이차방정식의 근의 특징, 한 근이 허근일 때 다른 근 구하는 법 (고1 수학 방정식, 켤레근)

 

 

이차방정식의 근의 특징, 한 근이 허근일 때 다른 근 구하는 법 (고1 수학 방정식, 켤레근)

켤레근은 수학의 이차방정식에도 존재합니다. (자료 출처: wordrow)

 

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽게 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 지난 포스팅에서 이차방정식의 판별식에 대한 얘기를 하였고 그에 따라 이차방정식의 근을 실근과 허근으로 나누었습니다. 오늘은 이차방정식에서 허근이 가지는 성질에 대해 추가적으로 알아보겠습니다.

 

● 이차방정식의 무리근의 성질

 이차방정식의 근의 공식으로부터 우리는 유용한 팁을 얻을 수 있습니다. 지난 시간에 다루었던 근의 공식을 다시 보면

만약 계수 $a$, $b$, $c$가 유리수일 때, 위에서 구한 근 $x$가 무리수라면 그 무리수를 만든 원인은 오직 $ \sqrt{b^{2}-4ac}$에서 나옵니다. 따라서 중학교에서 근의 개념을 자세히 공부했다면 다음의 팁을 배웠을 것입니다.

이차방정식의 두 무리근의 형태

유리수 $p$, $q$, $r$에 대하여 $\sqrt{r}$이 무리수 일 때, 계수와 상수가 모두 유리수인 이차방정식의 한 근이 $p+q\sqrt{r}$이면, 다른 한 근은 $p-q\sqrt{r}$이다.

예를 들어 유리수 $a$에 대하여 방정식 $x^2-6x+a=0$의 한 근이 $3+\sqrt{2}$일 때, 나머지 근을 구하라는 문제가 있다고 가정해 봅시다. 원시적인 방법을 따른다면 본 방정식에다가 근 $3+\sqrt{2}$을 대입해서 미지수 $a$를 구한 다음 이 방정식을 인수분해하거나 근의 공식을 이용해서 나머지 근까지 구할 수 있죠. 그러나 위의 원리를 따른다면 이런 번거로운 과정 없이 한 근이 $3+\sqrt{2}$이므로 나머지 한 근은 자연스럽게 $3-\sqrt{2}$임을 구할 수 있어요.

 

● 이차방정식의 허근의 성질

 위의 원리를 그대로 적용하여 이번에는 계수와 상수가 모두 실수인 방정식 $ax^2+bx+c=0$의 근인

가 허수라면 그 허수를 만든 원인 역시 오직 $ \sqrt{b^{2}-4ac}$에서 나옵니다. 즉, $b^{2}-4ac$가 음수가 되는 경우뿐이죠. 이 경우 $ \sqrt{b^{2}-4ac}= \sqrt{4ac-b^{2}}i$가 되므로 해를 실수부분과 허수부분으로 나누어 표현하면

가 됩니다. 결국, 두 허근은 서로가 켤레복소수가 된다는 사실을 알 수 있죠. 따라서 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

이차방정식의 두 허근의 형태

실수 $\alpha $, $\beta$에 대하여 계수와 상수가 모두 실수인 이차방정식의 한 근이 $\alpha+\beta i$이면, 다른 한 근은 $\alpha-\beta i$이다.

 

계수가 실수인 이차방정식 $x^2+ax+b=0$의 한 근이 $3-5i$일 때, 두 근의 곱을 구하시오. 

본 문제를 원시적인 방법으로 접근하여 주어진 방정식에다 $x=3-5i$를 대입하면

$(3-5i)^2+a(3-5i)+b=0$

미지수는 $a$, $b$로 두 개인데 조건식이 하나밖에 없으면 보통의 경우엔 $a$, $b$가 딱 정해지지 않지만 문제처럼 허수가 들어간 경우엔 상황이 달라집니다. 왜냐하면 위의 식을 정리했을 때

$(9-25-30i)+3a-5ai+b=0$
$(3a+b-16)-(5a+30)i=0$

와 같이 식이 실수부분과 허수부분으로 나뉘기 때문이에요. 이 수가 $0$이 되기 위해서 실수부분과 허수부분이 모두 $0$이 되어야 하므로 두 식 $3a+b-16=0$, $5a+30=0$을 연립하면

$a=-6$, $b=34$

임을 구할 수 있어요.

따라서 본 방정식은 $x^2-6x+34=0$이므로 근의 공식으로부터

$x=3\pm 5i$

임을 구할 수 있습니다.

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그러나 위에서 알아본 근의 성질에 의하면 다른 한 근은 $3-5i$임을 바로 구할 수 있으므로 두 근의 곱은

$(3+5i)(3-5i)=3^2+5^2=$ $34$

임을 쉽게 구할 수 있게 됩니다.

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