합성함수의 그래프 그리기에 대한 자세한 원리, 요령 및 방법 (고1수학 합성 함수 심화)

합성함수의 그래프 그리기에 대한 자세한 원리, 요령 및 방법 (고1수학 합성 함수 심화)

심장박동 그래프는 여러 선분들이 모여서 만들어진 꺾인 선의 모양을 이룹니다. (그림 출처: 심심해닷컴(심장박동그래프) : 네이버 카페 (naver.com))

 

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 지금까지 합성함수의 개념과 기본 성질, 사다리 타기 게임의 원리까지 알아보았는데요. 합성함수와 관련된 문제를 풀 때 가장 중요한 것이 치환이지만, 심화 문제까지 대비하려면 추가적으로 해봐야 하는 연습이 있습니다. 이번 포스팅에서는 합성함수의 그래프를 그리는 요령에 대해 알아보겠습니다.

● 들어가기

다음은 교과서에 있는 합성함수의 그래프 문제입니다.

자료 출처: 좋은책 신사고 수학

합성함수를 구하고 그 그래프까지 그리기 위해서 가장 원시적으로 접근하는 방법은 수식에 직접 대입해 보는 거죠. 

두 함수 $f(x)$와 $g(x)$가 각각 다음의 수식으로 이루어졌다는 것은 어렵지 않게 알아낼 수 있습니다.

$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x& (0\le x\le 1)\\ 4-2x& (1<x\le 2)\end{array}$

$g(x)=\{\begin{array}{ll}1-x& (0\le x\le 1)\\ 2x-2& (1<x\le 2)\end{array}$

이제 $f\circ g$를 구하기 위해 $f(x)$의 $x$에다가 $g(x)$를 다음과 같이 대입합니다.

$f(g(x))=\{\begin{array}{ll}2g(x)& (0\le g(x)\le 1)\\ 4-2g(x)& (1<g(x)\le 2)\end{array}$

보다시피 수식에만 $g(x)$가 들어가는 것이 아니라 정의역의 조건에도 $g(x)$가 같이 들어간다는 점에 주목하세요.

이때 위의 그래프에 의해 $0\le g(x)\le 1$이면 $0\le x\le \frac{3}{2}$이고

$1<g(x)\le 2$이면 $\frac{3}{2}<x\le 2$입니다.

따라서 위에서 대입한 $f(g(x))$는 다음과 같이 풀 수 있어요.

$f(g(x))=\{\begin{array}{ll}2g(x)& (0\le x\le \frac{3}{2})\\ 4-2g(x)& (\frac{3}{2}<x\le 2)\end{array}$

먼저 $\frac{3}{2}<x\le 2$ 일 때는 $4-2g(x)=4-2(2x-2)=8-4x$입니다.

그런데 $2g(x)(0\le x\le \frac{3}{2})$의 경우 $0\le x\le 1$일 때는 $2(1-x)=2=2-2x$이지만 $1<x\le \frac{3}{2}$일 때는 $2(2x-2)=4x-4$이죠. 따라서 구하는 $f\circ g$는 다음과 같이 정리됩니다.

$f(g(x))=\{\begin{array}{ll}2-2x& (0\le x\le 1)\\ 4x-4& (1<x\le \frac{3}{2})\\ 8-4x& (\frac{3}{2}<x\le 2)\end{array}$

따라서 이 식을 바탕으로 $y=(f\circ g)(x)$의 그래프를 그리면 다음과 같습니다.

범위를 나누는 과정에서 실수만 하지 않으면 어떻게든 합성함수를 구하고 그 그래프를 그리는 것이 가능하지만 번거롭고 시간이 많이 걸린다는 치명적인 단점이 있어요.

그래서 이러한 합성함수를 보다 쉽고 빠르게 구하는 요령을 지금부터 알아보겠습니다.

 

● 일차식으로 된 함수의 합성 요령

이전 포스팅에서 일차함수끼리 합성하면 합성함수 또한 일차함수가 된다는 사실을 알아본 바 있습니다.(https://holymath.tistory.com/entry/합성함수의-기본성질)

여기서는 부제목을 일차함수가 아니라 '일차식으로 된 함수'라고 했어요. 즉, 식 하나로 이루어진 단순한 일차함수뿐만 아니라 구간 별로 여러 개의 일차식으로 된 함수를 합성하는 경우에도 특정 구간에서는 일차식으로 표현되므로 그 그래프는 직선이나 선분을 이루게 됩니다. 위에서 구한 $y=(f\circ g)(x)$의 경우도 $f(x)$와 $g(x)$가 구간별로 일차식을 나타내므로 합성함수 $y=(f\circ g)(x)$의 그래프 또한 구간별로 선분을 나타냈죠.

