사탕 17개를 3개씩 묶으면 5명에게 나눠줄 수 있고 2개가 남습니다. 즉, 17을 3으로 나누면 몫은 5이고 나머지는 2입니다. 즉, 자연수의 나눗셈은 n개씩 묶었을 때 몇 명에게 나누어 줄 수 있는가를 기본으로 합니다.
안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다.수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.
중학교에서 다항식의 나눗셈에서 몫과 나머지를 구하는 계산을 하지는 않았죠. 그러나 나눗셈 역시 사칙연산에서 빠질 수 없는 개념이라 다항식의 나눗셈을 할 줄 아는 것도 필수적입니다. 이 포스팅에서는 다항식의 나눗셈의 개념과 원리에 대해 자세히 알아보도록 하겠습니다.
●들어가기
먼저 다항식의 나눗셈에 들어가기 전에 자연수 687을 5로 나누면서 초등학교에서 배웠던 나눗셈의 원리를 다시 살펴보겠습니다. 나눗셈은 기본적으로 다음과 같이 세로셈을 하였습니다.
위의 나눗셈의 각 과정에서 수 계산이 어떻게 이루어지는지는 누구나 다 설명하실 수 있을 거라 생각됩니다. 이와 같이 나눗셈의 기본 원리는 자릿수가 큰 것부터 먼저 제수 5로 나누면서 나눠야 할 피제수 687의 크기를 줄이는 것입니다. 줄어든 수는 그다음 자리의 수로 내려가서 다시 5로 나눗셈을 함으로써 더 이상 나눗셈을 할 수 없을 때까지 계산하는 거죠. 이 나눗셈에 의하여 687은 다음과 같이 표현됩니다. 여기서는 137이 몫이고 2가 나머지가 됩니다. 이때, 나머지는 0 이상의 정수이고 제수 5보다 작은 수가 나오는 것이 특징입니다. 만약 나머지가 5 이상이 나온다면 아직 덜 나눈 것이므로 마저 나눠주어야 하며 나머지가 0보다 작은 수가 나온다면 너무 많이 나눈 것으로 간주하여 나눠준 것을 다시 뺏어와야 합니다. 나머지가 0이 되었을 때는 나누어떨어졌다고 합니다.
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●다항식의 나눗셈
이제 이 원리를 가지고 자연수만 다항식으로 바꿔보겠습니다. 다항식에서 자연수의 자릿수와 대응되는 개념은 무엇일까요? 바로 차수입니다. 다항식에서는 차수가 큰 것부터 먼저 나눗셈을 함으로써 나누려는 다항식의 차수를 줄이는 것을 기본 방향으로 합니다. 예를 들어 $3x^2+4x+5$를 $x+5$로 나눠보겠습니다.
편의상 $3x^2+4x+5$를 ‘피제다항식’, $x+5$를 ‘제다항식’이라고 부르도록 하겠습니다. 피제다항식에서 최고차항이 $3x^2$이므로 우선 이것부터 나눠서 없애기 위해 제다항식에 $3x$를 곱해서 위의 나눗셈에서 노란색으로 표시한 것끼리 서로 같은 항이 나오도록 합니다. 마찬가지로 청록색으로 표시한 것끼리 서로 같은 항이 나오도록 계산을 반복하면서 남은 식이 제다항식보다 차수가 작아지면 계산이 끝납니다. 이 나눗셈에 의하여 피제다항식 $3x^2+4x+5$은 다음과 같이 표현됩니다. 여기에서 $3x-2$가 몫, $9$가 나머지가 됩니다.
이상으로부터 자연수의 나눗셈과 다항식의 나눗셈을 비교하여 정리하면 다음과 같습니다. 이전 포스팅에서 언급했듯이 교육과정 내에서는 정의하지 않았지만 차수가 0이라는 건 문자가 하나도 곱해져 있지 않다는 뜻으로 상수항을 의미합니다.
다항식에서는 미지수의 값이 얼마인지 모르기 때문에 나눗셈에서의 나머지는 크기의 범위를 제한하는 것이 아니라 차수의 범위를 제한한다는 점에 주목하세요. 만약 나머지의 차수가 제다항식의 차수보다 크거나 같으면 아직 나눗셈을 덜 한 것이고 나머지의 차수가 상수의 차수보다 낮아진다면 너무 많이 나눈 것이 됩니다. 다항식의 나눗셈에서 너무 많이 나눈 것이 어떤 경우인지는 다음의 예시를 통해 알아보겠습니다.
다항식 $2x^3-3$를 다항식 $x^2+x-1$로 나눠보면 다음과 같습니다.
계산 결과에서 보시다시피 나머지 $10x-7$은 일차식으로 제다항식 $x^2+x-1$보다 차수가 작음을 알 수 있습니다. 만약 이걸 굳이 또 나눗셈을 하려면 몫에다가 $\frac{10}{x}f$을 추가하여 다음과 같이 나머지에서 $10x$를 없앨 수도 있으나, 이렇게 하면 분모에 미지수 $x$가 들어간 항이 몫과 나머지에 포함되면서 다항식의 범위를 벗어나죠. 그럼 다항식을 나눗셈하는 의미가 없어집니다. 몫과 나머지 또한 다항식으로 표현하는 것이 다항식의 나눗셈의 목적이니까요.
위에서 $\frac{10}{x}f$와 같은 식은 다항식이 아니라 유리식이라 부르며 이러한 식의 차수는 음수로 정의합니다. 뒤의 함수 단원에서 공부하게 됩니다. 결국 다항식의 나눗셈을 할 때는 남은 식의 차수가 제다항식의 차수보다 작아지면 그 즉시 계산을 끝내고 그 남은 식을 나머지로 합니다.
●연습문제 풀이
다항식 $2x^3+3x^2+1$을 다항식 $A$로 나누었을 때의 몫은 $2x+1$, 나머지는 $x+2$이다. 다항식 $A$를 구하시오.
문제에서 주어진 식을 보고 나머지를 $3x-4$라고 답한다면 문제의 함정에 보기 좋게 걸려든 셈이 됩니다. 주어진 식은 $x+1$로 완전히 나눈 결과가 아니기 때문이죠. 왜 그럴까요? 남은 식 $3x-4$의 차수가 $x+1$보다 작지 않기 때문입니다. 따라서 $3x-4=3(x+1)-7$과 같이 나눗셈을 마저 해주어야 하고 결국 구하는 나머지는 $-7$이 됩니다. 완전한 나눗셈에 의해 문제에서 주어진 식을 다시 표현하면
위의 예제2에 의하면 $(x+1)Q(x)$는 $x+1$의 배수이므로 $x^3+3x-1$을 $x+1$로 나눈 나머지는 $3x-4$를 $x+1$로 나눈 나머지와 같다는 사실을 알 수 있습니다. 이는 나눗셈 관련된 다양한 문제 풀이에서 중요하게 쓰이는 원리이므로 잘 참고해 두세요.
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