사다리 타기 게임의 자세한 원리 - 일대일대응의 합성 (고1수학 함수)

 

 

사다리 타기 게임의 자세한 원리 - 일대일대응의 합성 (고1수학 함수)

네이버에도 서비스로 제공될만큼 대중적인 게임인 사다리타기는 일대일대응이 합성된 원리입니다.

 

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 지난 포스팅에서 교환법칙, 결합법칙 등 합성함수의 기본 성질에 대해 알아보았습니다. 오늘은 교과서의 내용을 벗어나서 일상에서 대중적으로 하는 게임인 사다리 타기의 원리에 대해 자세히 알아보도록 하겠습니다.

● 들어가기

사다리 타기 게임은 다음과 같이 단순한 원리로 움직입니다.

1. 세로줄의 위에서부터 출발하여 아래쪽으로 움직인다. 2. 세로줄 사이를 연결하는 선분을 만나면 그 선분을 따라 움직여서 건너편 세로줄로 이동한다.

이 원리를 따라 위에서 제시한 사다리에서 1번에서 출발하면 다음과 같이 '다'에 도착하게 됩니다. 같은 방법으로 2번에서 출발하면 '나'에 도착하고, 3번에서 출발하면 '라'에, 4번에서 출발하면 '가'에 도착합니다.

이렇게 해서 만들어진 사다리 게임은 규칙만 제대로 지키면 선분을 어떤 식으로 그어도 결과가 중복되지 않고 골고루 분배된다는 특징을 갖고 있어서 보통, 내기를 하거나 무작위로 무언가를 정할 때 많이 하며, 심지어는 이것으로 도박을 하기도 합니다. 여기엔 무슨 원리가 들어있는 걸까요?

 

● 두 원소를 맞바꾸는 일대일대응

우리는 다음과 같이 정의역의 각 원소에 대응하는 함숫값이 서로 겹치지 않으면서 치역과 공역이 일치하는 함수를 일대일대응이라고 정의하였습니다.

이러한 일대일대응 중에서는 다음과 같이 서로 다른 두 원소가 서로에게 대응하고 나머지 원소들은 모두 자기 자신과 대응하는 함수를 생각할 수 있겠죠?

위의 함수는 1은 2로, 2는 1로 대응하고 나머지 원소들은 모두 자기 자신과 대응한 일대일대응이죠. 편의상 이런 함수를 

'$_{2}^{1}f$'라고 정의하겠습니다.

 

● 사다리 타기와 일대일대응

그럼 이제 위에서 정의한 함수가 사다리 타기와 어떤 관련이 있는지 살펴보겠습니다. 사다리 게임을 하려면 우선 사다리부터 그려야 하죠. 사다리를 그릴 때는 일단 세로줄부터 인원수만큼 그립니다. 편의상 4명이 있다고 가정하면 다음과 같이 그리죠.

여기에다 세로줄을 연결하는 선분을 그으면 되는데 만약, 이 상태에서 아무것도 그리지 않고 바로 게임을 시작한다면 각각의 수는 모두 자기 자신으로 도착하겠죠. 즉, 위의 사다리 게임에서 각 수의 대응은 항등함수와 같습니다.

이제 여기에다 다음과 같이 선분을 하나 추가해 보겠습니다.

이 상태로 게임을 시작하면 1은 2로 도착하고 2는 1로 도착하죠. 즉, 1과 2가 서로 자리를 바꾸게 되어 위에서 정의한 함수 $_{2}^{1}f$와 같은 대응관계를 보이고 있음을 알 수 있습니다.

여기에다 다음과 같이 선분 하나를 더 추가하면

이렇게 그리면 파란색 선분 바로 위해서 화살표 방향으로 내려오는 2번과 3번 라인이 서로 자리를 바꿔서 내려가게 됩니다. 즉, 이 부분은 함수 $_{3}^{2}f$와 같은 원리죠. 여기서 게임을 시작하면 1에서 출발할 경우 초록색 선분에 의해 2번 라인으로 옮겨져서 내려가다가 파란색 선분에 의해 3번 라인으로 또 옮겨집니다. 이것을 함수로 나타내면 다음과 같습니다.

이제 어떤 원리로 움직이는지 슬슬 보이시나요? 위에서 그린 사다리 게임은 두 함수 $_{2}^{1}f$와 $_{3}^{2}f$를 합성한 함수 $_{3}^{2}f\circ _{2}^{1}f$와 같은 결과를 보입니다.

결국 사다리 게임에서 두 라인을 연결하는 선분을 그리는 것은 해당 라인의 수끼리 서로 맞바꾸는 함수를 합성하는 원리와 같습니다. 이때, 각 선분 중에서 가장 위에 있는 선분에 해당하는 함수부터 차례대로 대응하는 거죠.

따라서 예를 들어 다음의 사다리 게임은 합성함수 $_{2}^{1}f$ $\circ$ $_{3}^{2}f$ $\circ$ $_{4}^{3}f$ $\circ$ $_{2}^{1}f$와 같습니다. 여기서 초록색 선분과 빨간색 선분은 둘 다 파란색 선분 위에 있으므로 둘 중 누가 더 우선일 필요가 없죠. 따라서 $_{2}^{1}f$ $\circ$ $_{3}^{2}f$ $\circ$ $_{2}^{1}f$ $\circ$ $_{4}^{3}f$와 같이 합성해도 결과는 같습니다.

