유리함수의 평행이동, y=k/(x-p)+q에 대한 자세한 이해 (고1수학 함수)

유리함수의 평행이동, y=k/(x-p)+q에 대한 자세한 이해 (고1수학 함수)

지구의 표면에서 멀어지면 중력의 영향이 줄어들어 무게가 감소합니다. 지구의 반지름을 r, 해발 고도 0에서의 몸무게를 w₀라 하면 고도 h에서의 몸무게 W는 W=w₀×r/(h+r)과 같은 유리함수로 표현됩니다. (그림 출처: pixabay)

 

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 이전 포스팅까지 유리함수를 정의하고 반비례 함수인 y=k/x의 그래프를 공부해 봤습니다. 이것 말고도 유리함수는 식을 어떻게 꾸미느냐에 그 종류는 무수히 많지만, 고등학교 교육과정에서 유리함수는 일차식과 일차식의 비로 이루어진 함수까지만 공부합니다. 그리고 그 함수의 그래프의 모양은 함수 y=k/x의 그래프와 같습니다. 그렇다면 이들 간의 차이는 무엇일까요?

● y=k/(x-p)+q의 그래프의 특징

위의 질문의 답은 바로 평행이동입니다. 평행이동은 도형의 방정식 단원에서 공부했던 내용이고 도형의 이동 중에 가장 기본이고 기초가 되는 이동이죠. 그리고 유리함수 $y=\frac{k}{x}$의 그래프는 이미 중학교 1학년 때 공부했던 거죠. 이렇게 기초적인 내용으로 다음과 같이 일차식과 일차식의 비로 이루어진 함수까지 연결하여 탐구할 수 있습니다.

그리고 이 함수까지 도달하기 위해서 다음과 같이 $y=\frac{k}{x}$의 그래프를 평행이동한 함수를 먼저 생각할 수 있어요.

중학교에서 이차함수를 공부할 때도 $y=a(x-p{)}^2+q$ 형태의 함수를 공부했듯이 위의 유리함수는 유리함수 $y=\frac{k}{x}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $p$만큼, $y$축의 방향으로 $q$만큼 평행이동한 함수입니다.

자료 출처: EBS 수학의 왕도 수학 하

이렇게 평행이동을 하면 그래프와 관련된 모든 성질들이 함께 평행이동을 하게 됩니다. 우선 $y=\frac{k}{x}$에서 대칭의 중심이었던 $(0,0)$ 또한 $x$축의 방향으로 $p$만큼, $y$축의 방향으로 $q$만큼 평행이동한 점 $(p,q)$가 바로 $y=\frac{k}{x-p}+q$의 그래프의 대칭의 중심이 됩니다.

그리고 유리함수의 그래프를 해석하는데 가장 중요한 것이 점근선이라고 했죠. 이 점근선 또한 평행이동을 하여 대칭의 중심인 $(p,q)$를 지나게 되므로 $x$축이었던 직선 $y=0$은 $y$축의 방향으로 $q$만큼 평행이동한 직선 $y=q$가 되고, $y$축이었던 직선 $x=0$은 $x$축의 방향으로 $p$만큼 평행이동한 직선 $x=p$가 됩니다.

그리고 정의역과 치역, 대칭축까지 포함하여 총 정리하면 다음과 같습니다.

■ 유리함수 $y=\frac{k}{x-p}+q(k\ne 0)$의 그래프

① 정의역은 $\{x|x\text{는}x\ne p\text{인 실수}\}$이고 치역은 $\{y|y\text{는}y\ne q\text{인 실수}\}$이다. ② $k>0$이면 그래프는 증가하고 $k<0$이면 그래프는 감소한다. ③ 점 $(p,q)$, 직선 $y-q=x-p$, 직선 $y-q=-(x-p)$에 대하여 대칭이다. ④ 점근선은 두 직선 $x=p$, $y=q$이다. ⑤ $k$의 절댓값이 작을 수록 그래프는 점근선에 가까워진다.

 

● y=k/(x-p)+q의 그래프를 그리는 요령

이러한 함수의 그래프를 그릴 때는 $y=\frac{k}{x}$의 그래프를 먼저 그린 다음 $x$축과 $y$축을 점근선으로 바꿔서 새로운 $x$축과 $y$축을 그려주면 편리하고 정확하게 그릴 수 있어요.

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예를 들어, 함수 $y=\frac{1}{x-2}+1$의 그래프를 그려보겠습니다. 이 함수의 그래프는 함수 $y=\frac{1}{x}$의 그래프를 평행이동 한 것이므로 우선 다음과 같이 $y=\frac{1}{x}$의 그래프를 먼저 그립니다.

그리고 이 그래프를 평행이동하면 되는데 유리함수의 그래프는 곡선 모양이므로 상대적으로 다루기 쉬운 점근선을 먼저 평행이동합니다. 즉, 위의 그림에서 $x$축과 $y$축을 각각 두 직선 $x=2$, $y=1$으로 바꾸고 새로운 $x$축과 $y$축을 다음과 같이 표시하면 $y=\frac{1}{x-2}+1$의 그래프가 완성됩니다.

