매칭 예능프로에서 첫 인상을 선택한 결과는 함수를 이룹니다. 이 함수에서 정의역, 공역, 치역은 각각 무엇일까요?
안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다.수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.
오늘부터는 새로운 개념인 함수에 대해 포스팅을 달려보겠습니다. 고등학생들에게 함수는 새로운 개념이 아니죠. 사실 고등학교에서 다루는 모든 개념이 다 그렇지만 함수는 방정식과 마찬가지로 중학교 1학년 때 정비례, 반비례부터 배우기 시작해서 중2 때는 일차함수, 중3 때는 이차함수까지 매 학년마다 함수를 배웠습니다. 심지어 고등학교 들어와서도 1학기 때 이차함수의 최대, 최소까지 공부했죠. 새롭게 공부하는 함수 단원에는 어떤 내용이 있는지 살펴보겠습니다.
● 중학교에서의 함수의 정의
교과서의 함수 단원을 보면 가장 먼저 등장하는 것이 함수의 '정의'입니다. 위에서도 말했듯이 그동안 함수를 엄청나게 배웠는데 함수를 다시 정의하는 이유가 뭘까요? 이것은 지금까지 다룬 함수는 함수의 기초에 해당하기 때문에 앞으로 더 어려운 함수들을 배우기 위해서는 보다 엄밀한 정의가 필요해서입니다.
그렇다면 고등학교 수준의 함수의 정의를 배우려면 적어도 중학교 때는 함수를 뭐라고 정의했는지 알고 있어야 하는데 막상 함수가 뭐냐고 물으면 안타깝게도 제대로 대답할 수 있는 사람이 거의 없습니다. 공부를 열심히 하는 학생들도 잘 설명하지 못하죠. 함수는 단독으로 정의되는 게 아니라 두 변수 간의 관계를 통해 성립하는 개념이라 깊이 공부할수록 그 의미가 심오해집니다.
중학교에서는 함수를 다음과 같이 정의했죠.
두 변수 $x$, $y$에 대하여 $x$의 값이 변함에 따라 $y$의 값이 하나씩만 정해질 때, $y$를 $x$의 함수라고 한다.
이렇게 정의한 함수를 $y=f(x)$로 표현합니다. 이와 같이 함수를 정의하려면 일단 두 변수가 있어야 하고 하나의 변수의 값이 변화할 때, 다른 변수를 어떤 관계를 통해 변화하는지를 탐구하는 것이 함수의 개념이에요.
함수의 '함'은 한자로 상자를 의미하는 函로 사물함의 그 '함'입니다. 다음과 같이 상자 안에 변수 $x$를 넣으면 상자 안에서 무언가가 작동하여 $y$라는 변수가 나오는 것이 함수가 정의되는 방식이죠.
그림 출처: 글쓰는 개발자 김자빈 (https://blog.naver.com/arislid/)
함수는 영어로 function이라고 하는데 기능, 작용 등의 뜻을 가지고 있습니다. 기계나 프로그램이 돌아갈 때 종종 쓰는 용어죠. 이 단어의 앞글자를 따서 함수를 나타낼 때 주로 $f(x)$를 씁니다.
●함수의 정의
이제 고등학교 수준에서 함수를 정의하기 위해 교과서의 예시를 보겠습니다.
자료출처: 좋은책 신사고 수학
함수를 배우려고 예시를 봤는데 직전에 배운 집합이 등장하고 있죠. 그리고 원소들끼리 화살표를 이용해서 짝을 지어주고 있습니다. 즉, 함수를 정의하기 위해 집합과 원소를 사용하는 것이 고등학교 함수의 주된 특징이 됩니다.
이와 같이 두 집합 $X$, $Y$에 대하여 $X$의 원소에 $Y$의 원소를 짝짓는 것을 $X$에서 $Y$로의 대응이라고 하며 이것을 기호로
$x~$→$~y$
와 같이 나타냅니다. 명제에서 사용했던 화살표 기호가 똑같이 쓰이고 있음을 알 수 있는데 수학에서는 이렇게 같은 기호를 써도 다른 의미로 쓰이는 경우가 있으니 유의할 필요가 있고요. 다행히 이 기호는 자주 쓰이지는 않습니다. 그냥 단순하게 두 원소를 짝으로 연결 지어주는 개념이라고 생각하면 되고요. 위에서 [그림1]과 [그림2]는 두 집합 간에 원소를 짝지어줬으므로 둘 다 대응에 해당됩니다. [그림1]에서는 '프랑스 → 에펠탑', [그림2]에서는 '중국→베이징'으로 표현할 수 있겠죠.