그리고 직선은 그 특성상 두 점만 찍어도 그릴 수 있고, 선분은 양 끝점을 구하면 그릴 수 있습니다. 이 성질을 이용하면 함수의 식을 일일이 구할 필요 없이, 각 구간에서 선분의 양 끝점의 위치만 찾아내서 그 점들을 연결하는 요령으로 합성함수의 그래프를 그릴 수 있어요.

이 방법으로 위에서 푼 문제를 다시 보겠습니다.

자료 출처: 좋은책 신사고 수학

곧바로 그래프를 그리기 위해 다음과 같이 좌표평면을 세팅합니다. 여기서 $g$의 정의역은 $X=\{x|0\le x\le 2\}$이고 $f$의 치역은 $Y=\{y|0\le y\le 2\}$이므로 합성함수 $f\circ g$의 정의역과 치역도 각각 $X$, $Y$와 같다는 사실에 주목합니다.

그다음 이 부분이 중요합니다. 함수 $g(x)$는 정의역이 $x=1$을 기준으로 수식이 다르므로 $(f\circ g)(x)$의 정의역 역시 $x=1$을 기준으로 구간을 나눠줍니다. 이다음 부분은 더 중요합니다. 합성할 함수 $f(x)$ 역시 정의역이 $x=1$을 기준으로 수식이 두 개로 나뉘죠. 따라서 $(f\circ g)(x)=f(g(x))$를 구하려면 $g(x)$의 치역이 $y=1$을 기준으로 큰지, 작은지에 따라 적용할 수식이 달라집니다. 따라서 좌표평면에다가 그림과 같이 보조선 $x=1$과 $y=1$을 추가하여 구간을 나눠줍니다.

그리고 이 위에다가 우선 $y=g(x)$의 그래프를 먼저 그려줍니다. 그리고 이 그래프와 보조선이 만나는 교점을 모두 구해서 다음과 같이 (빨간색 점)표시한 다음 그 점에서의 $f(g(x))$의 값을 찾아주면 됩니다. 이 교점들의 $x$좌표 값들을 기준으로 각 구간마다 적용되는 수식이 모두 다르므로 각각 다른 그래프가 나타나게 됩니다.

이 빨간색 점들로 먼저 $f(g(x))$의 값을 구해주는 게 핵심이에요. 이 점들의 $x$ 좌표는 각각 $0$, $1$, $\frac{3}{2}$, $2$이므로 이들을 대입하면 $f(g(0))=f(1)=2$, $f(g(1))=f(0)=0$, $f(g(\frac{3}{2}))=f(1)=2$, $f(g(2))=f(2)=0$입니다. 즉, 위에서 구한 각 (빨간색)점의 $y$좌표를 $f(x)$에 대입하여 얻은 값을 $y$좌표로 하는 (파란색)점을 다음과 같이 표시해주는 절차로 이해하시면 됩니다.

이 점들이 바로 $y=(f\circ g)(x)$의 그래프인 선분이 꺾이는 지점이 됩니다. 따라서 다음과 같이 이 점들을 선분으로 연결해주면 그래프가 완성됩니다. 위에서 수식을 통해 그린 그래프와 일치한다는 걸 알 수 있죠.

같은 방법으로 위의 문제에서 $y=(g\circ f)(x)$의 그래프 또한 그릴 수 있어요. 이 그래프를 그리는 건 독자님께 과제로 남겨도 되겠죠?

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● 연습 문제 풀이

 

집합 $X=\{x|0\le x\le 3\}$에 대하여 두 함수

$f:X$→$X$,  $g:X$→$X$

의 그래프가 각각 다음과 같다. 방정식 $(g\circ f)(x)=3-x$의 서로 다른 실근의 개수를 구하시오.

방정식 $(g\circ f)(x)=3-x$의 경우 치환해서 간단하게 접근할 방법이 없기 때문에 이 문제에서는 어쩔 수 없이 $(g\circ f)(x)$를 직접 구해야 합니다. 이 문제처럼 실근의 개수만 필요할 경우 함수의 그래프가 적절한 전략입니다.

이제 $y=(g\circ f)(x)$의 그래프를 그리기 위해 위에서 연습했던 것처럼 $y=f(x)$의 그래프를 놓고 좌표평면을 세팅합니다. 이때 $f(x)$는 $x=1$을 기준으로 함수 식이 나뉘고, $g(x)$는 $x=2$을 기준으로 함수 식이 나뉘므로 좌표평면에다 두 직선$x=1$과 $y=2$를 그어서 구간을 나눠줍니다.

