안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다.수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.
이전 포스팅까지 역함수에 대한 개념을 알아보았는데요. 함수에 대한 기초 이론은 여기까지이고 이번 포스팅부터는 특별한 수식에 의한 함수를 알아보려고 합니다. 현재까지 우리가 배운 함수의 수준은 이차함수까지 인데요. 오늘은 유리식과 유리함수의 개념에 대해 알아보겠습니다.
●유리식의 뜻
유리함수는 유리식으로 된 함수를 의미합니다. 그렇다면 여기서 필요한 건 유리식의 뜻이죠. 유리식이라고 하면 연상되는 수는 유리수입니다. 그리고 유리수의 정의는 다음과 같습니다.
유리수: 두 정수의 비로 나타낼 수 있는 수 (단, 분모는 $0$이 아니다.)
즉, 유리수는 분수 개념이 필요한 수이죠. 이에 따라 유리식은 다음과 같이 다항식과 다항식의 비로 나타내어지는 식을 의미합니다.
그리고 다항식은 하나 이상의 항으로 연결된 식을 의미하며, 항은 문자 및 수의 곱으로 이루어진 식이죠. 즉, $-3$, $4$와 같이 상수로만 이루어진 식도 다항식에 해당하므로 분모 및 분자가 상수인 식도 유리식에 해당합니다. 즉, 다항식도 유리식에 포함되는 개념이며 위의 예시에서 다음 식이 다항식이자 유리식이 됩니다.
그리고 나머지 식들은 분모에 미지수가 들어가므로 다항식은 아니에요. 다음과 같이 다항식이 아닌 유리식은 '분수식(교육과정 외의 용어)'이라 부르기도 합니다.
다음 그림을 통해 유리식의 개념을 익혀보세요.
자료 출처: EBS 수학의 왕도 수학 하
●유리식의 연산
유리식의 뜻을 배웠으니 그다음으로 필요한 건 연산이죠. 연산은 특별한 것은 없고 다음과 같이 우리가 늘 했던 분수계산의 법칙을 그대로 따릅니다.
유리식의 분모가 서로 다를 때는 다음과 같이 통분을 하여 계산합니다.
자료 출처: EBS 수학의 왕도 수학 하
유리식의 곱셈에서 분모, 분자에 같은 식이 있으면 다음과 같이 약분하여 계산할 수 있습니다. 단, 약분할 식이 $0$이 아니어야겠죠.
위에서도 얘기했듯이 유리함수란 이러한 유리식으로 이루어진 함수를 말합니다. 따라서 다음과 같이 다항함수도 유리함수에 해당됩니다.
자료 출처: EBS 수학의 왕도 수학 하
마찬가지로 위에서 다항함수가 아닌 유리함수를 '분수함수(교육과정 외의 용어)'라고 부르기도 합니다.
함수를 정의할 때 가장 먼저 고려해야 할 것은 정의역이죠. 그동안 우리가 공부했던 다항함수와 지금 정의한 유리함수의 큰 차이점은 분모에 변수가 들어가기 때문에 분모가 $0$이 되는 $x$에서는 함수가 정의되지 않는다는 것입니다. 따라서 이러한 함수를 배우기 위해 고등학교에서 집합을 이용한 함수의 정의가 필요했던 거죠.
사실 우리는 이미 유리함수의 한 형태를 배운 적이 있었죠. 바로 중1 때 처음 함수를 공부하고 나서 배운 반비례 함수입니다.
그리고 대표이미지에서 보여준 것과 같이 이들 함수는 $x=0$에서는 정의되지 않는다는 것을 알고 있죠.
이렇게 일반적으로 유리함수에서 정의역이 주어지지 않을 때에는 분모가 $0$이 되지 않도록 하는 실수 전체의 집합을 정의역으로 합니다.
자료 출처: EBS 수학의 왕도 수학 하
예를 들어 함수 $y=\frac{x-1}{x-1}$는 분모, 분자를 약분해서 $y=1$인 것처럼 보이지만 사실 $y=1$와 똑같은 함수는 아니죠. 왜냐하면 $x=1$일 경우 $\frac{0}{0}$이 되는데, 어떠한 경우에도 분모에 $0$이 들어가는 수는 정의하지 않으므로 $\frac{0}{0}$ 또한 그 값을 정의할 수 없기 때문입니다. 따라서 함수 $y=\frac{x-1}{x-1}$는 함수 $y=1$ ($x\neq 1$)과 같아서 그 그래프 또한 다음과 같이 점 $(1,~1)$이 비어있는 직선이 됩니다.
물론 분수함수(=다항함수가 아닌 유리함수)이지만 정의역이 실수 전체가 되는 경우도 있어요. 다음과 같은 함수들은 분모가 항상 $0$보다 크거나 작기 때문에 분모가 $0$이 될 일이 없으므로 정의역이 실수 전체가 됩니다.
두 상수 $a$, $b$에 대하여 정의역이 $\left\{x~|~2\leq x\leq a\right\}$인 함수 $y=\frac{3}{x-1}-2$의 치역이 $\left\{y~|~-1\leq y\leq b\right\}$일 때, $a+b$의 값은? (단, $a>2$, $b>-1$) [2018.09/3점]
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