무리함수 y=±√ax의 그래프에 대한 자세한 이해 (고1 수학 함수)

무리함수 y=±√ax의 그래프에 대한 자세한 이해 (고1 수학 함수)

태풍이 이동하는 경로는 무리함수의 그래프를 이룹니다.

 

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽게 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 지난 포스팅에서 무리식 및 무리함수의 뜻에 대해 알아보았습니다. 이번 포스팅에서는 본격적으로 무리함수의 그래프의 개형에 대해 알아보겠습니다.

 

● 이차함수 y=x²의 역함수

무리함수는 근호 안에 문자가 포함된 무리식으로 이루어진 함수로서 제일 대표적이면서 간단한 무리함수의 예는 $y=\sqrt{x}$ 이죠. 이 함수의 그래프가 어떻게 그려지는지 알아보겠습니다.

기본적으로 근호 안의 수가 음수가 되어선 안되므로 이 함수의 정의역은 $\{x|x\ge 0\}$입니다. 그렇다면 $y=\sqrt{x}\ge 0$도 성립하므로 치역 또한 $\{y|y\ge 0\}$입니다. 따라서 이 함수의 그래프는 제1사분면에 그려질 것이라고 짐작할 수 있죠.

이제 이 함수의 역함수를 구해보겠습니다. 다음과 같이 $x$에 대하여 정리하고 두 문자를 맞바꾸면

  $y=\sqrt{x}$
  $y^2=x$,  $x=y^2$
  $y=x^2$  $(x\ge 0,y\ge 0)$

이렇게 우리에게 친숙한 이차함수가 되는 것을 알 수 있죠. 따라서 이 그래프를 바탕으로 역함수 $y=\sqrt{x}$의 그래프를 그리면 다음과 같습니다.

그림 출처: 좋은책 신사고 수학

위와 같이 무리함수의 그래프는 이차함수의 그래프를 절반으로 뚝 잘라서 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 모양이 됩니다. $y=x^2$의 그래프가 $x$의 값이 변화할수록 가파르게 증가하는 특성에 따라 이 함수의 그래프는 $x$의 값이 변화할 수록 완만해지는 특성을 보입니다.

 

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● 무리함수 y=√ax의 그래프

이제 변수 $x$에다가 상수배를 해서 만든 함수 $y=\sqrt{ax}(a\ne 0)$의 그래프를 알아보겠습니다. 실수 $a(a\ne 0)$에 대하여 근호 안의 값은 음수가 되면 안 되므로 $ax\ge 0$입니다. 따라서 이 함수의 정의역은

  $a>0$일 때, $\{x|x\ge 0\}$
  $a<0$일 때, $\{x|x\le 0\}$

입니다. 그리고 치역은 $\{y|y\ge 0\}$입니다.

따라서 함수 $y=\sqrt{ax}$의 그래프는 부호에 따라 다음과 같습니다.

그림 출처: 좋은책 신사고 수학

예를 들어 $a=2$, $a=3$이면 각 함수는 $y=\sqrt{2x}$, $y=\sqrt{3x}$이 되면서 $y$의 값은 $y=\sqrt{x}$에 비해서 $\sqrt{2}$배, $\sqrt{3}$배로 증가함을 알 수 있습니다. 마찬가지로 $a=-2$, $a=-3$이면 각 함수는 $y=\sqrt{-2x}$, $y=\sqrt{-3x}$이 되면서 $y$의 값은 $y=\sqrt{-x}$에 비해서 $\sqrt{2}$배, $\sqrt{3}$배로 증가합니다.

즉, $y=\sqrt{ax}(a\ne 0)$의 그래프는 다음과 같이 $a$의 절댓값이 커질수록 $x$축으로부터 멀어지는 특징을 보입니다.

그림 출처: EBS 수학의 왕도

 

● 무리함수 y=-√ax의 그래프

무리함수 $y=-\sqrt{ax}$는 $-y=\sqrt{ax}$로부터 함수 $y=\sqrt{ax}$에서 $y$ 대신 $-y$를 대입하면 만들어지는 함수입니다. 따라서 그 그래프는 다음과 같이 $y=\sqrt{ax}$의 그래프를 $x$축에 대하여 대칭이동한 모양이 되며 치역이 0 이하의 실수집합이 됩니다.

그림 출처: EBS 수학의 왕도

 

이상을 종합하면 다음과 같습니다. 기본적으로 네 함수 모두 원점에서부터 그래프가 시작되며 근호 안의 상수와 밖의 상수가 양수인지 음수인지에 따라 그래프가 몇 사분면 쪽으로 뻗어나가는지 결정됩니다. 

 

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