무리식, 무리함수에 대한 자세한 이해 (고1 수학 함수)

무리식, 무리함수에 대한 자세한 이해 (고1 수학 함수)

맑은 날 지면으로부터 높이가 h(m)인 곳에서 볼 수 있는 최대 거리는 3600√h (m)라고 합니다. (사진 출처: pixabay)

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽게 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 우리는 중3 때 루트 기호 $\sqrt{}$를 배우고 이 안에 다양한 수를 넣어서 계산하는 법을 배운 일이 있습니다. 여기서는 루트 안에 문자가 들어간 식과 함수에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

● 무리식에 대한 이해

다음과 같이 근호 $\sqrt{}$ 안에 문자가 포함된 식 중에서 유리식으로 나타낼 수 없는 식을 무리식이라고 합니다.

한편, 유리식은 (다항식) / (다항식)의 꼴로 나타내어지는 식을 의미했고 이는 유리수의 정의가 (정수) / (정수)라는 개념에서 만들어진 용어입니다. 마찬가지로 무리식은 우리가 중3 때 근호를 배우면서 무리수의 개념을 도입했기 때문에 만들어진 용어라고 이해할 수 있습니다.

무리식은 근호 안에 문자가 포함된 식이므로 $\sqrt{2}x$, $-\sqrt{3}$ 등은 무리식이 아닙니다. 그리고 근호 안에 문자가 있다 하더라도 $\sqrt{x^4}$은 $x^2$과 같으므로 무리식이라 하지 않습니다.

무리식은 무리함수를 위해 정의한 식이므로 그 값은 역시 실수 내에서만 생각합니다. 그런데 $\sqrt{x}$에서 $x$가 음수가 된다면 이 식의 값은 실수의 범위를 벗어나죠. 따라서 무리식을 다룰 때는 다음의 규칙을 따릅니다.

(근호 안의 식의 값)$\ge 0$,  (분모)$\ne 0$

 

다음 무리식의 값이 실수가 되도록 하는 모든 정수 $x$의 값의 합을 구하시오.

우선 근호 안의 모든 식의 값은 $0$ 이상이어야 하므로

$-x^2+9\ge 0$,  $x+7\ge 0$
$-3\le x\le 3$,  $x\ge -7$
$-3\le x\le 3$

또한, 분모가 $0$이 되어선 안 되므로

$\sqrt{x+7}-2\ne 0$
$\sqrt{x+7}\ne 2$
$x+7\ne 4$
$x\ne -3$

따라서 이를 만족하는 정수 $x$는 $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$이므로 이들을 모두 더한 값은 $3$입니다.

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이제 무리식의 계산을 해볼 건데 중3 때 근호가 포함된 무리수의 계산을 해본 일이 있죠. 근호 안에 숫자가 아닌 문자가 있더라도 무리수 계산하듯이 하면 됩니다. 그리고 분모에 무리식이 포함되어 있을 때는 다음과 같이 유리화하여 간단히 나타낼 수 있습니다. 여기서 말하는 '유리화'는 근호 기호를 없앤다는 것이지 값 자체를 유리수로 만드는 게 아님에 유의하세요.

 

다음 식을 간단히 하시오.  [2016/고1 학평 3점 문제 변형]

분모를 통분하여 다음과 같이 계산합니다.

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● 무리함수에 대한 이해

무리식으로 된 함수를 무리함수라고 합니다. 즉, 함수 $y=f(x)$에서 $f(x)$가 $x$에 대한 무리식이면 이 함수를 무리함수라고 부릅니다. 위에서 제시한 예시에다가 '$y=$'를 붙이면 다음과 같이 무리함수가 됩니다.

함수를 정의했으면 그 함수에 대한 정의역에 대한 얘기가 빠질 수 없죠. 무리식에서 이미 근호 안의 식이 0 이상이 되도록 규정했으니 무리함수의 정의역 또한 특별히 정해주지 않았을 때는 근호 안의 식이 0 이상이 되도록 하는 모든 실수의 집합을 정의역으로 합니다.

따라서 위에서 제시한 세 무리함수의 정의역은 각각 다음과 같습니다.

 

다음 함수의 정의역이 모든 실수의 집합이 되도록 하는 실수 $k$의 최솟값을 구하시오.

$y=(x+2)\sqrt{x^2+6x+k}$

정의역이 모든 실수의 집합이 되도록 하기 위해 고려해야 할 식은 근호 안에 있는 $x^2+6x+k$입니다. 이 식이 $x$의 값에 관계없이 항상 0 이상이 되도록 하는 거죠. 따라서 다음 이차부등식의 해가 모든 실수가 되도록 만드는 문제와 같습니다.

$x^2+6x+k\ge 0$

이제 이 문제를 풀기 위해 필요한 건 판별식이죠.

$D/4=3^2-k\le 0$
$k\ge 9$

따라서 구하는 $k$의 최솟값은 9입니다.

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