근과 계수와의 관계를 알면 이차방정식에서 해를 일일히 구하지 않고도 합과 곱을 구할 수 있습니다. (출처: EBSmath)
안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽게 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다.수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.
이차방정식에는 독특한 특징이 있는데 위의 자료에서 보여주었듯이 이차방정식의 근 하나하나를 직접 구하는 것보다 그 근들의 합과 곱을 구하는 게 훨씬 간단하다는 것입니다. 오늘은 이차방정식의 계수는 근과 어떤 관계가 있는지 알아보도록 하겠습니다.
● 직접 계산을 통한 두 근의 합과 곱의 유도과정
실수 $a$, $b$, $c$에 대하여 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 두 근을 $\alpha $, $\beta $라 하면 근의 공식에 의해
입니다. 이들을 직접 계산하려면 꽤나 귀찮아 보이지만 근호($\sqrt{~~}$) 앞의 연산자가 플러스($+$)와 마이너스($-$)의 차이만 있을 뿐 나머지는 모두 공통부분이므로 다음과 같이 생각보다 간단하게 계산됩니다.
● 인수정리를 이용한 두 근의 합과 곱의 유도과정
위의 계산마저 번거롭다면 인수정리를 이용하여 초간단 유도가 가능합니다. 인수정리는 여러 가지 문제를 해결하는 상황에서 매우 자주 이용되는 정리이므로 꼭 알아두어야 합니다.
이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 두 근을 $\alpha $, $\beta $라 하면 근의 정의에 의해 다음의 두 식이 성립합니다.
즉, 우변의 결과를 $0$으로 만드므로 인수정리에 의해 다항식 $ax^2+bx+c$는 $x-\alpha$와 $x-\beta$를 인수로 가져요. 즉, $ax^2+bx+c$는 이 두 식의 곱으로 이루어져 있으며 여기서 최고차항의 계수를 비교하여 다음과 같이 식을 세울 수 있습니다.
$ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)$
위의 관계식은 이차방정식을 다루는 데 있어서 매우 유용한 식이므로 반드시 잘 숙지할 필요가 있습니다. 이제 양변을 $a$로 나누고 우변을 전개하여 각 계수를 비교하면 다음과 같이 바로 결과를 얻을 수 있어요.
결국, 방정식의 일차항의 계수 $b$와 상수항 $c$는 $(x-\alpha)(x-\beta)$를 전개했을 때 일차항의 계수와 상수항이 $\alpha $, $\beta $의 합과 곱에 의해 만들어지는 관계입니다.
● 두 근의 합과 곱
이상의 과정으로부터 근과 계수와의 관계는 다음과 같습니다.
즉, 이차식을 이루고 있는 $a$, $b$, $c$와의 적절한 비율만으로 두 근의 합과 곱을 구해낼 수 있는 매우 유용한 개념이죠. 참고로 계수란 문자에 곱해진 수를 의미하는데 상수항 $c$에는 문자가 없으므로 계수보다는 상수항이라고 부르는 게 더 적절할 수 있습니다. 그런데 매번 계수와 상수라고 부르는 건 번거로우니 이차방정식의 계수라 하면 상수까지는 포함시키는 게 일반적이에요.
이 개념을 통해 알 수 있는 중요한 사실이 있습니다. 이차방정식은 그 계수가 어떤 수이냐에 따라서 그 근이 실수일 수도 있고 허수일 수도 있지만, 두 근의 합과 곱은 반드시 실수가 된다는 점이에요. $a$, $b$, $c$는 항상 실수임을 전제로 하니까요. 즉, 두 근이 허근일 경우에도 그 합과 곱은 반드시 실수가 된다는 것인데 두 가지가 모두 실수가 되는 허수의 조합은 켤레복소수밖에 없다는 걸 이전 포스팅에서 확인한 적이 있죠. 따라서 계수가 실수인 이차방정식이 허근을 가지면 두 허근은 반드시 서로 켤레복소수가 된다는 것은 이번에 배운 개념을 통해서도 확인할 수 있었습니다.
2017년도 6월 교육청 학력평가 문제를 약간 변형해 보았습니다. 이 문제를 풀기 위해 $\alpha $와 $\beta $를 근의 공식으로 푼 다음, 구하는 식에다가 각각 대입해서 계산한다면, 그건 학교를 등교하려는데 교문을 못 찾아서 학교 담벼락 한 군데를 뚫어서 직접 문을 만든 다음 등교하는 것과 같은 꼴 나는 거죠.
이 문제를 푸는데 필요한 두 가지는 $\alpha $와 $\beta $가 방정식의 두 근이므로 $\alpha ^2+4\alpha -3=0$과 $\beta ^2+4\beta -3=0$이 된다는 것과 근과 계수와의 관계에 의해 $\alpha +\beta=-4 $, $\alpha \beta=3 $이 성립한다는 것입니다. 따라서 구하는 식은
● 두 수를 근으로 갖는 이차방정식
이제까지 방정식이 주어진 상태에서 방정식의 근을 구하는 것이 주된 내용이었다면 반대로 두 근이 주어졌을 때 그 방정식을 역으로 만들어낼 수도 있어요.
위에서 근과 계수와의 관계를 증명하기 위해 다음식을 이용하였습니다.
$ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)$
즉, 두 수 $\alpha $, $\beta $를 근으로 하고 이차항의 계수가 $a$인 방정식은
$a$, $b$를 두 미지수로 하는 연립방정식 문제입니다. 연립방정식은 대입법이 가장 기본적인 방법이므로 이 문제도 $a=-b+4$와 같이 한 문자에 대해서 정리한 다음 나머지 식에 대입하여 $(-b+4)b=5$를 만들면 문자가 하나로 통일 되며 이 식을 다음과 같이 정리하면 이차방정식을 푸는 게 가능하죠.
$b^2-4b+5=0$
이것을 위에서 배운 방정식의 근과 계수와의 관계를 이용하면 $a$, $b$는 두 근의 합이 $5$이고 곱이 $4$가 되는 다음 방정식의 두 근으로 해석하는 게 가능합니다.
$x^2-4x+5=0$
즉, 근과 계수와의 관계를 이용하면 두 식을 연립해서 문자를 소거하는 과정을 생략할 수 있게 되는 거죠. 이제 이 방정식의 해를 근의 공식으로 구하면
$x=2-i$ 또는 $x=2+i$
따라서 이 값을 $a$, $b$가 각각 나눠가지면 되는데 중요한 건 누가 어떤 값을 가져야 하는지에 대한 조건이 없으므로 다음과 같이 모든 경우를 다 구해줘야 한다는 거예요.
댓글 영역