합성함수의 개념에 대한 자세한 이해 (고1수학 함수)

합성함수의 개념에 대한 자세한 이해 (고1수학 함수)

골드 버그는 여러 개의 입력과 출력 장치가 연속적으로 맞물리도록 하는 원리로 함수의 합성에 해당됩니다. (그림 출처: LG G6 Goldberg편 광고)

 

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 이전 포스팅에서 함수에 대한 기본 개념과 대응하는 특징에 따른 분류를 해보았어요. 오늘부터는 여러 함수들을 통해 새로운 함수를 만드는 개념인 합성함수에 대해 공부해보겠습니다.

● 들어가기

합성함수는 여러 함수들로 새로운 함수를 만드는 개념이라고 위에서 소개했죠? 즉, 합성함수는 함수의 연산에 해당됩니다. 수학에서 연산은 늘 빠질 수 없는 개념이에요. 허수 단위 $i$를 통해 복소수로 확장했을 때도 복소수의 사칙 연산을 다시 정의했었고, 집합에서는 합집합, 교집합과 같은 연산이 있었죠. 따라서 오늘 배우는 내용은 함수의 연산이라고 제목을 지어도 괜찮습니다.

내용 도입을 위해 교과서의 자료를 같이 보겠습니다.

자료 출처: 좋은책 신사고 수학

위에서 두 대응은 모두 함수입니다. 세 사람이 고른 메뉴를 함수 $f:X$→$Y$라 하고 각 메뉴별 가격을 함수 $g:Y$→$Z$라 하면 민우가 고른 음료수는 $f($민우$)=$A가 되고 음료수 A의 가격은 $g($A$)=$1500원이라 할 수 있겠죠.

그렇다면 민우가 음료수 A를 먹기 위해 지불해야 할 돈을 함수로 나타내면 어떻게 될까요? 이때는 $f$와 $g$를 동시에 이용해서

$g(f($민우$))=$1500원

로 나타낼 수 있는 겁니다.

이런 식으로 세 사람이 각각 지불해야 할 돈을 함수로 나타내면 집합 $Y$로 가는 과정을 생략해서 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

이렇게 새로운 함수가 만들어지는 거죠. 이런 함수를 바로 $f$와 $g$의 합성함수라고 부르는 겁니다. 쉽게 생각해서 여러 함수들을 연달아 적용하는 개념이죠.

 

● 합성함수의 뜻

일반적으로 합성함수는 다음과 같이 정의합니다.

■ 합성함수

두 함수 $f:X$→$Y$, $g:Y$→$Z$에 대하여 $X$를 정의역, $Z$를 공역으로 하는 함수 $g(f(x))$를 $f$와 $g$의 합성함수라 하며, 기호로 $g\circ f:X$→$Z$, $(g\circ f)(x)=g(f(x))$와 같이 나타낸다.

이렇게 해서 함수끼리의 연산을 정의합니다. 연산 기호에 사용된 $\circ$은 속이 비어있는 점이므로 $\bullet$처럼 쓰지 않도록 주의합니다. 읽는 규칙이 정해져 있는 것은 아니라서 $g\circ f$를 읽을 때는 점을 뜻하는 영어 "g dot f"로 읽을 수도 있고 "g circle f"나 "g of f" 등등 다양한 방법이 있습니다. 그냥 "g 합성 f"로 읽기도 합니다.

함수는 두 집합을 짝 지어주는 대응의 일종이므로 두 집합을 섬으로 생각하면 함수는 두 섬을 연결하는 일방향 다리라고 생각할 수 있어요. 그렇다면 섬이 3개라면 그 섬을 연결하기 위해서는 다리가 2개 필요하겠죠. 즉, 다음과 같이 다리를 여러 번 건너서 $X$라는 섬에서 $Z$라는 섬으로 이동하는 것이 합성함수의 원리라고 생각할 수 있습니다.

그림 출처: 좋은책 신사고 수학

이런 식으로 섬을 연결하면 두 개의 다리는 가운데에 있는 $Y$라는 섬을 공유하겠죠. 즉, 임의의 두 함수는 항상 합성할 수 있는 게 아니라 같은 집합을 공유하고 있어야 합니다. 위의 정의에서도 보다시피 $f$의 공역과 $g$의 정의역이 둘 다 $Y$로 설정되어 있죠. 꼭 같은 집합이 아니더라도 합성함수 $g(f(x))$가 정의되려면 $f(x)$가 $g$의 정의역에 속해야만 이 값을 $g()$에 집어넣을 수 있는 거예요. 따라서 일반적으로 합성함수를 정의하기 위한 조건은

($f$의 치역) $\subset$ ($g$의 정의역)

입니다.

