철수: 영희야, 우리 수학신에게 우리 관계의 운명을 물어보자. 영희: 수학신? 너 또 뭔가 이상한 거 하려는 거지? 철수: 아니야, 네가 마음속으로 뭘 선택하느냐에 달려있어. 영희: 그래? 그럼 어떻게 하면 되는데? 철수: 1부터 9까지의 자연수 중에 하나를 마음 속으로 생각해봐. 영희: 생각했어. 철수: 그 수보다 1 더 큰 자연수를 제곱해봐. 영희: 제곱했어. 철수: 그 수에다가 처음 생각한 수의 제곱을 빼봐. 영희: 뺐어. 철수: 그 수에다가 처음 생각한 수를 두 번 더 빼면 수학신이 답을 주실 거야. 얼마지? 영희: 1이 되는데? 철수: 우리는 서로 하나가 된다는 운명이네. 우리 사귀자!
안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다.수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.
앞에서 다항식의 사칙연산에 대해 알아보았습니다. 항등식은 다항식에 관한 문제를 다룰 때 중요하게 이용되는 원리로 이 포스팅에서는 항등식의 개념에 대해 알아보겠습니다.
● 항등식의 뜻
글의 첫 부분에 등장한 대화를 조금만 읽어보면 대부분은 대화 속 철수의 개수작을 눈치챌 수 있을 거예요. 처음 생각한 수를 $x$라고 하면 그보다 1 더 큰 수의 제곱은 $(x+1)^2$입니다. 여기서 처음 생각한 $x$의 제곱을 빼면 $(x+1)^2-x^2$이죠. 마지막으로 $x$를 두 번 더 빼면 $(x+1)^2-x^2-2x$입니다. 이 식을 전개해서 정리해 보면 미지수 $x$는 다 사라지고 1만 남게 되죠. 결국, 철수가 시킨 계산을 따라가면 처음에 무슨 수를 생각해도 마지막 결과는 항상 1이 됩니다.
즉, 등식 $(x+1)^2-x^2-2x=1$은 문자 $x$에 어떠한 수를 대입해도 항상 성립하는데 이러한 등식을 항등식이라 합니다. 용어 그대로 항상 동등한 식이라는 뜻입니다. 우리가 앞 단원에서 공부했던 $(a+b) ^3 =a ^3 +3a ^3 b+3ab ^{2} +b ^{3}$과 같은 곱셈 공식이 모두 항등식에 해당하죠. 반면, $x^2-2x+1=0$과 같이 문자 $x$에 대입하는 수에 따라서 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 식이 있습니다. 우리는 이러한 식의 정의를 중학교 1학년 때 방정식이라고 배웠습니다.
항등식의 성질을 이용하여 정해져 있지 않은 계수를 구하는 방법을 미정계수법이라고 합니다. 미정계수법에는 다음과 같은 항등식의 기본 성질이 이용됩니다.
위의 성질을 이용하여 양변의 계수를 비교하는 방법을 계수비교법이라고 하며, 항등식의 정의를 그대로 이용하여 구체적인 수를 대입하는 방법을 수치대입법이라고 합니다.
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●항등식의 기본성질 유도
우선 위의 성질 ①번부터 수치대입법으로 증명해 보겠습니다.
$ax^2+bx+c=0$이 $x$에 대한 항등식이므로 $x$에 어떠한 수를 대입해도 등식이 성립합니다. 따라서 적절한 수를 대입하면 $a$, $b$, $c$에 대한 연립방정식을 만들어서 풀 수 있습니다. 그런데 기왕이면 계산이 간단한 게 좋겠죠. $x=0$을 대입하는 순간 $c=0$이라는 사실이 금방 나옵니다. 이어서 $x=1$와 $x=-1$을 각각 대입하면 $a+b=0$, $a-b=0$을 얻을 수 있고 두 방정식으로부터 $a=b=0$임을 알 수 있습니다.
이어서 ②번을 증명하기 위해 $ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c'$에서 우변을 모두 좌변으로 이항 하면
$(a-a')x^2+(b-b')x+(c-c')=0$
여기서 ①번 결과를 바로 적용하면 $(a-a')$, $(b-b')$, $(c-c')$이 모두 0이 되어야 하므로 $a=a'$, $b=b'$, $c=c'$임을 알 수 있습니다.
●연습문제 풀이
미정계수법 문제를 풀 때는 문제의 상황에 따라 계수비교법이나 수치대입법 중 하나를 택하여 풀 수 있으며 한 문제 내에서 두 방법을 적절히 섞어서 활용할 수도 있습니다.
