합성함수의 기본성질(교환법칙, 결합법칙)에 대한 자세한 이해 (고1수학 함수)

합성함수의 기본성질(교환법칙, 결합법칙)에 대한 자세한 이해 (고1수학 함수)

함수는 집합이라는 징검다리를 건너는 과정이라 볼 수 있습니다. 합성함수는 징검다리를 연속적으로 건너는 것과 같습니다. (그림 출처: pixabay)

 

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 지난 포스팅에서 함수의 연산으로서 합성함수를 소개하였습니다. 수학에서는 연산을 정의했으면 그 연산이 어떤 법칙까지 만족하는지 확인하는 과정은 필수예요. 이번 포스팅에서는 합성함수의 연산법칙과 더불어 각종 성질에 대해 알아보도록 하겠습니다.

● 합성함수의 교환법칙

지난 포스팅에서 다양한 합성함수를 구해봤는데 그 과정에서 이미 결론이 났듯이 합성함수에서는 다음과 같이 교환법칙이 성립하지 않습니다.

$g\circ f\neq f\circ g$

수학에서 새로운 연산을 정의할 때마다 각종 연산법칙을 확인하는 이유는 이렇게 성립하지 않는 경우도 존재하기 때문이에요. 특히나 함수의 합성은 먼저 적용되는 함수의 치역이 나중에 적용되는 함수의 정의역의 부분집합이 되어야 한다는 까다로운 성질 때문에 연산의 순서를 바꿨을 경우 그 결과가 일치하는 경우는 매우 드물어요.

예를 들어 두 집합 $X$, $Y$에 대하여 두 항등함수를 $I_X:X~$→$~X$와 $I_Y:Y~$→$~Y$로 정의했을 때, 합성함수 $I_Y\circ I_X$가 정의되려면 $I_X$의 치역 $X$와 $I_Y$의 정의역 $Y$에 대하여 $X\subset Y$이 성립해야 합니다. 반대로 $I_X\circ I_Y$가 정의되려면 $I_Y$의 치역 $Y$와 $I_X$의 정의역 $X$에 대하여 $Y\subset X$가 성립해야 하므로 결국 $X=Y$일 때만 교환법칙이 성립하고 그 $X\neq Y$이면 한쪽 합성함수는 아예 정의조차 안 되거나 양쪽 다 정의가 안 될 수도 있죠. 

이처럼 항등함수끼리도 교환법칙이 성립되지 않으니 합성함수에서는 특별한 경우를 제외하고 교환법칙이 성립하는 경우는 기대하지 않는 것이 좋습니다.

 

두 함수 $f(x)=-x+2$, $g(x)=2x+k$에 대하여 $f\circ g=g\circ f$가 성립하도록 하는 상수 $k$의 값을 구하시오.  [좋은책 신사고 수학]

상수 $k$의 값을 특별하게 맞춰주면 교환법칙을 성립하게 만들 수 있습니다.

    $(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(2x+k)$
    $=-(2x+k)+2=-2x+$ $2-k$

    $(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(-x+2)$
    $=2(-x+2)+k=-2x+$ $k+4$

두 함수가 같기 위해서 $2-k=k+4$이므로 $k=-1$입니다.

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● 합성함수의 결합법칙

그렇다면 결합법칙은 어떨까요? 합성함수에서 결합법칙마저 성립하지 않는다면 함수의 합성은 매우 까다로운 연산이 되겠지만 다행히도 다음과 같이 결합법칙은 성립합니다.

■ 합성함수의 결합법칙

세 함수 $f$, $g$, $h$에 대하여   $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$

교과서에는 이러한 원리를 구체적인 함수를 통해 몇 가지 값을 계산해보는 실험적 과정을 통해 받아들이도록 유도합니다. 하지만 이 정도 법칙은 합성의 원리만 제대로 알아도 직관적으로 이해할 수 있는 원리예요. 다음 그림을 볼까요?

지난 포스팅에서 함수는 두 섬을 연결하는 일방향 도로처럼 생각하면 된다고 했습니다. 그리고 합성함수는 이런 도로를 여러 번 거침으로서 한쪽 집합에서 저 멀리 있는 집합까지 직통으로 연결하는 다리라고 볼 수 있어요. 즉, 함수의 합성은 중간에 경유하는 집합을 생략하는 과정이라고 볼 수 있습니다.

위의 그림에서 파란색 화살표는 $g\circ f$와 $h$를 나타낸 것입니다. 여기서 $g\circ f$는 두 집합 $X$와 $Z$ 사이에 있는 $Y$를 생략하는 과정이죠. 그리고 함수 $h$와 합성하여 집합 $Z$까지 생략함으로써 $X$로부터 $W$까지 직통으로 직통으로 가는 함수 $h\circ (g\circ f)$를 만들게 됩니다.