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예를 들어, $f(x)=2x-1$, $g(x)=x^2$이면

    $(g\circ f)(2)=g(f(2))=g(3)=9$
    $(f\circ g)(2)=f(g(2))=f(4)=7$

입니다. 아니면 다음과 같이 변수 $x$를 넣어서 다음과 같이 함수 $(g\circ f)(x)$나 $(f\circ g)(x)$ 자체를 구할 수도 있어요.

    $(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(2x-1)$
    $=4x^2-4x+1$
    $(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^2)=2x^2-1$

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여기서 뭔가 느껴지는 점이 있나요? 보다시피 합성함수에서는 교환법칙이 성립하지 않아요. 즉, $g\circ f\ne f\circ g$입니다. 합성함수의 추가적인 성질에 대해서는 다음 포스팅에서 다루도록 하겠습니다.

 

함수 $f(x)=3x+1$과 함수 $g(x)$에 대하여 $g(f(1))=f(2)$일 때, $g(4)$의 값은?  [2017.11/3점]

① $6$     ② $7$     ③ $8$     ④ $9$     ⑤ $10$

$f(x)=3x+1$에서 $f(1)=4$이므로 $g(f(1))=g(4)$입니다. 그리고 $g(f(1))=f(2)$라 했으므로 문제에서 구하려는 $g(4)$의 값은 $f(2)$의 값과 같습니다.

$f(2)=7$이므로 답은 ②번입니다.

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두 함수 $f(x)=2x+3$, $g(x)=3x+1$에 대하여 다음을 구하시오.  [좋은책 신사고 수학]

  (1) $f\circ h=g$를 만족시키는 함수 $h(x)$

  (2) $h\circ f=g$를 만족시키는 함수 $h(x)$

합성함수를 다루는 데 있어 필수적 전략은 치환입니다.

(1) $(f\circ h)(x)=g(x)$ 즉, $f(h(x))=g(x)$에서 $h(x)=t$로 치환하면

    $f(t)=g(x)$,    $2t+3=3x+1$
    $t=\frac{3}{2}x-1$

따라서 $h(x)=\frac{3}{2}x-1$입니다.

(2) $(h\circ f)(x)=g(x)$ 즉, $h(f(x))=g(x)$에서 $f(x)=t$로 치환하면

    $f(x)=2x+3=t$,
    $x=\frac{t-3}{2}$

따라서 $h(f(x))=g(x)$에서

    $h(t)=3x+1=\frac{t-3}{2}\times 3+1$
    $=\frac{3}{2}t-\frac{7}{2}$

따라서 $h(x)=\frac{3}{2}x-\frac{7}{2}$입니다.

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실수 전체의 집합에서 정의된 함수

$f(x)=\{\begin{array}{cc}2x+2& (x<2)\\ x^2-7x+16& (x\ge 2)\end{array}$

에 대하여 $(f\circ f)(a)=f(a)$를 만족하는 모든 실수 $a$의 값의 합을 구하시오.  [2021.11/4점]

역시 치환을 적절히 이용하면 순조롭게 풀 수 있으나 함수의 수식이 이루어진 조건을 잘 확인해야 합니다.

$(f\circ f)(a)=f(a)$에서 $f(a)=t$로 치환하면 $f(t)=t$이므로 이를 만족하는 $t$의 값을 먼저 찾습니다. 단, $t$의 범위에 따라 $f(t)$는 $2t+2$와 $t^2-7t+16$로 나뉘죠.

$t<2$이면 $f(t)=2t+2$이므로 $2t+2=t$로부터 $t=-2$

$t\ge 2$이면 $f(t)=t^2-7t+16$이므로 $t^2-7t+16=t$ 즉, $t^2-8t+16=0$로부터 $t=4$입니다.

(1) $f(a)=t=-2$인 경우

  $a<2$이면 $2a+2=-2$로부터 $a=-2$

  $a\ge 2$이면 $a^2-7a+16=-2$ 즉, $a^2-7a+18=0$인데 이 방정식의 판별식을 구하면

    $D=(-7{)}^2-4\times 18=-23<0$

  이므로 이때는 실수 $a$의 값이 존재하지 않습니다. 문제에서 실수 $a$의 값의 합을 구하라고 한 점에 주목하세요.

