안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다.수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.
지난 포스팅에서 나머지정리를 배웠는데 이 개념은 다항식을 일차식으로 나눌 때의 나머지를 쉽게 구하는 방법이었죠. 조립제법은 다항식을 일차식으로 나눌 때의 몫을 쉽게 구하는 방법입니다. 기존의 나눗셈으로 이미 몫과 나머지를 얼마든지 구할 수 있으므로 이 방법은 몰라도 문제를 푸는데 큰 지장은 없으나 방법을 익히고 나면 다양한 상황에서 계산을 쉽게 하도록 도움을 줍니다.
● 조립제법의 원리
서두에 소개한 교과서 설명을 대략 보면 이렇게 해서 나눗셈 계산이 되는구나 정도로만 이해되지 조립제법에 어떤 특별한 원리가 있는지를 이해하기는 쉽지 않죠. 학원이나 학교 수업에서도 조립제법은 보통 그 방법만 연습시키지 계산 원리를 기존의 나눗셈과 하나하나 비교하면서 설명해주지는 않습니다. 그러나 조립제법의 원리를 조금만 뜯어보면 단순히 계산과정에서 문자를 생략하고 계수만으로 계산하는 것이 전부가 아님을 알 수 있습니다.
위의 교과서 자료에서 보여준 나눗셈 $(3x^2-4x+2x-8)\div (x-2)$를 기존의 나눗셈과 조립제법의 차이를 비교하여 요약하면 다음과 같습니다. 밑의 그림에서 같은 계산이 이루어지는 과정을 같은 번호를 기입하여 표시하였습니다. 조립제법으로 계산한 수 3, 2, 6, 4 중에서 맨 마지막 수 4가 나머지가 되고 나머지 수 3, 2, 6이 몫을 이루는 각 계수가 됩니다.
조립제법을 이용하는 절차는 다음과 같습니다.
1. 피제다항식의 계수 $3$, $-4$, $2$, $-8$을 차례대로 나열하고 위의 그림과 같이 ┗━모양의 선을 그어 계산틀을 만듭니다. 2. 나눗셈 계산에서 ①번 위치의 $-2$를 부호를 바꿔서 조립제법의 ①번 위치에 기재합니다. 3. 최고차항의 계수 $3$은 그대로 선 아래에 기재(②번 위치)합니다. 4. 기재한 $3$을 ↗방향으로 올라가면서 ①번 위치에 기재한 $2$를 곱합니다. 5. 곱한 값 $6$은 위의 $-4$와 더하면서 ③번 위치에 값을 씁니다. 6. 이 과정을 반복하면서 ↗방향으로 올라갈 땐 $2$를 곱하고 내려가면서 위의 값을 더합니다.
조립제법의 특징은 나누는 일차식에서 일차항의 계수가 1이라는 점입니다. 그림의 ②번 과정에서 피제다항식의 최고차항의 계수 3이 그대로 몫의 최고차항의 계수가 되는 이유가 바로 그것이죠. 만약 예를 들어 $x-2$가 아니라 $3x-2$로 나누었으면 조립제법을 바로 적용하지 못합니다. 그리고 ①번 과정에서 상수 $-2$를 $2$로 만드는 건 나머지정리처럼 일차식 $x-2$를 0으로 만드는 $x$의 값이 2가 되는 원리와 같습니다.
위의 그림에서 ③번의 $2$가 만들어지는 과정을 보면서 보통 나눗셈과 조립제법의 차이를 분석해 보겠습니다. 나눗셈 계산에서는 왼쪽의 보라색으로 표시한 $3$ 을 초록색 화살표를 따라 $-2$와 곱하면서 $-6$ 이 되고 그 수를 $-4$에다가 빼면서 $2$ 가 됩니다. 이걸 계산식으로 요약하면
$-4-3\times (-2)=2$
입니다. 반면, 조립제법에서 ③번의 $2$가 만들어진 계산식은
$-4+3\times 2=2$
입니다. 결국 조립제법은 음수를 곱해서 빼는 계산을 양수를 곱해서 더하는 계산으로 바꾼 원리라 볼 수 있습니다. 나머지 계수들도 모두 이와 같은 원리로 계산됩니다. 즉, 조립제법은 단순히 계수만 가지고 계산한다는 의미를 넘어서 마이너스 두 개를 플러스 두 개로 바꿔놓고 계산하도록 해주는 긍정적이고 낭만적인 원리를 가진 방법이라고 할 수 있는 겁니다.
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●조립제법의 적용 요령
예시를 하나 더 들어서 다항식 $2x^3-8x+17$을 $x+3$으로 나눠보겠습니다. $x+3$이 0이 되는 $x$의 값은 $-3$이므로 다음 표에서 맨 왼쪽의 수는 $-3$으로 시작합니다. 그리고 그 오른쪽으로 피제다항식의 각 항을 이루는 계수를 나열해 줍니다.
