차수가 큰 복잡한 다항식을 이차식(x²+x+1)으로 나눈 나머지 구하는 법 (고1 수학 나눗셈, 이차방정식의 근)

차수가 큰 복잡한 다항식을 이차식(x²+x+1)으로 나눈 나머지 구하는 법 (고1 수학 나눗셈, 이차방정식의 근)

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽게 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 이차방정식에 대한 포스팅을 계속 다루는 가운데 오늘은 고1 수학의 첫 부분인 다항식의 사칙연산으로 돌아가 볼 거예요. 앞에서 우리는 다항식의 나눗셈을 자연수의 나눗셈과 비슷한 방식으로 하는 요령을 배웠습니다. 대표이미지에 소개한 다음 문제를 볼까요?

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문제. $x^{20}+x^{10}$을 $x^2+x+1$로 나눈 나머지를 구하시오.

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위의 문제를 풀어보실 수 있나요? 완전히 처음 보는 경시대회급 문제처럼 보여도 한 때 EBS 고1 수학 개념서에서도 심화문제로 실린 적이 있었던 유형입니다.

이 문제처럼 다루는 다항식의 차수가 커질 경우 통상적으로 계산하면 매우 복잡해질 텐데요. 일차식으로 나누는 경우에는 나머지정리를 이용해서 나머지를 쉽게 구할 수 있지만, 이차식으로 나눌 때는 나머지정리도 못 쓰죠. 이런 문제를 계산이 아니라 제다항식의 특징을 이용하여 수월하게 풀 수 있는 방법이 있으니 함께 알아보도록 하겠습니다.

 

● 차수가 큰 배수로 나눗셈 하기

특별한 이론 없이 오직 곱셈 공식만 가지고 푸는 방법입니다. 나눗셈의 제다항식 $x^2+x+1$이 이차식이긴 하지만 아무 이차식이 아니라 다음과 같이 특별한 성질을 가진 이차식입니다.

   $(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1$
   $(x^3-1)(x^6+x^3+1)=x^9-1$
   $(x^9-1)(x^9+1)=x^{18}-1$

여기서 계산된 $x^3-1$, $x^9-1$, $x^{18}-1$은 모두 $x^2+x+1$의 배수라는 점이 중요합니다. $x^{20}+x^{10}$와 같은 복잡한 다항식을 $x^2+x+1$로 직접 나누면 엄청 많은 반복된 계산이 필요하지만 $x^9-1$이나 $x^{18}-1$ 등으로 대신 나눗셈을 해주면 계산을 훨씬 간단하게 할 수 있는 거예요.

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우선 $x^{20}+x^{10}$과 차수가 제일 가까운 $x^{18}-1$로 나눗셈을 하면

이고 이 결과를 몫과 나머지로 나타내면

    $x^{20}+x^{10}=(x^{18}-1)x^2+x^{10}+x^2$

입니다. 이 계산만으로 나머지가 $x^{10}+x^2$로 그 차수가 확 줄어들었죠. 이 계산에서 중요한 건  $x^{18}-1$은 $x^2+x+1$로 나누어떨어지기 때문에 $(x^{18}-1)x^2$ 또한 $x^2+x+1$로 나누어떨어진다는 점이에요. 따라서 위의 나눗셈 계산에서 남은 $x^{10}+x^2$만 $x^2+x+1$로 나누어서 나머지를 구하면 그 나머지가 바로 답이 되는 거죠.

이제 $x^{10}+x^2$과 차수가 제일 가까운 $x^9-1$로 나눗셈을 하면

이고 이 결과를 몫과 나머지로 나타내면

   $x^{10}+x^{2}=(x^{9}-1)x+x^{2}+x$

입니다. 즉, 위의 두 번의 계산만으로 주어진 식 $x^{20}+x^{10}$은 다음과 같이 정리됩니다.

   $x^{20}+x^{10}=(x^{18}-1)x^2+(x^{9}-1)x+x^{2}+x$

마지막으로 $x^2+x$를 $x^2+x+1$로 나눈 몫과 나머지는 각각 $1$, $-1$이므로

   $x^{20}+x^{10}=(x^{18}-1)x^2+(x^{9}-1)x+(x^{2}+x+1)-1$

그리고 이 식에서 $x^{18}-1$과 $x^9-1$은 $x^2+x+1$로 모두 나누어떨어지므로 구하는 나머지는 $-1$이 됩니다.

 

● 이차방정식의 근의 성질 이용하기

$x^{20}+x^{10}$을 $x^2+x+1$로 나눈 몫과 나머지를 각각 $Q(x)$, $R(x)=ax+b$라 하면 다음의 항등식을 만들 수 있죠.

   $x^{20}+x^{10}=(x^2+x+1)Q(x)+ax+b$

여기서 $a$와 $b$의 값을 구하면 되고 나눗셈은 곱하기와 빼기를 반복하는 연산이므로 $a$와 $b$ 모두 정수임을 예상할 수 있어요. 두 수를 구하려면 항등식의 성질을 이용해야 하는데 여기서는 이차방정식 $x^2+x+1=0$의 근을 이용합니다. 이 방정식은 허근을 가지므로 이 근을 $\omega$라 하고 위의 식에 대입하면

   $\omega^{20}+\omega^{10}=(\omega^2+\omega+1)Q(\omega)+a\omega+b$

$\omega$는 $x^2+x+1=0$의 근이므로 $\omega^2+\omega+1=0$이죠. 따라서

   $\omega^{20}+\omega^{10}=a\omega+b$

이제 $\omega^2+\omega+1=0$임을 이용하여 $\omega^{20}+\omega^{10}$의 값을 구할 건데 여기서도 역시 $\omega^2+\omega+1$의 특징을 이용합니다.

   $\omega^2+\omega+1=0$
   $(\omega-1)(\omega^2+\omega+1)=0$
   $\omega^3-1=0$,   $\omega^3=1$

따라서

   $\omega^{20}=( \omega^3)^6 \omega^2= \omega^2$
   $\omega^{10}=( \omega^3)^3 \omega= \omega$

이므로 구한 식 $\omega^{20}+\omega^{10}=a\omega+b$은 

   $\omega^2+\omega=a\omega+b$

와 같이 정리됩니다. 또한, $\omega^2+\omega+1=0$으로부터 $$\omega^2+\omega=-1$이므로

   $-1=a\omega+b$
   $-b-1=a\omega$

$\omega$는 허수인데 $a$, $b$는 모두 정수이므로 $-b-1=a\omega$를 만족하는 유일한 경우는 좌변과 우변 모두 $0$이 되는 겁니다. 따라서 $a=0$, $b=-1$이 되므로 구하는 나머지는 $-1$입니다.

 

 

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