등식 $a(x-1)^2+b(x-1)+c=2x^2+3x-1$이 $x$에 대한 항등식이 되도록 상수 $a$, $b$, $c$의 값을 정하시오.
세 문자 중에서 어떤 문자가 가장 눈에 띄시나요? 개인차는 있겠지만 대체로 수치대입을 이용한 문제를 많이 물어보기 때문에 $x=1$을 먼저 대입해 보도록 하겠습니다. 그러면 좌변에서 $a$, $b$는 다 사라지고 $c$만 남게 되죠. 그러면 우변에 $x=1$을 대입한 값이 바로 $c$의 값이므로 $c=4$임을 단번에 알 수 있습니다.
그다음은 어떤 문자를 먼저 구하는 게 좋을까요? 사실 눈에 띄었으면 $c$보다도 먼저 구할 수도 있었습니다. 바로 $a$죠. 좌변에서 이차항을 만드는 건 $a(x-1)^2$뿐이기 때문에 좌변에서 이차항의 계수는 $a$가 되죠. 따라서 계수비교법에 의해 $a=2$가 됩니다. 마지막으로 $b$의 값을 구해봅시다. 좌변을 모두 전개해서 계수비교를 해도 되지만 $x=0$을 대입하면
$a-b+c=-1$
과 같이 간단한 식을 만들 수 있고, $a$, $c$의 값을 다 구했으므로
$2-b+4=-1$, $b=7$
따라서 답은 $a=2$, $b=7$, $c=4$입니다.
다항식 $x^3+3x^2-ax+12$가 $x^2-x+b$로 나누어 떨어질 때, 상수 $a$, $b$의 값을 각각 구하시오.
나눗셈 문제이므로 다음과 같이 나눗셈을 해서 나머지가 0이 되도록 하면 $a+b=4$와 $4b=12$를 유도할 수 있습니다. 두 식을 연립하면 $a=1$, $b=3$임을 알 수 있죠.
그러나 우리가 배운 미정계수법은 다음과 같이 식을 세워서 문제를 푸는 것을 가능하게 해 줍니다.
위 식에서 노란색으로 표시한 식을 유도한 근거는 화살표 방향대로 곱셈을 계산했을 때, 최고차항인 $x^3$과 상수 12가 좌변과 같아지도록 만들기 위해서입니다. 이 상태에서 나머지 계수들만 비교하면 $a$, $b$를 찾을 수 있겠죠. 먼저 $x^2$의 계수부터 비교해 보면 우변에서는 $\frac{12}{b}x^2$과 $-x^2$로 인해 $\frac{12}{b}-1$이 나옵니다. 이 값을 좌변과 비교하면 $\frac{12}{b}-1=3$에서 $b=3$ 따라서 우변은 $(x^2-x+3)(x+4)$가 됩니다. 이제 $x$의 계수도 구하면 $-4x$와 $3x$로 인해 $-1$이 나옵니다. 이 값의 우변의 $-a$와 일치해야 하므로 $a=1$ 따라서 $a=1$, $b=3$입니다.
상수 $a_0$, $a_1$, $a_2$, $\cdots$, $a_{10}$에 대하여 등식
계수비교법을 이용하면 최고차항과 상수를 계산해서 $a_0=-1$, $a_{10}=1$인 것까지는 쉽게 구할 수 있지만, 나머지 계수를 찾아내는 건 쉬운 일이 아니죠. 이런 문제를 효과적으로 접근하는 방법이 수치대입법입니다.
문제에서 요구한 $a_1+a_3+a_5+a_7+a_9$를 보면 뭔가 패턴이 보이죠. $a$의 아래첨자가 모두 홀수인 계수들입니다. 즉, 차수가 홀수인 항들의 계수죠. 이 수들만 모아서 덧셈을 만들려면 어떤 과정을 거쳐야 하는지 아이디어가 떠오르시나요? 바로 주어진 항등식에 $x=1$과 $x=-1$을 대입하는 겁니다.
여기서 두 식을 뺄셈 하면 차수가 짝수인 항의 계수들과 상수항은 모두 없어지고 다음과 같이 계산됩니다.
따라서 $a_1+a_3+a_5+a_7+a_9=$32입니다. 같은 방법으로 두 식을 더하면 $a_0+a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10}=0$인 것도 알 수 있습니다.
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