이차방정식의 근과 판별식에 대한 자세한 이해 (고1 수학 방정식과 부등식)

이차방정식의 근과 판별식에 대한 자세한 이해 (고1 수학 방정식과 부등식)

이차방정식은 그 풀이를 위한 절대적인 무기가 존재합니다. (출처: EBS MATH)

 

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 오늘부터는 중고등학교 수학에서 가장 대표적인 개념이라 할 수 있는 이차방정식에 대해 포스팅을 달려보려고 합니다. 고등학생들에게 이차방정식은 새로운 개념이 아니지만 이차방정식의 근 중에는 아직 배우지 않은 내용이 있어요. 오늘은 이차방정식의 근과 그 판별식을 통해 이차방정식의 근의 체계를 완성해 보도록 하겠습니다.

 

 앞의 포스팅에서는 복소수에 대해 알아봤습니다. 이제 우리는 이 내용으로 이차방정식의 근에 관한 이론을 완성할 겁니다. 앞에서 우리는 방정식 $x^2=-1$의 해는 실수에서는 존재하지 않기 때문에 이를 만족하는 수를 정하기 위해 복소수를 정의했습니다. 마찬가지로 $x^2=-5$나 $x^2+2x+3=0$와 같은 방정식도 실수에서는 해가 존재하지 않습니다.

중학교 때는 이러한 방정식의 해는 없다고 배웠을 겁니다. 마찬가지로 복소수가 연구되지 않았던 시대에는 이런 방정식의 해는 없다고 생각했어요.

그러나 해가 없다고 생각하는 것과 해가 존재하지만 실수 범위에 있지 않다는 생각은 그 방향성이 다르죠. 수학을 공부할 때는 후자와 같은 마인드를 가지는 것이 필요합니다. 해가 없다고 생각하고 연구를 끝내는 것이 아니라 “해가 존재한다면 그 해는 어떤 특징을 가지고 있을까”와 같은 열린 마인드가 수학자들이 복소수 이론을 체계화하도록 만들었고, 그로 인한 함수의 미분, 적분까지로의 발전을 통해 오늘날 우리가 누리고 있는 과학기술을 만들 수 있었습니다.

여러분들도 현재 하고 있는 공부가 어렵고 힘들고 멈추고 싶더라도 포기하지 않고 최선을 다하면 나중에 자신이 생각지 못한 보상으로 돌아올 수 있음을 기억하시기 바랍니다.

 

● 이차방정식의 근의 공식

이차방정식은 이차다항식으로 이루어진 방정식을 의미하죠. 계수가 실수인 이차방정식은 $a{x}^2+bx+c=0$의 꼴입니다. 여기서 $a$는 $0$이 아닌 실수예요. 우리는 중학교 3학년 때 이 방정식의 일반적인 해를 구하기 위해 다음과 같이 근의 공식을 유도하였습니다.

여기서 $b$가 짝수이거나 $2b^{\prime }$으로 표현이 가능하면 다음과 같이 좀 더 간략하게 나타낼 수도 있습니다.

이 공식에서 주목할 곳이 바로 근호($\sqrt{}$)입니다. $x^2$이 포함된 이차방정식에서 $x$의 값을 찾는 과정이므로 위의 유도과정에 의해 제곱근의 개념이 필수적으로 들어가죠. 따라서 근의 공식에도 근호($\sqrt{}$)가 들어갈 수밖에 없는 건데 이때 근호 안에 있는 $b^2-4ac$의 값이 $0$보다 크거나 같으면 실수가 되지만, $0$보다 작으면 허수가 되는 거죠. 즉, 중학교에서는 이차방정식의 근을 실수 범위에서 생각했지만, 이제는 특별한 언급이 없으면 그 대상을 복소수 범위로 확장하는 것이 고등학교 수학에서의 이차방정식과 중학교에서의 이차방정식의 차이입니다. 그리고 실수인 근을 실근, 허수인 근을 허근이라 부릅니다. 

예를 들어 이차방정식 $x^2+2x+2=0$의 해를 구하면

으로 허근이 나오죠. 중학교에서는 허근을 생각하지 않았기 때문에 이런 방정식 자체를 다루지 않거나 근이 없다고 배웠을 겁니다. 그러나 근의 범위를 복소수로 확장함으로써 우리는 방정식 $a{x}^2+bx+c=0$에서 실수 $a$, $b$, $c$가 어떠한 값을 갖더라도 그 해는 복소수의 범위에서 반드시 존재한다는 것을 확인할 수 있습니다.