이제 그은 직선과 $y=f(x)$의 그래프와의 교점 및 그래프의 시작점과 끝점을 다음과 같이 모두 표시합니다.

표시한 점들의 $y$좌표를 합성할 함수 $g(x)$에 모두 대입하여 구하고, 그 값들을 $y$좌표로 하는 점들을 표시합니다.

나눠진 각 구간에서 표시한 점들을 선분으로 연결하여 그래프를 완성합니다.

문제에서 요구한 방정식 $(g\circ f)(x)=3-x$을 풀기 위해 이 식을 $\{\begin{array}{c}y=(g\circ f)(x)\\ y=3-x\end{array}$로 놓고 다음과 같이 두 방정식의 그래프를 비교합니다.

두 그래프의 서로 다른 교점이 $3$개인 걸 알 수 있죠? 따라서 구하는 서로 다른 실근의 개수는 $3$입니다.

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정의역이 $\{x|0\le x\le 4\}$인 함수

$f(x)=$ $\{\begin{array}{ll}-2x+3& (0\le x<1)\\ \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}& (1\le x<3)\\ 2x-4& (3\le x\le 4)\end{array}$

에 대하여 방정식 $(f\circ f)=x^2-2x+2$의 서로 다른 실근의 개수를 구하시오.

주어진 방정식을 수식으로 일일이 푸는 건 너무 복잡하겠죠. 이 문제도 역시 방정식의 실근의 개수를 물었으므로, 그래프를 그려서 접근하면 됩니다. 함수 식의 무려 3개로 나뉘어 있어서 번거로워 보이지만 다음의 그래프를 나타낸다는 건 어렵지 않게 알아낼 수 있을 거예요.

이 함수는 $x=1$과 $x=3$을 기준으로 수식이 나뉘므로 $(f\circ f)(x)$의 그래프를 구하려면 다음과 같이 직선 $x=1$, $x=3$, $y=1$, $y=3$을 그려주고 그래프와의 교점을 표시합니다.

표시한 (파란색)점들의 $y$좌표를 합성할 함수 $f(x)$에 모두 대입하여 구하고, 그 값들을 $y$좌표로 하는 점들을 다음과 같이 표시(보라색 점)합니다.

이 점들을 각 구간에서 선분으로 연결하여 그래프를 완성합니다.

이제 문제에서 요구한 방정식 $(f\circ f)(x)=x^2-2x+2$를 풀기 위해 이 식을 $\{\begin{array}{c}y=(f\circ f)(x)\\ y=x^2-2x+2\end{array}$로 놓고 다음과 같이 두 방정식의 그래프를 비교합니다. 여기서 $y=x^2-2x+2=(x-1{)}^2+1$이므로 이 그래프는 $y=x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $1$만큼,  $y$축의 방향으로 $1$만큼 평행이동한 그래프임을 알 수 있어요.

이제 거의 다 왔어요. 두 그래프를 비교해서 교점이 몇 개인지만 파악하면 됩니다. 교점이 몇 개일까요? 여기서 육안으로 대충 파악하고 교점이 $2$개라고 답 하신다면, 힘들게 그래프를 구해놓고 마지막에 틀려버리는 참사가 일어납니다.

$2$개라고 답하신 분은 위의 그림에서 파란색으로 표시한 교점을 보셨겠죠? 하지만, 결론부터 말하면 교점은 $2$개가 아니라 $3$개입니다. 왜 $3$개일까요?  이것이 어리둥절하다면 이전에 공부한 이차함수의 그래프의 성질을 놓친 거예요. 

이차함수의 그래프의 꼭짓점에서의 접선은 다음과 같이 기울기가 $0$임을 알고 있겠죠? 

이 말은 즉, 이차함수 그래프의 꼭짓점을 지나는 직선은 기울기가 $0$일 때만 그림처럼 교점이 딱 한 개가 되고 여기에서 기울기가 조금만 달라져도 접선이 아니라 포물선을 자르고 지나가는 할선이 된다는 겁니다. 위에서 그린 $y=(f\circ f)(x)$의 그래프에서 포물선의 꼭짓점을 지나는 선분의 기울기가 $\frac{1}{4}$인데, 이것을 프로그램을 통해 그려서 확대해보면 실제로 다음과 같은 그래프 모양이 됩니다. 그림에서 $(1,1)$로 표시한 위치가 포물선의 초점이고 그 오른쪽으로 교점이 하나 더 존재한다는 것을 확인할 수 있죠.

이상으로부터 방정식 $(f\circ f)=x^2-2x+2$의 서로 다른 실근의 개수는 $3$입니다.

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