다항식 곱셈 공식의 다양한 활용 문제에 대한 자세한 해설 (고1 수학 다항식)

다항식 곱셈 공식의 다양한 활용 문제에 대한 자세한 해설 (고1 수학 다항식)

꾸준한 연습은 완벽을 만듭니다.

 

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 앞선 포스팅에서 다항식의 곱셈 공식에 대해 알아보았습니다. 이번 포스팅은 실질적으로 내신을 대비하는 학생 분들을 위해서 곱셈 공식에서 자주 출제될 수 있는 몇 가지 유형을 알아보도록 하겠습니다.

 

● 기본 공식의 활용

 

$x+y=3$, $x^2+y^2=7$일 때, $x^3+y^3$의 값을 구하시오.

이런 유형을 원시적으로 접근하는 방법은 중학교 2학년 때 배웠던 연립방정식의 풀이를 시도하는 겁니다. 뒤의 방정식 단원에서 이 내용을 다루겠지만 식 $x+y=3$을 한 문자에 대하여 푼 다음 $x^2+y^2=7$에 대입하면 $x$, $y$의 값을 각각 구하는 것이 이론상으로 가능합니다. 하지만 여기서는 그렇게 풀 수 있는 스킬을 아직 익히지 않은 상태이고, 풀 수 있다 하더라도 $x$, $y$각각의 값이 꽤 복잡하게 나타나며 그걸 또 $x^3+y^3$에 대입해서 풀라고 하면 욕 나올 수도 있겠죠. 이 문제는 연립방정식 문제처럼 보이지만 앞으로 이런 유형을 만나면 우리는 “곱셈 공식의 변형을 활용하는 문제구나!” 하고 눈치를 챌 수 있어야 합니다.

앞선 포스팅에서 $x$, $y$의 합과 곱을 알면 $x^3+y^3$의 값을 구할 수 있다는 사실을 다음 공식을 통해 알아보았습니다.

    $x^3+y^3=(x+y{)}^3-3xy(x+y)$

 여기서 $xy$의 값은 주어진 조건을 가지고 중학교 때 공부한 곱셈 공식 $(x+y{)}^2=x^2+2xy+y^2$으로 구할 수 있습니다.

    $2xy=(x+y{)}^2-(x^2+y^2)=3^2-7=2$
    $xy=1$

따라서

    $x^3+y^3=(x+y{)}^3-3xy(x+y)$
    $=3^3-3\times 1\times 3=18$

또는 다음 공식에 $x^2+y^2=7$을 대입할 수도 있습니다.

    $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=3\times (7-1)=18$

이상으로부터 답은 18입니다.

---

 

세 실수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a^2+b^2+4c^2=44$, $ab+2bc+2ca=28$일 때, $(a+b+2c{)}^2$의 값을 구하시오.  [2015.06/3점]

역시 연립방정식 문제처럼 보이지만 $a$, $b$, $c$의 값을 하나하나 찾기는 힘들죠. 여기서는 배운 곱셈 공식 $(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$를 이용하면

    $(a+b+2c{)}^2=a^2+b^2+4c^2+2(ab+2bc+2ca)$
    $=44+2\times 28=$100

---

 

직선 $a-b=3$, $a-c=5$일 때, $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$의 값을 구하시오.

 

구하려는 식을 2배 하면 $2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca$가 되는데 이 식은 중학교에서 공부한 완전제곱 공식에 의해 다음과 같이 변형되는 중요한 특징을 가집니다.

    $(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2$

그리고 다음 그림과 같이 문제에서 주어진 식을 뺄셈 하면 $c-b=-2$임을 구할 수 있어요.

 이제 세 개의 식을 $(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2$에 모두 대입하면

    $3^2+(-2{)}^2+5^2=38$

이 값은 문제에서 구하려는 값을 2배 한 것이므로 답은 19가 됩니다.