반면 위의 그림에서 빨간색 화살표는 $f$와 $h\circ g$를 나타냅니다. $h\circ g$는 두 집합 $Y$와 $W$ 사이에 있는 $Z$를 생략하는 과정이고 이 함수가 $f$와 합성하여 집합 $Y$까지 생략함으로써 $X$로부터 $W$까지 직통으로 직통으로 가는 함수 $(h\circ g)\circ f$를 만들게 됩니다.

결국 $h\circ (g\circ f)$와 $(h\circ g)\circ f$는 사이에 있는 두 집합 $Y$와 $Z$중 어디를 먼저 생략하느냐의 차이만 있을 뿐 $X$에서 $W$까지 연결하고 있다는 점은 똑같습니다. 실제로 두 함수에 $x$를 대입하면 다음처럼 같은 결과가 나옵니다.

    $(h\circ (g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x))$
    $=h(g(f(x)))$

    $((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ g)(f(x))$
    $=h(g(f(x)))$

따라서 세 함수의 합성은 괄호를 생략하여 $h\circ g\circ f$와 같이 표현할 수 있습니다.

 

세 함수 $f$, $g$, $h$에 대하여 $f(x)=x-5$, $(g\circ h)(x)=-2x+3$ 일 때, $((f\circ g)\circ h)(a)=8$을 만족시키는 상수 $a$의 값을 구하시오.  [좋은책 신사고]

결합법칙을 이용하여 $((f\circ g)\circ h)(a)=(f\circ (g\circ h))(a)$임을 이용하면 됩니다.

    $(f\circ (g\circ h))(a)=f((g\circ h))(a))$
    $=f(-2a+3)=(-2a+3)-5=-2a-2$

이 값이 $8$과 같아야 하므로 $-2a-2=8$로부터 $a=-5$입니다.

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참고로 함수에서 배우는 연산은 합성이 전부이므로 다른 연산자 간에 이루어지는 분배법칙은 따로 존재하지 않습니다.

 

● 일차함수끼리의 합성

다음과 같이 일차함수끼리 합성하면 일차함수가 됩니다.

두 함수 $f(x)=ax+b$, $g(x)=cx+d$에 대하여     $(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(ax+b)$     $=c(ax+b)+d=acx+bc+d$     $(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(cx+d)$     $=a(cx+d)+b=acx+ad+b$

이것은 그래프가 직선을 이루는 함수끼리 합성하면 그 함수의 그래프 또한 직선이 된다는 것을 의미하죠. 이러한 성질은 추후 합성함수의 그래프를 다루는 포스팅에서 유용하게 활용할 것입니다.

조금 더 확장하면 $n$차 함수와 $m$차 함수를 서로 합성하면 $mn$차 함수가 됩니다. 각 함수의 최고차항만 생각해서 합성해본다면 어렵지 않게 짐작할 수 있겠죠.

 

● 일대일대응끼리의 합성

다음 증명에 의해 두 함수 $f:X~$→$~Y$, $g:Y~$→$~Z$에 대하여 $f$와 $g$가 일대일대응이라면 $g\circ f$ 또한 일대일대응이 됩니다.

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1) 먼저 $f$는 일대일함수이므로 $X$의 원소 $x_1$, $x_2$에 대하여

    $x_1\neq x_2$  $\Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)$

입니다. 그리고 $g$ 또한 일대일함수이므로 두 수 $f(x_1)$, $ f(x_2)$를 $g(x)$에 각각 대입하면

    $f(x_1)\neq f(x_2)$ $\Rightarrow$ $g(f(x_1))\neq g(f(x_2))$

따라서 $g\circ f$는 일대일함수입니다.

2) $f$의 치역인 $\left\{f(x)~|~x\in X\right\}$는 다음과 같이 $f$의 공역 $Y$와 같습니다.

$\left\{f(x)~|~x\in X\right\}=Y$

고 $Y$는 $g$의 정의역이므로 집합 $\left\{f(x)~|~x\in X\right\}$가 곧 $g$의 정의역이 됩니다. 따라서 $g$의 치역은 각 원소 $f(x)$를 $g$에 대입하여 만든 $\left\{g(f(x))~|~x\in X\right\}$이며 $g$는 일대일대응이므로 이 집합은 $g$의 공역 $Z$와 같습니다.

$\left\{g(f(x))~|~x\in X\right\}=Z$

 그런데 집합 $\left\{g(f(x))~|~x\in X\right\}$는 함수 $g\circ f$의 치역이죠. 즉, $g\circ f$의 치역이 그 공역인 $Z$와 같습니다.

1), 2)에 의하여 $g\circ f$는 일대일대응입니다.

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이전 포스팅에서 일대일대응은 두 집합 간의 완벽한 대응을 이루기 때문에 매우 중요하게 다루어지는 함수라고 언급한 적 있었죠. 같은 맥락에서 일대일대응끼리 합성하면 일대일대응의 성질이 유지된다는 것 또한 의미 있는 결과라고 볼 수 있습니다.

일상에서 이러한 원리를 이용한 대표적인 예가 바로 사다리게임이에요. 다음 포스팅에서 사다리게임의 원리를 자세히 알아보도록 하겠습니다.

 

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