이제 사다리 타기 게임에서 세로줄을 연결하는 선분을 어떤 식으로 그려도 결과가 겹치지 않고 골고루 분배되는 원리를 설명할 수 있겠나요? 이 원리는 합성하는 함수들이 모두 일대일대응이라는 점에 있습니다. 일대일대응끼리 합성하면 그 결과도 일대일대응이 된다는 것은 지난 포스팅(https://holymath.tistory.com/entry/합성함수의-기본성질)에서 증명한 바 있죠. 따라서 사다리에서 선분에 해당하는 함수들끼리 합성한 결과 역시 일대일대응이 되므로 다음과 같이 정의역의 원소와 공역의 원소들이 모두 골고루 짝이 맞춰집니다.

 

● 사다리 타기의 추가 옵션에 대한 성질

사다리 타기 게임에서 선분을 그릴 때는 보통 여러 사람들이 함께 모여서 마구잡이로 그리는 경우가 많습니다. 그러다 보면 다음과 같이 A 지점과 B 지점이 연결되도록 특이한 모양(갈색 꺾인 선분)의 사다리를 추가하는 경우도 있어요.

이런 경우엔 게임의 결과가 어떻게 될까요? 우선 처음 1번 라인에서 출발하면 A 지점에서 갈색 선분을 만나게 되는데, 이때는 그냥 ㄷ자 모양으로 이 선분을 타고 아래로 내려가면 됩니다. 그러나 밑의 B 지점에서 갈색 선분을 만났을 경우에는 다음과 같이 ㄷ자 모양으로 타고 다시 위로 올라가야 합니다. 

이 원리는 함수의 단순한 합성으로는 설명이 안 되고, 합성함수의 대응관계에서 특정 지점끼리 서로 바꾸는 원리로 생각할 수 있습니다. 편의상 위에서 그렸던 합성함수의 맨 앞과 뒤에 항등함수를 하나씩 합성하고, 각 번호에서 출발한 라인이 도착지점까지 일정한 색깔이 되도록 다음과 같이 나타내 보겠습니다.

이때 사다리에서 나타낸 A 지점과 B 지점은 이 그림에서 각각 다음의 위치를 의미합니다.

즉, 합성함수의 관점에서 보면 1번에서 초록색 라인을 타고 출발하면 A 지점에 도달했을 때, B 지점으로 위치를 옮겨서 보라색 라인을 타고 가는 원리와 같습니다. 반대로 4번에서 보라색 라인을 타고 출발하면 B 지점에 도달했을 때, A 지점으로 위치를 옮겨서 초록색 라인을 타고 가는 원리와 같습니다.

즉, 이렇게 그린 갈색 꺾인 선분은 전체 합성함수에서 라인의 색깔을 서로 갈아타는 원리라고 볼 수 있습니다. 지금처럼 A 지점과 B 지점이 다른 색깔의 라인의 위치할 경우에는 전체적인 결과에 영향을 미치지만 두 지점이 같은 색깔의 라인에 위치했을 때는 전체적인 결과에 영향을 주지 않게 되죠. 즉, 사다리 게임에 이와 같은 특이한 옵션을 주더라도 도착하는 결과가 중복되지 않고 골고루 분배되는 사다리 게임의 고유한 성질은 변하지 않는 겁니다.

비슷한 원리로 다음과 같이 순간이동 장치를 만드는 경우도 생각해 볼 수 있습니다. 게임에서 한쪽 별 모양(★)에 도착하면 다른 쪽 별 모양(★)에서 나오는 원리입니다.

만약 별 모양(★) 장치가 없었으면 2에서 출발할 경우 1번 라인으로 갔다가 다시 2번 라인으로 가서 최종적으로 2번에 도착했을텐데, 1번 라인에서 2번 라인으로 바뀌어야 하는 지점에 별 모양(★) 장치가 있었으므로 이것은 다음 합성함수에서 A 위치에 별이 생겼다고 볼 수 있습니다.

마찬가지로 3번 도착지점 직전에 있는 별 모양(★) 장치는 위의 그림에서 B 위치에 설치되었다고 볼 수 있어요. 그렇다면 이 장치는 위의 그림에서 빨간색 경로와 초록색 경로를 서로 맞바꾸는 원리인 겁니다.

사실 위에서 그렸던 ㄷ자 모양의 장치도 순간이동 장치로 대체할 수 있어요. 즉, 사다리에서 어느 두 지점을 서로 바꾸어도 결과가 겹치지 않고 골고루 분배되는 고유의 성질은 변하지 않게 됩니다.

 

오늘은 사다리 타기 게임의 수학적 원리에 대해 알아보았습니다. 오늘 배운 원리를 응용한다면 사다리 게임을 할 때 그냥 가로선만 여러 개 그리는 것보다는 좀 더 특이한 장치를 만들면 더욱 결과를 예측할 수 없을 테니 더욱 재밌게 즐길 수 있겠죠?

 

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