루트i는 얼마인가? 허수의 제곱근을 구하는 방법에 대한 자세한 이해 (고1 수학 방정식과 부등식)

루트 i는 얼마인가? 허수의 제곱근을 구하는 방법에 대한 자세한 이해 (고1 수학 방정식과 부등식)

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽게 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 고등학교에 들어와서 이차방정식의 이론을 공부하면서 수 체계를 복소수까지 확장하였고, 그 과정에서 $i$라는 새로운 수를 정의하였습니다. 그리고 이 수는 $i=\sqrt{-1}$로 표현한다는 것까지 배웠죠.

그렇다면 $\sqrt{i}$는 얼마일까요? 제곱근 및 루트의 개념을 배웠고 허수까지 배운 학생이라면 누구나 이러한 질문을 생각할 수 있지만 교과서나 참고서에는 그 어디에도 이 질문에 대한 답을 찾을 수 없습니다. 허수의 제곱근은 고등학교 교육과정에서는 다루지 않기 때문인데요. 오늘은 $\sqrt{i}$는 무엇인지, 그리고 일반적으로 허수의 제곱근은 어떻게 구하는지 알아보도록 하겠습니다.

 

● 루트($\sqrt{}$)의 정의

$\sqrt{i}$가 무엇인지 알려면 루트 자체의 정의를 어떻게 했는지 돌아볼 필요가 있죠. 중학교 3학년 수학 교과서를 통해 정의를 알아봅시다.

출처: 좋은책 신사고 중3 수학

출처: 좋은책 신사고 중3 수학 우

교과서의 정의에 의하면 루트를 정의하기 전에 근본적으로 제곱근을 먼저 정의합니다. $x^2=a$를 만족하는 $x$를 $a$의 제곱근이라 하죠. 여기서 '근(根)'은 뿌리를 의미하는 한자어로 즉, 제곱하기 이전에 뿌리가 되는 수를 의미합니다. 방정식에서 쓰는 근과 같은 의미죠. 그래서 일반적으로 제곱근은 두 개가 있는데 그 둘 중에 하나를 먼저 루트를 표시해서 정의한 다음 나머지 하나는 그 루트에 마이너스($-$)를 달아서 표시한 게 우리가 배운 내용입니다.

비슷한 원리로 $-1$의 제곱근은 $i$와 $-i$로 두 개가 있어요. 이 중에서 우리는 마이너스가 달려있지 않은 $i$를 $\sqrt{-1}$이라 부르기로 정의한 거죠. 이건 논리적 절차로 유도하는 개념이 아니라 그냥 이렇게 정하자고 약속한 겁니다.

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● i의 제곱근

그렇다면 $\sqrt{i}$를 구하려면 $i$의 제곱근이 어떻게 될지 알아봐야겠죠. 인터넷에서 '루트 i'라고 치면 가장 많이 검색되는 유도과정은 다음과 같습니다.

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$x^2=i$를 만족하는 $x$에 대하여 $x=a+bi$ ($a$, $b$는 실수)로 놓으면

    $i=x^2=(a+bi{)}^2=a^2-b^2+2abi$

실수부분과 허수부분을 비교하면

    $a^2=b^2$,  $2ab=1$

$a^2=b^2$에서 $a=\pm b$이므로

$a=-b$일 때 $2ab=-2b^2=1$ 즉, $b^2<0$이므로 $b$가 실수임에 모순이다.

$a=b$일 때 $2ab=2b^2=1$, $b=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

따라서 $a=b=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$이므로 $x=a+ai=a(1+i)=$ $\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)$이다.

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● 루트 i는 얼마인가?

앞의 유도과정에 의해 $i$의 제곱근은 $\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)$ 또는 $-\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)$입니다. 그렇다면 $\sqrt{i}$는 이 둘 중에 하나의 값이 될텐데 누구를 $\sqrt{i}$로 할 것이냐에 대해서는 배운 적이 없죠. 즉, $\sqrt{i}$는 그 표현 자체가 고등학교 교육과정을 벗어납니다. 누군가는 당연히 마이너스 부호가 없는 $\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)$가 $\sqrt{i}$라고 주장하지만 누군가는 정의되지 않는다고 합니다.

참고로 ChatGPT에서는 다음과 같은 기준을 근거로 $\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)$가 $\sqrt{i}$라고 안내합니다.

