단체 소개팅을 하다보면 인기 많은 이성에게 선택이 몰리는 경우가 있는데 수학에서는 이런 대응을 상수함수라고 합니다. (그림 출처: 이빨빠진호랑이https://blog.naver.com/ssj200228/220936555425)
안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다.수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.
지난 포스팅부터 함수를 재정의하고 기초 개념에 대해 알아보고 있는데요. 이번 포스팅에서는 함수의 다양한 성질에 따라 분류되는 일대일함수, 일대일대응, 항등함수, 상수함수에 대해 알아보겠습니다.
● 일대일함수
다음 그림을 함께 봅시다. 이전 포스팅에서 공부했듯이 그림에 제시된 대응들은 모두 함수입니다.
그림 출처: 좋은책 신사고 수학
위의 그림들은 모두 함수이지만 약간씩 다른 특징들을 보이고 있죠. 일대일함수의 정의는 다음과 같이 합니다.
■ 일대일함수
함수 $f:X~$→$~Y$에서 정의역 $X$의 임의의 두 원소 $x_1$, $x_2$에 대하여 일 때, 함수 $f$를일대일함수라고 한다.
쉽게 생각해서 함숫값들이 겹치지 않도록 대응을 이루면 일대일함수라고 생각하면 돼요. 위의 정의는 명제의 대우를 생각해서
$f(x_1)=f(x_2)$이면 $x_1=x_2$
와 같이 생각할 수도 있습니다. 즉, 하나의 함숫값으로 가는 $x_1$은 유일하다는 뜻이죠. 따라서 일대일함수의 그래프는 다음과 같이 임의의 실수 $a$에 대하여 $y$축과 수직인 직선 $y=a$를 그어보면 어디에서든 교점이 하나씩만 나오는 것이 특징이 됩니다. $x=a$와의 교점이 하나씩만 나오는 것이 일반적인 함수의 특징이면 $y=a$와의 교점이 하나씩만 나오는 것은 일대일함수의 특징이라는 것을 참고해둘 필요가 있죠.
일대일함수에서 조건이 추가로 붙는 일대일대응은 학력평가에서 자주 출제되나 일대일함수만으로 출제되는 경우는 거의 없습니다. 단, 내신에서는 다음과 같이 일대일함수의 정의를 이용해서 주어진 함수가 일대일함수임을 증명하는 문제를 출제할 가능성이 드물게 존재합니다. 간단한 일차함수는 그냥 정의에만 대입해도 무방하나 삼차함수의 경우는 본 명제보다는 그 대우인 $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$를 이용하는 것이 좋습니다.
일대일함수가 아닌 경우에는 $x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)$가 성립하지 않는 반례를 제시하면 돼요. 즉, 이 명제의 부정인 '$x_1\neq x_2$이지만 $f(x_1)=f(x_2)$인 경우가 존재한다'가 참임을 보이면 됩니다. 이를 위해 우리가 앞에서 배웠던 명제 $p~$→$~q$가 참일 조건과 거짓일 조건을 명확히 이해하고 있어야 합니다.
실수 $0$과 $2$에 대하여$0\neq 2$이지만 $f(0)=f(2)=2$이다. 따라서$f(x)$는 일대일함수가 아니다.
● 일대일대응
처음에 제시했던 그림을 다시 살펴보겠습니다.
그림 출처: 좋은책 신사고 수학
여기서 [그림1]과 [그림2]는 모두 일대일함수이죠. 하지만 [그림2]의 경우 대응 상태가 약간 불안정안 느낌이 듭니다. 원소 $c$가 선택을 받지 못하고 남게 되었으니까요. 반면, [그림1]은 남는 원소 없이 완벽한 매칭을 이룹니다. 이와 같이 일대일함수이면서 공역과 치역이 일치하는 함수를 일대일대응이라고 합니다.
일대일함수에서 조건이 추가로 붙은 함수이므로 일대일대응 함수들의 집합은 일대일함수 집합의 부분집합이 됩니다. 따라서 다음 명제들은 모두 참이 됩니다.
일대일대응은 일대일함수이다. 일대일함수가 아니면 일대일대응이 아니다.
어떤 함수가 일대일대응임을 확인하려면 $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$말고도 (치역)$=$(공역) 즉, (공역)$\subset $(치역)이 성립하는지 확인해봐야 합니다. 이를 위해서는 공역의 모든 원소 $y$에 대하여 $f(x)=y$가 되는 $x$가 정의역에 존재함을 보여야 하는데 고등학교 수준에서 이 정도를 요구하는 경우는 없으므로 함수의 그래프 개형을 통해 이를 추측할 수 있는 정도로 이해하시면 됩니다.
예를 들어, 예제1에서 알아본 삼차함수 $y=x^3$은 다음과 같은 그래프를 그립니다.
보다시피 그래프가 위아래로 뻗어나가는 형태이므로 정의역이 실수 전체의 집합이면 치역 또한 실수 전체의 집합이 되죠. 따라서 이 함수는 일대일함수인 동시에 일대일대응이기도 합니다.