이때 주의해야 할 것이 모든 차수의 항의 계수를 다 적어야 한다는 점입니다. 즉, 여기서는 피제다항식이 삼차식이므로 계수는 상수부터 일차항, 이차항, 삼차항까지 총 4개의 수를 나열해야 합니다. 이 나눗셈에서는 이차항이 없으므로 해당 계수를 0으로 표시합니다. 만약, 이걸 빠뜨리고 $2$, $-8$, $17$만 나열했다면 그건 $2x^3-8x+17$을 나누는 게 아니라 $2x^2-8x+17$을 나누는 계산이 되어 전혀 다른 결과를 만들게 됩니다.
그다음 위에서 했던 대로 처음 $2$는 그대로 가로줄 아래로 내린 다음 초록색 화살표 방향으로 갈 때마다 왼쪽에 표기한 $-3$을 곱하면서 값을 만들고 같은 열에 있는 수끼리 더하여 가로줄 아래에 값을 쓰는 과정을 반복합니다. 계산 결과 구하는 몫은 $2x^2-6x+10$이고 나머지는 $-13$입니다.
조립제법을 이용하여 다항식 $2x ^{3} -x ^{2} +3x+1$을 $2x-3$으로 나누었을 때의 몫과 나머지를 구하시오.
위에서 강조했듯이 조립제법은 일차항의 계수가 1인 일차식으로 나누는 계산입니다. 즉, 다음과 같이 $2x-3$이 0이 되는 $x$의 값 $\frac{3}{2}$로 조립제법을 쓴다면 이 나눗셈은 $2x-3$로 나누는 게 아니라 $x-\frac{3}{2}$으로 나누는 계산임을 유의하셔야 합니다.
즉, 이 계산 결과를 곱셈식으로 표현하면
이죠. 따라서 위의 조립제법으로 계산한 몫 $2x^2+2x+6$을 그대로 답으로 택하면 힘들게 계산 다 하고서 답은 틀려버리는 꼴이 돼버리고 맙니다. 따라서 문제에서 요구했던 $2x-3$로 나눈 몫을 정확히 구하기 위해서는 저 결과를 변형해줘야 하죠.
즉, $(x-\frac{3}{2})(2x^2+2x+6)$에서 $x-\frac{3}{2}$를 2배 해서 $2x-3$을 만들어주고 대신 $2x^2+2x+6$을 $\frac{1}{2}$배 해서 $x^2+x+3$을 만들어주면 위의 결과는
$2x ^{3} -x ^{2} +3x+1=(2x-3)(x^2+x+3)+10$
이 되어 몫은 $x^2+x+3$, 나머지는 $10$이 됩니다. 이렇듯 몫을 구할 때는 주의해야 하지만, 나머지는 처음 조립제법으로 계산한 10과 다르지 않다는 것도 참고할 수 있습니다.
● 항등식에서 조립제법의 활용
지금은 가르치지 않지만 예전에는 중학교에서 0부터 4까지의 숫자만으로 수를 표현하는 오진법이나 0과 1만으로 수를 표현하는 이진법으로 변환하고 되돌리는 방법을 배운 적이 있습니다. 우리가 평소에 사용하는 수는 0부터 9까지 10개의 숫자를 이용하여 나타내며 이를 십진법이라 부릅니다. 이진법은 디지털 기술에 활용되며 프로그램 코딩에서는 a, b, c, d, e, f를 포함하여 총 16개의 숫자를 이용하는 16진법도 사용됩니다.
그리고 이렇게 진법 변환을 할 때 나눗셈이 이용됩니다. 예를 들어 139를 오진법으로 표현하고 싶으면 다음과 같이 5로 나눗셈을 반복합니다. 나눠서 나온 몫을 다시 5로 나누는 원리입니다.
이 계산결과를 통해 139를 몫과 나머지를 이용하여 나타내면 다음과 같습니다.
따라서 139를 오진법으로 나타낸 수는 $1024_{(5)}$가 됩니다.
이 원리를 다항식의 나눗셈에 적용하면 $x$와 같은 특정 문자에 대해 내림차순으로 정리되어 있는 식이 있을 때, 어떤 식을 치환한 다른 문자에 대하여 그 식을 내림차순으로 정리하는 것이 가능합니다.
예제를 통해 구체적인 원리를 공부해 보겠습니다.
모든 실수 $x$에 대하여
$x^3-3x^2+5x-4=(x-2)^3+a(x-2)^2+b(x-2)+c$
가 성립할 때, 상수 $a$, $b$, $c$의 곱 $abc$의 값을 구하시오. [교육청 기출]
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