이러한 대응 중에서 특별한 조건을 만족시키는 대응을 다음과 같이 함수라고 정의합니다.
■ 함수 $f$의 정의
두 집합 $X$, $Y$에 대하여$X$의 각 원소에 $Y$의 원소가 오직 하나씩 대응할 때, 이 대응을 $X$에서 $Y$로의 함수라 하고, 이것을 기호로 와 같이 나타낸다. 이때 집합 $X$를 함수 $f$의 정의역, 집합 $Y$를 함수 $f$의 공역이라고 한다. 또 함수 $f:X~$→$~Y$에서 정의역 $X$의 원소 $x$에 공역 $Y$의 원소 $y$가 대응할 때, 이것을 기호로 와 같이 나타낸다. 이때 $f(x)$를 $x$에서의 함숫값이라 하고, 함숫값 전체의 집합 $\left\{f(x)~|~x\in X\right\}$를 함수 $f$의 치역이라고 한다.
함수 하나를 정의하는데 참 말이 많죠. 위에 나열된 용어 및 수식은 전부 숙지하셔야 합니다. 위에서 문자 $f$는 필요에 따라 $g$, $h$나 기타 다른 문자로 대체할 수 있습니다.
이제까지는 그냥 두 변수 $x$, $y$만 가지고서 함수를 정의했는데 두 변수 $x$, $y$를 두 집합 $X$, $Y$의 원소로 지정해서 변수와의 관계가 아니라 두 집합 간의 관계로 함수를 정의하고 있죠. 그리고 집합의 원소는 그 대상이 무엇이든 상관없으며, 대상의 범위 또한 자유롭게 제한이 가능합니다.
그리고 각 집합의 이름도 존재해서 정의역, 공역, 치역이라는 명칭이 등장합니다. 정의역(定義域, domain)은 함수를 정의하기 위한 변수들의 집합이라 할 수 있고, 치역(値域, range)에서 치(値)는 값어치를 의미하죠. 공역(共域, codomain)에서 共은 '한 가지', '다 함께'라는 뜻을 가졌는데 함숫값이랑 함숫값이 아닌 것들이 다 함께 있는 집합이라고 이해할 수 있습니다.
정의역, 공역, 치역의 개념은 다음과 같이 정리할 수 있습니다. 치역은 공역의 부분집합이 된다는 사실도 참고하시고요.
자료 출처: EBS 수학의 왕도 수학 하
지금까지 공부했던 함수들은 반비례 함수를 제외하면 일차함수, 이차함수 모두 정의역이 실수 전체집합이라는 공통점이 있어요. 그리고 $x$의 값의 범위에 임의로 제한을 가하기 시작한 게 고등학교에 입학해서 배운 이차함수의 최대, 최소입니다. 여기서부터는 함수를 집합을 이용하여 정의함으로써 변수$x$가 의미하는 대상과 그 범위를 마음대로 조작하여 다양한 함수를 표현하겠다는 의미가 담겨있습니다.
위에서 예시로 든 그림을 다시 보겠습니다.
자료출처: 좋은책 신사고
[그림1]과 [그림2]는 두 집합 간에 원소를 짝지어줬으므로 둘 다 대응이라고 했죠. 이 중에서 함수가 되는 것은 [그림2]가 됩니다. 그리고 이 함수의 정의역은 {대한민국, 프랑스, 중국}이고 공역은 {서울, 파리, 런던, 베이징}입니다. 그리고 이 중에서 서울, 파리, 베이징이 함숫값이 되었으므로 치역은 {서울, 파리, 베이징}이 됩니다. 그리고 이 함수를 $f:X~$→$~Y$라 하면
$f($ 대한민국 $)=$ 서울
과 같이 원소끼리 대응하는 관계를 $f(x)$를 통해 나타낼 수 있는 거죠. 이와 같이 두 변수 $x$, $y$에 들어가는 대상은 반드시 수일 필요가 없는 거죠.
