유리함수의 역함수 구하는 법, 역함수의 특징 (고1 수학 함수 개념)

유리함수의 역함수 구하는 법, 역함수의 특징 (고1 수학 함수 개념)

유리함수 y=k/x의 역함수는 자기자신입니다. (그림 출처: 좋은책 신사고)

 

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015 개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 지난 포스팅까지 유리함수에 대해 알아보았는데 이번 포스팅에서는 유리함수의 역함수는 어떻게 생겼는지 알아보겠습니다. 위의 그림에서도 봤듯이 기본적인 유리함수 $y=\frac {k}{x}$의 그래프는 원점에 대하여 대칭일 뿐만 아니라 직선 $y=x$, $y=-x$에 대해서도 대칭이기 때문에 역함수는 자기 자신이 됩니다. 그리고 일반적인 유리함수 $y=\frac {ax+b}{cx+d}$의 그래프도 $y=\frac{k}{x}$의 그래프를 평행이동해서 만들 수 있으므로 그 역함수 또한 $y=\frac{k}{x}$의 그래프를 평행이동해서 만들 수 있어요. 즉, 유리함수 $y=\frac{ax+b}{cx+d}$의 역함수는 전혀 새로운 형태의 함수가 아니라 그 함수 또한 $y=\frac{ax+b}{cx+d}$의 꼴로 나타낼 수 있는 함수가 됩니다.

그럼 이제부터 일반적인 유리함수의 역함수에 대해 알아보도록 하겠습니다.

● $y=\frac{k}{x-p}+q$의 역함수

먼저 유리함수 $y=\frac{k}{x}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $p$만큼, $y$축의 방향으로 $q$만큼 평행이동한 함수 $y=\frac{k}{x-p}+q$의 역함수부터 알아보겠습니다.

역함수를 구할 때는 이전에 배웠던대로 주어진 함수 식을 $x$에 대하여 정리한 다음 $x$와 $y$를 맞바꾸면 되겠죠.

이제 $x$와 $y$를 서로 바꾸면

즉, 기존의 식에서 $p$와 $q$를  서로 바꾼 식이 만들어집니다.

처음 함수 $y=\frac{k}{x-p}+q$의 점근선은 두 직선 $x=p$, $y=q$이죠. 함수의 그래프를 $y=x$에 대하여 대칭이동하면 그 그래프의 점근선 또한 $y=x$에 대하여 대칭이동하는 것이 기본적 발상입니다. 두 직선 $x=p$, $y=q$를 대칭이동하면 기존의 식에서 $x$에 $y$를 대입하고 $y$에 $x$를 대입한

${\color{Red} y}=p$,   ${\color{Red} x}=q$

이 됩니다. 이 두 직선이 바로 함수 $y=\frac{k}{x-q}+p$의 점근선이 되는 겁니다.

즉, 함수 $y=\frac{k}{x-p}+q$의 역함수의 그래프는 평행이동하면 원래 함수와 완전히 겹쳐질 수 있는 합동입니다. 그리고 대칭의 중심은 $(q,~p)$로 원래 함수의 그래프의 대칭의 중심인 $(p,~q)$와 역시 직선 $y=x$에 대하여 대칭을 이루죠.

그렇다면 역함수가 원래 함수와 일치하기 위한 조건은 무엇일까요? 바로 대칭의 중심끼리 일치하면 되므로 $p=q$가 됩니다.

이상으로부터 다음과 같이 정리할 수 있어요.

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■ $y=\frac{k}{x-p}+q$의 역함수

$y=\frac{k}{x-p}+q$의 역함수는 $y=\frac{k}{x-q}+p$ 본 함수가 역함수와 일치할 조건은 $p=q$이다.

 

두 함수 $f(x)=\frac{3x+5}{2x-4}$, $g(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$  $(ad-bc\neq 0,~c\neq 0)$가 있다. $x\neq 2$, $y\neq \frac{3}{2}$인 모든 실수 $x$에 대하여 $(f\circ g)(x)=x$가 되도록 하는 함수 $y=g(x)$의 그래프의 점근선을 구하시오. (단, $a$, $b$, $c$, $d$는 상수이다.)  [미래엔 수학]

교과서 단원 마무리 문제에 발전문제로 소개되어 있는 문제입니다. $(f\circ g)(x)=x$를 만족하는 $f$, $g$는 역함수 관계이므로 원시적으로 접근하면 $f(x)=\frac{3x+5}{2x-4}$의 역함수를 직접 구해야 할 듯 보이지만, 이 문제는 수식 한 번 안 쓰고도 답을 바로 구해낼 수 있습니다. 

$y=g(x)$의 점근선은 바로 $x\neq \frac{3}{2}$, $y=2$입니다. $f(x)=\frac{3x+5}{2x-4}$에서 $x$는 $2$가 될 수 없으므로 가로로 뻗은 점근선은 $x=2$이고 이 함수를 $y=\frac{k}{x-p}+q$의 꼴로 나타내면 $q=\frac{3}{2}$이므로 세로로 뻗은 점근선은 $y\neq \frac{3}{2}$이죠. 이미 문제에서도 "$x\neq 2$, $y\neq \frac{3}{2}$인 모든 실수"라는 조건으로부터 $y=f(x)$의 그래프의 점근선을 바로 유추할 수도 있습니다.

그렇다면 이 함수의 역함수의 점근선은 $x$와 $y$를 바꾸면서 바로 유도해낼 수 있습니다.

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● $y=\frac{ax+b}{cx+d}$의 역함수

늘 그랬듯이 역함수를 구하려면 기본 원리로 돌아가서 주어진 식을 $x$에 대하여 정리하고 $x$, $y$를 바꿔서 구합니다. 여기서는 우선 분수를 처리하기 위해 양변에 $cx+d$를 곱하는 것부터 시작하면 되겠죠.

이제 $x$와 $y$를 서로 바꾸면

이 함수와 원래의 함수를 비교해보면 상수 $a$와 $d$가 서로 자리를 바꾼 다음 부호를 바꾼 관계임을 알 수 있습니다.

이와 같은 결과로부터 역함수가 원래 함수와 일치하기 위한 조건은 위의 두 식이 일치하기 위한 조건이므로 $a=-d$가 됩니다.

이상으로부터 다음과 같이 정리할 수 있어요.

 

■ $y=\frac{ax+b}{cx+d}$의 역함수

$y=\frac{ax+b}{cx+d}$의 역함수는 $y=\frac{-dx+b}{cx-a}$ 본 함수가 역함수와 일치할 조건은 $a=-d$이다.

 

함수 $f(x)=\frac{bx+c}{x+a}$의 역함수가 $f^{-1}(x)=\frac{2x+1}{x-3}$일 때, 상수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a+b+c$의 값을 구하시오.  [미래엔 수학]

$f(x)=\frac{bx+c}{x+a}$는 $f^{-1}(x)=\frac{2x+1}{x-3}$의 역함수이므로 분수 $\frac{2x+1}{x-3}$에서 $2$와 $-3$를 바꾸고 부호도 함께 바꾸면 구하는 함수는

$f(x)=\frac{bx+c}{x+a}=\frac{3x+1}{x-2}$

입니다. 따라서 $a=-2$, $b=3$, $c=1$임을 바로 구할 수 있어요.

따라서 $a+b+c=2$입니다.

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