또한, $b^2-4ac$의 값이 $0$이면 해는 딱 하나로 정해지지만, $0$이 아니면 근호($\sqrt{}$) 앞에 있는 $\pm$부호로 인해 해는 서로 다른 두 수가 구해집니다.

 

● 이차방정식의 판별식

즉, 이차방정식 $a{x}^2+bx+c=0$에서 $b^2-4ac$는 그 값이 $0$을 기준으로 어떤 범위에 있느냐에 따라 근의 종류를 결정하는 식이 됩니다. 이 식을 우리는 판별식(Discriminant)이라 부르고 편의상 $D$를 사용하여 $D=b^2-4ac$로 정의합니다.
이상으로부터 이차방정식의 근의 판별은 다음과 같이 합니다.

■ 이차방정식의 근의 판별

계수가 실수인 이차방정식 $a{x}^2+bx+c=0$에서 $D=b^2-4ac$라고 할 때 ① $D>0$이면 서로 다른 두 실근을 갖는다. ② $D=0$이면 중근(서로 같은 두 실근)을 갖는다. ③ $D<0$이면 서로 다른 두 허근을 갖는다.

현 교육과정에서 계수 $a$, $b$, $c$는 실수 범위에서만 다루나 위에서 언급했듯이 해는 복소수 범위에서 생각한다는 것에 유의하세요. 

만약 $b$가 짝수이거나 $2b^{\prime }$으로 표현되는 경우에는

즉, $D/4=(b^{\prime }{)}^2-ac$와 같이 정리됩니다. 따라서 이 경우 $D$ 대신 $D/4$를 판별식 대신 활용할 수 있어요.

예를 들어 방정식 $x^2-6x+9=0$의 경우

$D=(-6{)}^2-4\times 1\times 9=0$

이 되어 중근을 가짐을 알 수 있습니다. 또한, $-6=2\times (-3)$이므로 $D/4=(b^{\prime }{)}^2-ac$에서 $b^{\prime }=-3$으로 생각하면

$D/4=(-3{)}^2-1\times 9=0$

의 계산을 통해 중근을 가진다고 판별할 수도 있습니다.

만약 상수항을 조금 바꿔서 방정식 $x^2-6x+8=0$을 만들면

$D/4=(-3{)}^2-1\times 8=1>0$

가 되어 이때는 서로 다른 두 실근을 갖게 됩니다.

그리고 방정식 $x^2-6x+10=0$의 경우

$D/4=(-3{)}^2-1\times 10=-1<0$

가 되어 이때는 서로 다른 두 허근을 갖게 되는 거죠. 

이와 같이 판별식을 이용하면 근의 공식에 대입하여 근을 일일이 구하지 않고도 근이 어떤 종류인지를 판별할 수 있어요. 단순히 근의 공식의 일부분을 떼어서 만든 개념이라 이걸 굳이 왜 정의하는지 당장은 납득이 안 갈 수도 있으나, 방정식은 그 활용 분야가 방대하기 때문에 그러한 분야에서 판별식은 생각보다 놀라운 힘을 발휘할 수 있습니다.

참고로 “중근”이란 말은 중복된 근이라는 뜻으로 근이 한 개가 아니라 두 근을 가지지만 두 근이 “일치한다” 또는 “중복된다”는 뜻입니다. 위에서 알아본 방정식 $x^2-6x+9=0$의 경우 판별식을 통해 중근을 가진다는 것을 알았지만 좌변을 인수분해하면 $(x-3)(x-3)=0$이죠. 즉, 근이 하나처럼 보이지만 사실은 두 근의 값이 일치하는 개념입니다.

즉, 우리는 수 체계를 복소수까지 확장함으로써 이차방정식의 해는 복소수의 범위에서 중근을 포함하여 반드시 2개의 해를 가진다는 사실을 확인할 수 있습니다. 

 

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이차방정식 $x^2-5x+k=0$이 서로 다른 두 실근을 가질 때, 실수 $k$의 값의 범위를 정하시오.

판별식 $D$가 양수가 나오도록 다음과 같이 식을 세워 구합니다.

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