이차방정식의 잘못 보고 푼 근을 고치는 유형의 자세한 해설 (고1 수학 방정식 이차방정식 근과 계수와의 관계 활용)

이차방정식의 잘못 보고 푼 근을 고치는 유형의 자세한 해설 (고1 수학 방정식 이차방정식 근과 계수와의 관계 활용)

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽게 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 지난 포스팅에서 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 대해 공부해 봤습니다. 이차방정식의 계수를 이용하면 두 근의 합과 곱을 매우 쉽게 구할 수 있어서 그 활용도가 매우 큰데요. 이번 포스팅에서는 그러한 활용 문제 중에서 방정식의 근을 잘못 구했을 때 올바른 근을 구하는 유형에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

● 들어가기

 글의 대표이미지에 대해서 여러분들은 공감하시나요? 배운 개념을 실생활에 활용한다고 해서 실제로는 일어나지도 않을 상황을 만들어서 문제를 풀라고 하니 SNS에서 종종 이러한 글이 공감을 얻는 경우가 많죠. 오늘 풀어볼 문제는 그러한 유형 중에서도 아래의 유형에 해당됩니다.

이러한 유형들이 등장하는 이유는 다름 아닌 '추론적 사고' 때문이죠. 꼭 어딘가에 써먹기 위해서 배우는 게 아니라 잘못된 결과를 통해 그 원인을 추론하는 과정에서 사고력과 문제해결력을 키우라고 이런 문제를 공부하는 거예요. 그래서 이러한 유형은 문제집에는 물론 교과서에도 단원 연습문제로 필수로 등장하며, 시험에도 자주 출제됩니다.

 

● 문제 풀이

서론은 간단히 하고 교과서의 대표유형부터 풀어보도록 할게요. 해설에서의 설명을 확실히 이해하시면 이러한 유형은 어떠한 문제가 나와도 잘 풀어낼 수 있습니다.

 

철수와 영희가 $x$에 대한 이차방정식 $x^2+ax+b=0$ ($a$, $b$는 실수)의 근을 구하려고 한다. 그런데 철수는 $x$의 계수를 잘못 보고 풀어 두 근 $2+i$, $2-i$를 얻었고, 영희는 상수항을 잘못 보고 풀어 두 근 $1+\sqrt{3}$, $1-\sqrt{3}$를 얻었다. 이차방정식 $x^2+ax+b=0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta$라 할 때, $\alpha^3+ \beta^{~3}$의 값을 구하시오.

이런 유형의 문제가 등장하면 잘못 본 것에 초점을 두지 말고 제대로 본 것에 초점을 두는 것이 중요합니다. 철수의 경우 $x$의 계수를 잘못 보고 풀었다는 건 $a$는 잘못 봤지만 $b$의 값과 나머지 최고차항의 계수가 $1$이라는 사실은 제대로 봤다는 뜻이 되죠. 이 사실로부터 원래의 방정식이 어떻게 생겨먹은 식인지 추론하는 건데 여기에서 근과 계수와의 관계를 이용할 수 있습니다.

본 방정식 $x^2+ax+b=0$에서 두 근은 각각 $\frac{-a-\sqrt{a^2-4b}}{2}$, $\frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2}$이고 근과 계수와의 관계에 의해 두 근의 곱은

$\frac{-a-\sqrt{a^2-4b}}{2} \times \frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2} = b$

입니다. 철수가 $a$의 값을 잘못 보고 풀었다면 두 근 $\frac{-a-\sqrt{a^2-4b}}{2}$, $\frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2}$의 각각의 값은 당연히 잘못된 값이겠죠. 그러나 이들을 곱한 값은 $b$이고 이 값을 계산하는 과정에서 계수 $a$는 소거되어 버립니다. 즉, $a$의 값이 얼마이든 상관없이 두 근의 곱은 오직 $b$의 값에 의해서만 결정되는 거죠.

따라서 $b$의 값을 제대로 보고 풀었다면 $a$의 값을 잘못 보고 풀었다 해도 두 근의 곱은 실제 두 근의 곱과 일치한다는 사실이 이 문제를 풀기 위한 핵심 원리입니다. 그래서 상수항인 $b$의 값은 철수가 구한 두 근을 곱하여 다음과 같이 구할 수 있어요.

$b=(2+i)(2-i)=5$

같은 원리로 영희는 상수 $b$를 잘못 보고 풀었지만 나머지는 제대로 봤습니다. 즉, 영희가 계산한 $a$는 실제 $a$의 값과 일치하죠. 그리고 근과 계수와의 관계에 의해 두 근의 합은

$\frac{-a-\sqrt{a^2-4b}}{2} + \frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2} = -a$

입니다. 영희가 구한 두 근 $\frac{-a-\sqrt{a^2-4b}}{2}$, $\frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2}$의 각각의 값은 잘못된 값이지만 이들의 합을 계산하는 과정에서 잘못 본 $b$는 소거되고 제대로 본 $a$만 남았죠. 즉, $b$의 값이 얼마이든 상관없이 두 근의 합은 오직 $a$의 값에 의해서만 결정됩니다.

따라서 영희가 구한 두 근의 합은 실제 두 근의 합과 일치하므로

    $-a=(1+\sqrt{3})+(1-\sqrt{3})=2$
    $a=-2$

따라서 $a=-2$, $b=5$이므로 원래의 방정식은 $x^2-2x+5=0$입니다. 그리고 근과 계수와의 관계에 의해 두 근 $\alpha$, $\beta$에 대하여

    $\alpha^3+ \beta^{~3}=(\alpha+ \beta)^3-3\alpha \beta(\alpha+ \beta)$
    $2^3-3\times 5\times 2=$ $-22$

임을 구할 수 있습니다.

