\begin{matrix} (x,~y)~\end{matrix}\right|~\begin{cases} y=f(x) & \\ y=f^{-1}(x) & \end{cases} \right\}$ $=\left\{\left.\begin{matrix} (x,~y)~\end{matrix}\right| ~xy=-1 \right\}$이 되므로 $A\subset B$만 성립하게 됩니다.
따라서 역함수와의 교점을 구할 때 맹목적으로 직선 $y=x$와 연립하면 교점을 다 찾아내지 못할 수도 있습니다.
함수 $y=-x^2+1~(x\geq 0)$의 그래프와 그 역함수의 그래프와의 교점의 개수는?
$x\geq 0$의 범위에서 방정식의 해를 모두 구하면 $x=0$ 또는 $x=1$ 또는 $x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$가 됩니다.
따라서 서로 다른 실근의 개수는 $3$이므로 답은 ④번입니다.
위의 예제에서 만약, 역함수와의 교점을 구하기 위해 본 함수의 식과 $y=x$를 연립했으면 다음과 같이 풀립니다.
$-x^2+1=x$, $x^2+x-1=0$ $x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$
그럼 $x=0$ 과 $x=1$은 찾지 못하고 해를 하나만 찾게 되어 오답이 되죠. 실제로 함수 $y=-x^2+1~(x\geq 0)$과 그 역함수의 그래프를 그려보면 다음과 같습니다.
즉, 위의 예제에서 방정식 $x^2+x-1=0$을 풀어서 구한 $x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$가 바로 주어진 함수 $y=-x^2+1~(x\geq 0)$의 그래프와 직선 $y=x$와의 교점의 좌표가 되는 거예요.
그렇다면 이 방정식의 음수 해인 $x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$가 의미하는 건 뭘까요? 이 해가 생략된 이유는 $x\geq 0$이라는 제약 조건 때문이었죠. 이 제약 조건을 없애면 그 그래프 또한 생략 없이 그려지게 되면서 $x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$는 다음과 같이 제3사분면 위에서의 직선 $y=x$와의 교점의 좌표를 나타냅니다.
다행히도 실제 시험에서는 위의 예제와 같이 교점이 직선 $y=x$ 외에도 존재하는 경우는 거의 출제하지 않습니다. 그렇다고 확신할 수는 없죠. 보통은 $y=x$와 연립해서 충분히 교점을 구할 수 있는 경우를 출제하는데 그래도 맹목적으로 연립하는 것보다는 $y=x$와 연립해도 되는 상황인지 적절히 파악하고 접근하는 것이 바람직합니다.
다음 정리는 언제 이런 풀이를 마음 놓고 써먹어도 되는지 대략적인 방향을 제시해 줄 수 있습니다.
■ 보충 정리 2) $y=x$와의 교점과 $y=f^{-1}(x)$의 그래프와의 교점의 관계
역함수가 존재하는 함수 $y=f(x)$에 대하여 $A=\left\{\left.\begin{matrix} (x,~y)~\end{matrix}\right|~\begin{cases} y=f(x) & \\ y=x & \end{cases} \right\}$, $B=\left\{\left.\begin{matrix} (x,~y)~\end{matrix}\right|~\begin{cases} y=f(x) & \\ y=f^{-1}(x) & \end{cases} \right\}$이라 할 때, 함수 $f$가 순증가함수이면 $A= B$
교육과정에 등장하지 않는 '순증가함수'라는 용어가 나왔으니 간단히 정의하고 갈게요.
'순증가함수'란 그래프가 항상 올라가는 형태의 함수로 다음을 만족하는 함수입니다.
$x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$
반대로 그래프가 항상 내려가는 형태로서 $x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$를 만족하는 함수를 '순감소함수'라고 부릅니다.
일반적으로 다항함수와 같이 그래프가 연속적으로 이어져 있는 함수가 역함수가 존재하는 일대일대응이라면 그 함수는 순증가함수이거나 순감소함수입니다. 위의 정리는 함수가 순증가함수일 경우 $y=f(x)$와 $y=f^{-1}(x)$의 그래프의 교점은 오직 직선 $y=x$위에서만 나타난다는 의미이며 이 경우, $y=x$와 연립하면 그 교점을 모두 찾을 수 있음을 의미합니다.
위의 정리의 증명은 다음과 같이 귀류법으로 해결할 수 있어요.
함수 $f$가 순증가함수일 때 $y=f(x)$와 $y=f^{-1}(x)$의 그래프의 교점이 직선 $y=x$가 아닌 다른 곳에 존재한다고 가정하고 그 점을 $(a,~b)$라 하면
$\begin{cases} b=f(a) & \\ b=f^{-1}(a) & \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} b=f(a) & \\ a=f(b) & \end{cases}$ 즉, $(b,~a)$도 $y=f(x)$ 위의 점이 됩니다. 다시 말 해, $y=f(x)$의 그래프는 두 점 $(a,~b)$, $(b,~a)$을 모두 지나게 됩니다. 이제 $b=f(a)$와 $a=f(b)$임을 이용하면 $a<b$ 일 때, $f(a)-f(b)=b-a>0$이므로 $f(a)>f(b)$ $a>b$ 일 때, $f(a)-f(b)=b-a<0$이므로 $f(a)<f(b)$ 인데 이는 $f$가 순증가함수임에 모순이죠. 따라서 위의 정리는 참이 됩니다.
집합 $X=\left\{x~|~x\geq 1\right\}$에 대하여 함수 $f:X~$→$~X$가 $f(x)=x^2-2x+2$이다. 방정식 $f(x)=f^{-1}(x)$의 모든 근의 합은? [2016.06/3점]
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