ChatGPT

 

● 허수의 제곱근

오늘의 포스팅에서 본격적으로 얘기할 부분은 일반적인 허수의 제곱근입니다. $i$ 뿐만 아니라 일반적인 허수에 대해서도 제곱근을 생각할 수 있으며 그 제곱근 역시 복소수 범위에서 모두 구하는 게 가능합니다. 즉, 어떠한 수의 제곱근을 구하든 더 이상 새로운 수 체계는 필요하지 않죠. 복소수의 체계는 이렇게 방정식의 근의 이론을 완벽하게 정리해 줍니다.

그런데 임의의 허수 $a+bi$에 대하여 그 제곱근을 생각한다면 $(c+di{)}^2=a+bi$가 되는 실수 $c$, $d$를 $a$, $b$에 대하여 풀어내야 하는데 그 계산이 상당히 복잡합니다. 이럴 때는 예전에 공부했던 복소평면과 드무아브르 정리를 이용할 수 있어요. (관련 글)

이전에 복소평면에서 다음의 공식을 알려드린 바 있습니다.

$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos (n\theta )+i\sin (n\theta )$

이 정리에 의하면 임의의 복소수는 2제곱, 3제곱, $\cdots$을 하면 그 편각은 2배, 3배, $\cdots$로 늘어나요.

 이 원리를 반대로 생각하면 어떤 복소수의 제곱근을 구하면 그 편각은 반으로 줄어들 것으로 예상할 수 있습니다. 위의 그림에서도 보다시피 $z^2=i$는 $z^4=-1$의 제곱근인데 $z^4=-1$의 편각을 ${180}^{\circ }$이고 $z^2=i$의 편각은 그 절반인 ${90}^{\circ }$임을 알 수 있죠. 마찬가지로 $z^2=i$의 제곱근인 $z=\frac{1+i}{\sqrt{2}}$의 편각은 그 절반인 ${45}^{\circ }$임을 알 수 있습니다.

이제 이 원리로 $i$의 제곱근을 다시 구해보면 일단 하나는 위에서 알아봤듯이 편각이 ${45}^{\circ }$인 $\frac{1+i}{\sqrt{2}}$를 구해낼 수 있죠. 그리고 나머지 하나는 여기에 마이너스를 붙인 $-\frac{1+i}{\sqrt{2}}$이 됩니다. 참고로 복소평면에서 $-\frac{1+i}{\sqrt{2}}$의 위치는 다음과 같으므로 그 편각은 ${225}^{\circ }$예요. 이 각을 두 배하면 ${450}^{\circ }$인데 ${360}^{\circ }$만큼 돌리면 다시 원래의 위치로 돌아오므로 이 각 역시 $i$를 나타냄을 알 수 있습니다.

이렇게 편각을 절반으로 줄이는 원리를 이용하면 $i=x^2=(a+bi{)}^2=a^2-b^2+2abi$에서 $a$, $b$를 구하는 복잡한 계산을 하지 않고도 제곱근을 손쉽게 구해낼 수 있어요. 그리고 이 원리는 절댓값이 $1$이 아닌 허수의 경우에도 적용할 수 있습니다.

 

계수가 실수인 이차방정식 $-2+2\sqrt{3}i$의 제곱근을 모두 구하시오. (단, $i$는 허수단위이다.) 

$|-2+2\sqrt{3}i|=\sqrt{4+12}=4$ 이므로 $z=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$로 놓으면 $\left|z\right|=1$이고

    $-2+2\sqrt{3}i=4z$

따라서 $z$의 제곱근을 $x$라 하면 $4z$의 제곱근은 $2x$로 구할 수 있어요.

이제 $z$를 복소평면에 나타내면 아래 그림과 같으므로 그 편각은 ${120}^{\circ }$가 되죠. 따라서 제곱근 중에 하나는 편각이 ${60}^{\circ }$인 $\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$임을 구할 수 있습니다.

그리고 나머지 제곱근은 이 값에 마이너스를 붙여서 $-\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$가 됩니다. 따라서 구하는 제곱은은

    $x=\pm \frac{1+\sqrt{3}i}{2}$

아직 끝이 아니죠. 우리는 $4z$의 제곱근을 찾는 것이 목적이므로 그 답은

    $2x=$ $\pm (1+\sqrt{3}i)$

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