(2) $f(a)=t=4$인 경우

  $a<2$이면 $2a+2=4$로부터 $a=1$

  $a\ge 2$이면 $a^2-7a+16=4$ 즉, $a^2-7a+12=0$로부터 $a=3$ 또는 $a=4$

(1), (2)로부터 $(f\circ f)(a)=f(a)$를 만족하는 모든 실수 $a$의 값의 합은

$-2+1+3+4=$ $6$입니다.

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● 항등함수의 합성

지금까지 우리가 배운 대부분의 연산에는 그 연산 결과에 아무런 영향을 미치지 않는 대상이 존재합니다. 우리가 친숙하게 쓰고 있는 덧셈의 연산에는 $0$이 있죠. 이 수는 어떠한 수 $x$와 덧셈을 하더라도 $x+0=a$으로 덧셈에 영향을 미치지 않죠. 마찬가지로 곱셈의 연산에는 $1$이 존재해서 어떠한 수 $x$와 곱셈을 해도 $x\times 1=x$입니다.

이렇게 특정 연산 $\ast$에 대하여 $x\ast a=a\ast x=a$를 만족하는 대상 $a$를 연산 $\ast$에 대한 항등원이라고 합니다. 이 용어는 옛날에 고교 교육과정에 포함되어 있었다가 빠졌는데, 연산의 구조를 탐구하는 대수학에서는 중요한 관심 대상이에요. 예를 들어 집합의 경우, 임의의 집합 $X$에 대하여 $X\cup \varnothing =X$이므로 합집합에 대한 항등원은 $\varnothing$이에요. 또한, 임의의 집합 $X$에 대하여 $X\cap U=X$이므로 교집합에 대한 항등원은 전체집합 $U$입니다.

이 얘기를 하는 이유가 짐작되시나요? 함수의 연산인 합성함수에서도 이러한 항등원의 역할을 하는 함수가 있어요. 그 함수가 바로 항등함수입니다. 이름마저 항등원과 비슷하죠. 항등함수는 어떠한 원소든 변화 없이 자기 자신으로 보내기 때문에 특정 함수와 합성을 해도 변화를 주지 않습니다.

예를 들어 함수 $f:X$→$Y$에 대하여 $X$에서 $X$로의 항등함수를 $I_X$, $Y$에서 $Y$로의 항등함수를 $I_Y$라고 하면

    $(f\circ I_X)(x)=f(I_X(x))=f(x)$
    $(I_Y\circ f)(x)=I_Y(f(x))=f(x)$

이므로 $f\circ I_X=f$이고 $I_Y\circ f=f$입니다. 단, 함수의 합성은 정의역과 공역의 조건이 성립해야 하므로 오른쪽에서 합성하는 경우와 왼쪽에서 합성하는 경우 정의역이 서로 다른 항등함수가 필요합니다.

 

집합 $A=\{1,2,3,4\}$에 대하여 함수 $f:A$→$A$를

$f(x)=\{\begin{array}{cc}x+1& (x\le 3)\\ 1& (x=4)\end{array}$

로 정의하자. $f^1(x)=f(x)$, $f^{n+1}(x)=f(f^n(x))$  $(n=1,2,3,\cdots )$이라 할 때, $f^{2012}(2)+f^{2013}(3)$의 값은?  [2012.11/3점]

① $3$     ② $4$     ③ $5$     ④ $6$     ⑤ $7$

함수를 여러 번 합성하다 보면 어느 순간 항등함수가 되어 규칙성을 찾고 문제를 단순화하여 답을 구하는 문제는 흔히 출제될 수 있습니다. 이 문제에서 주어진 함수는 $1$씩 증가시키다가 $x=4$일 때는 그 함숫값이 $1$이 되는 성질을 보입니다. 따라서 $1$부터 시작해서 함수에다 반복적으로 대입해보면

    $f(1)=2$,    $f(2)=3$,    $f(3)=4$,    $f(4)=1$,    $f(1)=2$,    $\cdots$

즉, $1,2,3,4$가 반복적으로 계속되는 것을 알 수 있어요. 따라서 $n$이 $4$의 배수이면 $f^n(x)$는 항등함수가 되는 것을 알 수 있습니다. 항등함수는 합성해도 변화가 없으므로 결국 문제에서 구하려는 $f^{2012}$는 항등함수이고 $f^{2013}$은 $f$와 같습니다.

따라서 $f^{2012}(2)+f^{2013}(3)=2+f(3)=2+4=6$이므로 답은 ④번입니다.

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