이렇게 하면 기존의 두 꼭짓점 $(1,1)$과 $(-1,-1)$을 지나던 유리함수 $y=\frac{1}{x}$의 그래프는 두 꼭짓점 $(3,2)$과 $(1,0)$을 지나는 그래프가 됩니다. 위치만 바뀌었을 뿐 그래프의 근본 성질은 변하지 않았으므로 그래프 위의 한 점과 두 점근선의 교점을 꼭짓점으로 하는 직사각형의 넓이가 $2$로 일정하다는 점은 여전합니다. 따라서 이러한 성질을 고려한다면 다음과 같이 $x$, $y$에 각각 $0$을 대입하여 일일이 방정식을 풀지 않고도 그래프의 $x$절편과 $y$절편이 각각 $1$, $\frac{1}{2}$가 된다는 것을 직관으로 알 수도 있죠.

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이렇듯 유리함수의 그래프의 평행이동은 점근선의 평행이동에 주목해야 합니다. 이전에도 얘기했듯이 점근선은 다루기 쉬운 직선으로 곡선의 그래프의 모양을 해석해주는 유용한 도구이기 때문이에요. 사실 유리함수의 그래프는 대칭의 중심을 기준으로 확대해서 보면 곡선 두 개가 배치된 모양이지만, 그래프를 축소해서 조금만 멀리서 바라보면 십자가 모양의 두 점근선의 모양과 거의 차이가 없습니다. 다음 그림은 유리함수 $y=\frac{1}{x}$의 그래프를 눈금 한 칸의 길이가 10이 되도록 그린 것입니다. 이 정도로만 축소해도 그래프는 두 점근선에 매우 가깝게 그려지죠. 만약 눈금 한 칸의 길이를 백, 천, 만이 되도록 더욱 축소하면 육안으로는 그래프를 두 점근선과 구별할 수 없게 됩니다.

 

● 연습 문제 풀이

 

유리함수 $f(x)=\frac{2}{x-a}+3a-1$에 대하여 직선 $y=x$가 곡선 $y=f(x)$의 두 점근선의 교점을 지날 때, 상수 $a$의 값은?  [2015고2.06/3점]

① $\frac{1}{6}$     ② $\frac{1}{3}$     ③ $\frac{1}{2}$     ④ $\frac{2}{3}$     ⑤ $\frac{5}{6}$

주어진 수식 $f(x)=\frac{2}{x-a}+3a-1$로부터 두 점근선의 교점은 $(a,3a-1)$임을 바로 알 수 있어요. 그리고 직선 $y=x$가 이 점을 지나므로

    $a=3a-1$
    $2a=1$
    $a=\frac{1}{2}$

따라서 답은 ③번입니다.

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함수 $f(x)=\frac{a}{x-6}+b$에 대하여 함수 $y=|f(x+a)+\frac{a}{2}|$의 그래프가 $y$축에 대하여 대칭일 때, $f(b)$의 값은? (단, $a$, $b$는 상수이고, $a\ne 0$이다.)  [2020고2.03/4점]

① $-\frac{25}{6}$     ② $-4$     ③ $-\frac{23}{6}$     ④ $-\frac{11}{3}$     ⑤ $-\frac{7}{2}$

$f(x)=\frac{a}{x-6}+b$의 꼴로 이루어진 유리함수라면 $y=f(x)$의 그래프는 다음과 같이 나타나므로 일반적으로 $y$축에 대하여 대칭이 될 수 없습니다.

 이러한 모양은 $y=f(x)$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $-a$만큼, $y$축의 방향으로 $\frac{a}{2}$만큼 평행이동한 함수인 $y=f(x+a)+\frac{a}{2}$의 그래프도 마찬가지겠죠.

 그런데 이 함수의 식에다가 절댓값을 씌운 $y=|f(x+a)+\frac{a}{2}|$의 그래프가 $y$축에 대하여 대칭이 된다는 게 문제의 조건입니다.

식 전체에다가 절댓값을 씌운다는 건 함숫값이 음수가 될 경우 양수로 바꾸겠다는 것이므로 $x$축 아래로 내려가는 그래프는 $x$축에 대하여 대칭이동을 시키겠다는 뜻이죠. 그렇게 해서 위의 그래프가 $y$축과 대칭이 된다는 건 결국 가로 방향의 점근선 아래에 있는 그래프를 위쪽으로 접어 올려서 다음과 같이 엉덩이 모양의 그래프가 되도록 한다는 겁니다.

 그리고 두 점근선이 바로 $x$축과 $y$축이 되도록 하면 $y$축과 대칭인 그래프를 완성하게 됩니다.

따라서 $y=f(x+a)+\frac{a}{2}$의 두 점근선은 $x$축과 $y$축이 되어야 한다는 게 이 문제의 핵심이 됩니다. 그리고 이를 $x$축의 방향으로 $a$만큼, $y$축의 방향으로 $-\frac{a}{2}$만큼 평행이동한 그래프인 $y=f(x)$의 점근선은 두 직선 $x=a$, $y=-\frac{a}{2}$가 되는 거고요.

그런데 $f(x)=\frac{a}{x-6}+b$이므로 $a=6$, $b=-\frac{a}{2}$

따라서 $b=-3$

따라서 $f(x)=\frac{6}{x-6}-3$ 입니다.

$f(b)=f(-3)=\frac{6}{-3-6}-3=-\frac{11}{3}$

따라서 답은 ④번입니다.

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