---

지금까지 곱셈 공식 활용 문제에서 알 수 있듯이 풀이 과정에서 미지수들 각각의 값은 중요하지 않습니다. 이 문제에서도 마찬가지로 $a-b=3$과 $a-c=5$라는 조건만 있으면 $a$, $b$, $c$ 각각의 값이 얼마가 되었든 문제에서 구하려는 식의 값은 항상 일정한 값이 된다는 의미가 있는 것이죠. 이럴 때 유용하게 쓸 수 있는 전략이 바로 특수화 전략입니다. 문제의 조건을 벗어나지 않는 범위에서 말 그대로 특수한 상황을 만들어서 답을 구하는 방법이죠. 예를 들어 이 문제에서 $a=3$, $b=0$, $c=-2$라고 놓으면 $a-b=3$과 $a-c=5$를 모두 만족합니다. 이 상태에서 바로 구하려는 식에다가 대입하면 다음과 같이 똑같은 결과가 나옵니다.

    $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$
    $a^2+c^2-ca=9+4+6=19$

이 방법은 평상시에 자주 쓸 수 있는 전략은 아니니 참고만 해두세요.

 

● 심화 유형

반응형

$x+y+z=0$, $x^2+y^2+z^2=7$일 때, $x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2=\frac{q}{p}$이다. $p+q$값을 구하시오.

곱셈 공식 $(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$의 활용의 발전된 유형입니다. 곱셈 공식 ⑤번 활용의 발전된 유형입니다. 구하려는 식 $x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2$은 $(xy{)}^2+(yz{)}^2+(zx{)}^2$와 같으므로 이 식으로부터 ⑤번 공식을 시도해 보려는 생각을 떠올릴 수 있습니다.

    $(xy+yz+zx{)}^2=x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2+2x^{2}yz+2x{y}^{2}z+2xy{z}^2$
여기서 $2x^{2}yz+2x{y}^{2}z+2xy{z}^2$에는 공통인수 $2xyz$가 들어있으므로

    $2x^{2}yz+2x{y}^{2}z+2xy{z}^2=2xyz(x+y+z)$

이때, $x+y+z=0$이므로 $2x^{2}yz+2x{y}^{2}z+2xy{z}^2=0$입니다. 따라서

    $(xy+yz+zx{)}^2=x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2$
  
이제 $xy+yz+zx$의 값을 구하면 답을 구할 수 있으므로 여기에서 곱셈 공식 ⑤번을 한 번 더 활용합니다.
   $(x+y+z{)}^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$  
이때, $x+y+z=0$, $x^2+y^2+z^2=7$이므로

    $2(xy+yz+zx)=-7$
따라서 $xy+yz+zx=-\frac{7}{2}$
그러므로 $x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2=(xy+yz+zx{)}^2=\frac{49}{4}$
따라서 $p+q=4+49=$53

---

 

원 $x+\frac{1}{x}=3$일 때,  $x^6+x^5+\frac{1}{x^5}+\frac{1}{x^6}$의 값을 구하시오.

$x\times \frac{1}{x}=1$이고 문제의 조건에 의해 $x+\frac{1}{x}=3$이므로 $x$와 $\frac{1}{x}$의 합과 곱을 알고 있는 상태입니다. 이 문제에서는 곱셈 공식 $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$와 $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$의 변형식을 활용해서 $x^2+\frac{1}{x^2}$부터 시작하여 지수를 점점 키워가면서 원하는 값을 구할 수 있으며, 구하는 식은 $x^6+\frac{1}{x^6}$와 $x^5+\frac{1}{x^5}$로 나누어서 생각해 볼 수 있습니다.
먼저 곱셈 공식 $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$의 변형식을 이용하면

다음 곱셈 공식 $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$의 변형식을 이용하면  
 

$x^5+\frac{1}{x^5}$를 구하기 위해 식 $x^2+\frac{1}{x^2}$와 $x^3+\frac{1}{x^3}$을 곱하고 이항하면

이제 $x^6+\frac{1}{x^6}$만 구하면 되는데 여기서 치환을 이용하면 앞에서 전개한 풀이를 한 번 더 쓸 수 있습니다. $x^2=t$로 놓으면 $x^2+\frac{1}{x^2}=t+\frac{1}{t}=7$일 때, $x^6+\frac{1}{x^6}=t^3+\frac{1}{t^3}$의 값을 구할 수 있고, $x^3=s$로 놓으면 $x^3+\frac{1}{x^3}=s+\frac{1}{s}=18$일 때, $x^6+\frac{1}{x^6}=s^2+\frac{1}{s^2}$의 값을 구할 수도 있습니다. 여기서는 두 번째 방법을 이용해 보면

따라서 

---

 

 위의 문제의 패턴을 잘만 활용하면 $x^7+\frac{1}{x^7}$이나 $x^8+\frac{1}{x^8}$과 같이 지수의 값을 높여도 얼마든지 값을 구할 수 있습니다.