이 포스팅 대표 이미지인 매칭 예능프로의 첫인상 결과가 함수를 이룬다고 했죠. 참가자들끼리 지켜야 할 룰이 있었으므로 함수가 만들어진 것인데요. 이와 같이 대응 중에서 함수를 고르는 문제는 3대 3 미팅에 참여했다고 가정하고 남자 1, 2, 3이 여자 $a$, $b$, $c$의 첫인상으로 마음에 드는 상대를 고르는 상황이라고 가정해봅시다. 이런 상황에서 상식적이고 인간적으로 나와선 안 되는 결과는 함수가 아니라고 보시면 되는 겁니다.
①번 같은 상황이 일어나면 선택을 받는 여자들은 "그렇구나!" 하면서 수긍할까요, "뭐지?" 하면서 당황할까요? 아마 후자일 겁니다. 2번 남자가 선택을 안 했으니까요. 마음에 드는 상대가 없다고 해도 미팅에 참여를 했으면 지켜야 할 매너가 있겠죠.
②번 같은 상황은 어떨까요? 역시나 해선 안 되는 짓을 하는 사람이 있죠. 2번 남자가 두 명을 고르고 있기 때문에 이런 경우는 함수가 아닙니다.
이런 상황에서는 ③번과 같이 모든 남자가 딱 한 명씩의 여자를 골라주어야 하는 거죠. 이 과정에서 선택을 못 받는 여자가 생기는 건 어쩔 수 없는 겁니다.
따라서 함수인 것은③번입니다.
함수를 만족하는 대응은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
자료 출처: EBS 수학의 왕도 수학 하
● 왜 하나씩만 정해야 하는가?
이런 의문을 가져본 적이 있으신가요? 대응 중에서 왜 $Y$의 원소가 하나씩만 대응되어야 함수가 된다는 조건을 걸었을까요? 이렇게 정의한 함수는 일상이나, 과학, 기술 분야에 무수히 활용되고 있기 때문입니다.
뉴스에서 보도하는 지역별, 시간별 기온, 금리 등 각종 데이터들이 모두 함수에 해당됩니다. 일상에서도 함수의 예는 얼마든지 있어요. 시간에 따른 몸무게나 키의 변화, 사람별로 가지고 있는 혈액형 등이죠. A형인 동시에 B형인 사람은 존재하지 않습니다. 일상생활을 위해 인위적으로 부여하는 함수도 있습니다. 대표적인 것이 주민번호죠. 학교에서는 학번이 있습니다. 각 사람마다 고유 번호를 부여해서 행정적으로 관리하기 위해 부여된 번호인데 이때 중요한 것은 번호 하나당 반드시 한 사람씩만 대응을 시켜야겠죠. 만약 하나의 주민번호에 여러 사람을 대응시킨다면 개인정보를 관리하는 데 있어 치명적인 문제가 발생활 겁니다.
함수를 영어로 function이라고 했는데 함수는 기계나 프로그램이 작동하는 원리에서도 찾아볼 수 있습니다. 피아노나 기타 같은 각종 악기도 마찬가지죠. 특정 건반을 눌렀으면 그 건반이 가진 고유한 소리 하나만 내야 하지 하나의 건반의 여러 개의 음이 불규칙적으로 나타난다면 그 악기로는 연주를 할 수 없습니다. 자동차 페달의 경우에도 액셀을 밟으면 차는 움직이고 브레이크를 밟으면 반드시 서야만 하죠. 브레이크 하나에 여러 기능이 들어간다면 매우 위험한 차가 될 겁니다.
피아노는 각 건반마다 딱 하나의 고유의 소리를 담당합니다. (그림 출처: pixabay)
이렇듯 일상에서 특정 변수에 하나의 결과가 나타는 경우는 무수히 많이 찾을 수 있습니다. 이런 현상들을 함수를 통해 수학화하여 현상을 분석하는 것이 수학이 할 수 있는 일입니다.