한편, 다음과 같이 정의된 함수를 생각해봅시다.
$x\geq 1$일때 $\frac{1}{x}>0$이고 $x <1$일 때 $-x+2>1$이므로 이 함수는 모든 $x$에 대하여 $f(x)>0$입니다. 즉, 그래프는 다음과 같습니다.
즉, 이 함수의 경우 공역을 따로 지정하지 않았으므로 공역은 실수 전체의 집합이지만, 치역은 양수 전체의 집합이므로 일대일함수이지만 일대일대응은 아닌 경우입니다.
두 집합 $X=\left\{x~|~-1\leq x\leq 3\right\}$, $Y=\left\{y~|~-2\leq y\leq 4\right\}$에 대하여 $X$에서 $Y$로의 함수 $f(x)=ax+b$가 일대일대응이 되도록 상수 $a$, $b$의 값을 정하시오. (단, $a>0$) [좋은책 신사고 수학]
어느 교과서에든 단원 연습문제에 빠지지 않고 등장하는 문제입니다. 그리고 일대일대응의 원리를 확실히 이해할 수 있는 문제이기도 하고요.
해당 함수는$f(x)=ax+b$의 형태로 일차함수이므로 그래프는 직선 모양입니다. 따라서 주어진 정의역과 공역 내에서 직선이 어떻게 형성되어야 일대일대응이 되는가가 관건입니다.
이 문제는 직사각형으로 이루어진 영역$\left\{(x,~y)~|~x\in X,~y\in Y\right\}$ 안에서 모든 $x$와 $f(x)$의 값이 이 영역 안에 들어가면서 일대일이 되도록 그래프를 배치하는 문제이므로 다음과 같이 직사학형의 대각선이 될 때 일대일대응이 됩니다.
만약 직선이 대각선이 되지 않고 다음과 같이 약간만 변형해도 일대일대응이 될 수 없습니다.
그런데 이 문제에서는 $a>0$라 했으므로 기울기가 양수인 경우만 해당되죠. 따라서 직선이 두 점 $(-1,~-2)$, $(3,~4)$를 지나도록 하는 것이 핵심이 됩니다. 따라서
따라서 $x=-2$를 기준으로 이 함수는 다른 직선의 그래프를 나타냅니다. 이것이 일대일대응이 되려면 그래프가 계속 증가하거나 계속 감소하는 형태가 되어야 하므로 두 직선은 기울기가 둘 다 양수이거나 둘 다 음수가 되어야 합니다. 즉, 이 문제에서는 다음과 같이 식을 세우는 것이 핵심이에요.
$-(a+4)(a-4)>0$ $(a+4)(a-4)<0$ $-4<a<4$
이를 만족하는 정수 $a$는 $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$이므로 답은$7$개입니다.
일대일대응은 위에서도 말했듯이 완벽한 대응을 이루기 때문에 매우 중요한 함수입니다. 나중에 역함수를 공부할 때 다시 등장하는 개념이며 대학 수학인 집합론에서는 두 집합의 원소의 개수가 같다는 것을 두 집합 사이의 일대일대응의 존재 여부를 통해 정의합니다. 이렇게 하면 무한집합끼리도 원소의 개수를 비교할 수 있게 되죠. 그에 대한 자세한 내용은 고등학교의 수준을 넘으므로 생략할 테니 궁금하시면 따로 검색해보시면 많은 내용을 찾으실 수 있습니다.
● 항등함수와 상수함수
항등함수는 정의역과 공역이 같고, 정의역의 각 원소 $x$가 자기자신으로 대응하는 함수로서 다음과 같이 표현됩니다.
$f:X~$→$~X$ $f(x)=x$
가장 간단하게 생각할 수 있는 함수로서 정의역이 $\left\{1,~2,~3\right\}$으로 주어지면 그 대응관계는 다음과 같습니다.
항등함수의 '항등'은 항등식에서의 '항등'과 같은 말로 항상 자기 자신과 같은 함수임을 의미합니다. 영어로는 자기 자신을 의미하는 'Identity'라고 하여 이 단어의 앞글자를 따서 $I(x)$로 표현하기도 합니다.
이러한 항등함수는 일대일대응이 된다는 건 쉽게 이해할 수 있겠죠?
상수함수는 함수 $f:X~$→$~Y$에 대하여 $f(x)=c$와 같이 정의된 함수로 $x$가 어떠한 값이든 $f(x)$의 값은 상수 $c$로 딱 고정된 함수를 말합니다. 즉, 상수로 된 함수이죠. $c$는 상수를 뜻하는 영어 'constant number'의 앞글자입니다. 이러한 상수함수는 치역의 원소가 딱 하나가 되어서 다음과 같이 정의역의 모든 $x$가 하나의 함숫값으로 몰빵 되는 상황이에요.
정의역과 공역이 모두 실수 전체의 집합이면 항등함수와 상수함수의 그래프는 각각 다음과 같이 그려집니다.
댓글 영역