 

● 도형 활용 유형

 

그림과 같이 모든 모서리 길이의 합이 20인 직육면체 $\text{ABCD-EFGH}$가 있다. $\overline{\text{AG}}=\sqrt{13}$일 때, 직육면체 $\text{ABCD-EFGH}$의 겉넓이는?  [2016.06./3점]

① $10$     ② $12$     ③ $14$     ④ $16$     ⑤ $18$

직육면체의 가로, 세로, 높이를 각각 $a$, $b$, $c$라 합시다. 길이가 $c$인 모서리를 세어 보면 $\overline{\text{AE}}$, $\overline{\text{BF}}$, $\overline{\text{CG}}$, $\overline{\text{DH}}$로 총 4개 있는 것을 알 수 있습니다. 같은 방법으로 가로, 세로에 해당하는 모서리의 길이를 모두 더하면 $4a+4b+4c$이므로 $4a+4b+4c=20$ 즉, $a+b+c=5$임을 알 수 있습니다.
이제 대각선 $\overline{\text{AG}}$를 살펴보겠습니다. 중3 때 피타고라스 정리를 열심히 공부신 분은 이 길이를 어떻게 표현하는지 잘 알 것입니다. 직각삼각형 $\text{AFG}$나 직각삼각형 $\text{ADG}$를 생각하고 $\overline{\text{AF}}$ 또는 $\overline{\text{DG}}$의 길이를 피타고라스 정리를 이용하여 구한 뒤 직각삼각형의 대각선의 길이를 구하기 위해 피타고라스 정리를 다시 이용하면 다음 식을 유도할 수 있습니다.

    ${\overline{\text{AG}}}^2=a^2+b^2+c^2=13$
  
이제 문제에서 구하려는 직육면체의 겉넓이는 6개의 면의 넓이의 총합으로 $2ab+2bc+2ca$가 됩니다. 이제 여기서 무슨 공식을 써야 하는지 아시겠죠?

    $2ab+2bc+2ca=(a+b+c{)}^2-(a^2+b^2+c^2)=5^2-13=12$
  
따라서 답은 ②번입니다.

---

 

그림과 같이 선분 $AB$ 위의 점 $C$에 대하여 선분 $AC$를 한 모서리로 하는 정육면체와 선분 $BC$를 한 모서리로 하는 정육면체를 만든다. $\overline{\text{AB}}=8$이고 두 정육면체의 부피의 합이 224일 때, 두 정육면체의 겉넓이의 합을 구하시오. (단, 두 정육면체는 한 모서리에서만 만난다.)  [2014.06/4점]

$\overline{\text{AC}}=a$, $\overline{\text{BC}}=b$라고 하면 $a+b=8$이고 두 정육면체의 부피는 각각 $a^3$, $b^3$이므로 이들의 부피의 합은 $a^3+b^3=224$입니다. 두 정육면체의 겉넓이는 각각 $6a^2$, $6b^2$이므로 이들의 합 $6a^2+6b^2$을 구하려면 역시 필요한 공식 세제곱 식이죠.
$a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)$에서 $a+b=8$과 $a^3+b^3=224$를 대입하면

    $224=8^3-3\times ab\times 8$
이걸 다 계산하기엔 좀 복잡하니 224가 8의 배수임을 이용해서 양변을 8로 나눠서 $ab$를 구하면
    $28=8^2-3ab$, $3ab=64-28=36$,
    $ab=12$

따라서
    $a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=8^2-2\times 12=40$
따라서 두 정육면체의 겉넓이의 합은

    $6a^2+6b^2=6\times 40=$240

---

 

♥ 이해가 잘 되셨다면 공감과 선플은 포스팅 강의 제작에 큰 힘이 됩니다.
♥ 이해가 잘 안 되신 부분은 댓글을 통해 질문을 주세요.
♥ 본문의 내용은 추가, 보완될 수 있습니다.