● 정의역 구하기
배운 내용에 의하면 하나의 함수가 결정되기 위해서는 정의역과 공역이 제시되어야 하며 정의역의 각 원소에 공역의 원소를 하나씩 대응하는 규칙이 정해져야 합니다. 그렇다면 지금까지 배웠던 함수들, 예를 들면 $f(x)=2x+1$와 같이 식만 제시하면 안 되느냐? 물론 가능합니다. 기존의 방식처럼 정의역이나 공역의 제시 없이 식만 제시하면 정의역은 $x$에 들어갈 수 있는 모든 수들의 집합으로 약속하고, 공역은 그냥 실수 전체의 집합으로 약속합니다.
따라서 함수 $y=2x+1$는 정의역과 공역 모두 실수 전체의 집합으로 생각하면 되고, 함수의 $y=\begin{align*}\underline{1} & \\ x & \end{align*}$의 경우 정의역은 {$x~$|$~x$ 는 0이 아닌 실수}, 공역은 실수 전체의 집합으로 생각하면 됩니다. 특히, 이 함수의 경우 치역은{$y~$|$~y$ 는 0이 아닌 실수}입니다.
●기출문제 연습
오늘 배운 내용은 함수의 정의가 전부이지만 이것만 가지고도 다음과 같이 고난도 문제를 낼 수 있어요.
집합 $X=\left\{1,~2,~3,~4,~5,~6,~7,~8\right\}$에 대하여 함수 $f:X~$→$~X$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 함수 $f$의 치역의 원소의 개수는 $7$이다. (나) $f(1)+f(2)+f(3)+\cdots +f(8)=42$ (다) 함수 $f$의 치역의 원소 중 최댓값과 최솟값의 차는 $6$이다.
집합 $X$의 어떤 두 원소 $a$, $b$에 대하여 $f(a)=f(b)=n$을 만족하는 자연수 $n$의 값을 구하시오. (단, $a\neq b$) [2018.11/4점]
(가) 조건부터 확인해보겠습니다. $f$의 치역의 원소의 개수가 $7$이라는 것은 $1$부터 $8$까지의 자연수 중에서 하나의 수는 선택을 받지 못하고 함숫값에서 제외된다는 뜻이죠. 하나가 선택을 못 받았다면 하나는 중복해서 선택을 받았다는 얘긴데 이 문제의 끝에서 $f(a)=f(b)=n$을 만족하는 $n$이라고 했으니 결국 중복 선택을 받은 그 수가 어떤 수인지를 찾는 것이 출제 의도입니다. 이 수가 어떤 수인지는 (나) 조건을 통해 추론해야 하는데 아직은 금방 알 수 없으니 (다) 조건으로 넘어가 보겠습니다.
(다)에서 치역의 원소 중 최댓값과 최솟값의 차는 $6$이라고 했죠. 이것으로부터 큰 단서를 얻을 수 있어요. 만약 치역에 $1$과 $8$이 둘 다 있었다면 최댓값과 최솟값의 차는 $7$이 되어야 하는데 이 차가$6$이라는 것은 결국 $1$과 $8$중 하나가 함숫값에서 제외되었다는 것을 추론할 수 있습니다.
이제 (나) 조건에 의해 $f(1)+f(2)+f(3)+\cdots +f(8)=42$을 만족하는 경우를 찾으면 됩니다.
1) 함숫값에서 제외된 수가 $1$인 경우
나머지 $2$부터 $8$까지는 전부 한번 이상 선택되었으므로 이 값들을 모두 더하면
$2+3+4+5+6+7+8=35$
여기서 중복 선택된 수를 한번 더 더하면 $42$가 되어야 하므로 결국 중복 선택된 수는$7$입니다.
2) 함숫값에서 제외된 수가 $8$인 경우
나머지 $1$부터 $7$까지는 전부 한번 이상 선택되었으므로 이 값들을 모두 더하면
$1+2+3+4+5+6+7=28$
여기서 중복 선택된 수를 한번 더 더하면 $42$가 되어야 하는데 $28$에서는 어떠한 수를 더해도$42$보다는 작죠. 따라서 이 경우는(나)를 만족시키지 않습니다.
1), 2)에 의해 $n=$$7$입니다.
♥ 이해가 잘 되셨다면 공감과 선플은 포스팅 강의 제작에 큰 힘이 됩니다. ♥ 이해가 잘 안 되신 부분은 댓글을 통해 질문을 주세요. ♥본문의 내용은 추가, 보완될 수 있습니다.
댓글 영역