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두 사람 A, B가 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$을 푸는데, A는 $x$의 계수를 잘못 보고 풀어 두 근 $\frac{1}{3}$, $1$을 얻었고 B는 상수항을 잘못 보고 풀어 두 근 $1-\sqrt{6}$, $1+\sqrt{6}$을 얻었다. 이 이차방정식의 올바른 근을 구하시오.

예제1번과 거의 비슷한 유형이죠. 같은 원리를 적용해서 A는 $x$의 계수 $b$는 잘못 봤지만, 나머지 $a$와 $c$는 제대로 봤고 근과 계수와의 관계에 의해 두 근의 곱은 $\frac{c}{a}$입니다. 즉, 두 근의 각각의 값은 잘못되었지만 $a$와 $c$를 제대로 봤다면 두 근의 곱을 구하는 과정에서 잘못 본 $b$는 소거되고 $\frac{c}{a}$가 남아서 실제 두 근의 곱과 일치하게 되죠. 따라서

$\frac{1}{3}\times 1=1=\frac{c}{a}$

가 되어 $c=a$라는 관계식을 구할 수 있습니다.

마찬가지로 B는 상수인 $c$는 잘못 봤지만, 나머지 $a$와 $b$는 제대로 봤고 근과 계수와의 관계에 의해 두 근의 합은 $-\frac{b}{a}$입니다. 즉, 두 근의 각각의 값은 잘못되었지만 $a$와 $b$를 제대로 봤다면 두 근의 곱을 구하는 과정에서 잘못 본 $c$는 소거되고 $-\frac{b}{a}$가 남아서 실제 두 근의 합과 일치하게 되죠. 따라서

$(1-\sqrt{6})+(1+\sqrt{6})=2=-\frac{b}{a}$

가 되어 $b=-2a$라는 관계식을 구할 수 있습니다.

예제1번과 지금 문제의 차이는 미지수가 $a$, $b$, $c$로 3개나 존재한다는 점인데 위의 과정을 통해서 $b$와 $c$를 $a$가 들어간 식으로 통일했고 따라서 본 방정식은

$ax^2-2ax+a=a(x^2-2x+1)=0$

으로 나타낼 수 있으며 이차방정식이니까 $a$는 $0$이 아니므로 이 방정식은 $a$의 값에 상관없이 방정식

$x^2-2x+1=0$

과 같은 근을 갖는다는 걸 알아낼 수 있죠. 따라서 올바른 근은 $~1~$이 됩니다.

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계수가 실수인 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 근을 구하는데, 근의 공식을 $\frac{-b\pm \sqrt{b^2-ac}}{2a}$로 잘못 적용하여 두 근 $3$, $4$를 얻었다. 원래의 이차방정식의 두 근을 $\alpha$, $\beta$라 할 때, $\alpha \beta$의 값을 구하시오.

위의 두 문제에 비해서 좀 낯설어 보이죠. 원래의 방정식의 근을 구하려면 $a$, $b$, $c$의 값이나 서로의 관계를 알아야만 합니다.

그런데 우리는 근과 계수와의 관계를 공부하면서 이차방정식의 두 근은 각각 복잡한 수식이지만 그들을 더하거나 곱하면 간단한 식이 만들어진다는 사실을 알았죠. 이 문제에서도 잘못 구한 두 근 $\frac{-b- \sqrt{b^2-ac}}{2a}$, $\frac{-b+ \sqrt{b^2-ac}}{2a}$을 더하거나 곱하면

   $\frac{-b- \sqrt{b^2-ac}}{2a}+\frac{-b+ \sqrt{b^2-ac}}{2a}=-\frac{b}{a}$
   $\frac{-b- \sqrt{b^2-ac}}{2a}\times \frac{-b+ \sqrt{b^2-ac}}{2a}=\frac{c}{4a}$

가 되어 간단한 식이 만들어짐을 알 수 있어요. 즉, 두 근 $3$, $4$를 더하면

    $3+4=7=-\frac{b}{a}$

이 되고 두 근 $3$, $4$를 곱하면

    $3\times 4=12=\frac{c}{4a}$

가 된다는 거죠. 따라서 두 식을 정리하여 $b=-7a$이고 $c=48a$임을 알 수 있는거예요.

이제 우리가 원하는 실제 두 근의 곱 $\alpha \beta$는 $\frac{c}{a}$이므로

    $\alpha \beta=\frac{c}{a}=\frac{48a}{a}=$ $48$

임을 구할 수 있습니다.

좀 더 눈치가 빠르게 돌아간다면 문제에서 제시한 근의 공식이

    $\frac{-b\pm \sqrt{b^2-ac}}{2a}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4a(\frac{c}{4})}}{2a}$

와 같다는 사실을 통해 이 문제를 근의 공식을 잘못 보고 푼 것이 아니라 상수인 $c$의 값을 $\frac{c}{4}$로 잘못 보고 푼 것으로 문제를 재해석 할 수도 있어요.

그렇다면 잘못 구한 두 근 $3$, $4$의 곱은

   $3\times 4=12=\frac{\frac{c}{4}}{a}=\frac{c}{4a}$

로 볼 수 있고 마찬가지로 원래의 두 근의 곱은 $\frac{c}{a}$이므로 $\frac{c}{4a}=12$로부터 $\frac{c}{a}=$ $48$임을 바로 구해낼 수도 있습니다.

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