함수 그래프의 대칭 조건에 대한 자세한 이해 (고1수학 도형의 방정식)

함수 그래프의 대칭 조건에 대한 자세한 이해 (고1수학 도형의 방정식)

코사인 삼각비를 통해 y축에 대칭인 다양한 함수의 그래프를 만들 수 있습니다.

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 도형의 대칭이동에 대한 3번째 포스팅입니다. 이 포스팅에서는 대칭을 이루는 함수의 그래프의 특징에 대해 알아보겠습니다. 

 

● 우함수와 기함수

일반적으로 함수 $y=f(x)$의 그래프가 $y$축에 대하여 대칭을 이루면 우함수, 원점에 대하여 대칭을 이루면 기함수라 부릅니다.

즉, 우함수는 그래프를 $y$축에 대하여 대칭이동해도 그 결과가 변하지 않는 함수이죠. 이것을 방정식 $y=f(x)$에 적용하면 $y=f(x)$와 $y=f(-x)$가 같은 도형의 방정식을 나타내므로 $f(-x)=f(x)$가 성립합니다.

또한, 기함수는 그래프를 원점에 대하여 대칭이동해도 그 결과가 변하지 않는 함수이므로 이것을 방정식 $y=f(x)$에 적용하면 $y=f(x)$와 $-y=f(-x)$ 즉, $y=-f(-x)$가 같은 도형의 방정식을 나타내므로 $f(-x)=-f(x)$가 성립합니다.

이상을 정리하면 다음과 같습니다.

우함수와 기함수라는 용어 자체는 교육과정에서 다루지 않으나, 이 두 가지 유형은 함수 관련 문제에서 유용하게 활용될 수 있으며 특히 수학Ⅱ에서 함수의 정적분을 구할 때, 빛을 발합니다.

예를 들어, $y=2$, $y=x^2$, $y=x^4$, $y=\left|x\right|$ 등은 우함수이고, $y=x^3$, $y=x^5$, $y=x\left|x\right|$ 등은 기함수입니다.

추가적으로 두 함수 $f(x)$, $g(x)$에 대하여

$f(x)$, $g(x)$가 모두 우함수이면 $f(-x)g(-x)=f(x)g(x)$이므로 $f(x)g(x)$는 우함수입니다.

$f(x)$, $g(x)$가 모두 기함수이면 $f(-x)g(-x)=\{-f(x)\}\{-g(x)\}=f(x)g(x)$이므로 $f(x)g(x)$는 우함수입니다.

$f(x)$는 우함수, $g(x)$는 기함수이면 $f(-x)g(-x)=f(x)\{-g(x)\}=-f(x)g(x)$이므로 $f(x)g(x)$는 기함수입니다.

이 결과는 다음과 같이 정리할 수 있습니다. 즉, 우함수는 (+)부호처럼 함수의 성질을 바꾸지 않으며 기함수는 (-)부호처럼 함수의 성질을 바꾸는 것으로 이해하시면 됩니다. 참고로 우함수의 우(偶)는 짝을 나타내고 기함수의 기(奇)는 기이하다는 뜻을 가지고 있습니다.

(우함수)$\times$(우함수)$=$(우함수) (우함수)$\times$(기함수)$=$(기함수) (기함수)$\times$(기함수)$=$(우함수)

 

● 직선 $x=p$와 점 $(p,q)$에 대하여 대칭인 함수

도형 $y=f(x)$를 직선 $x=p$에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 $y=f(2p-x)$이죠. 따라서 이 도형 자체가 $x=p$에 대하여 대칭을 이룬다면 $f(x)=f(2p-x)$가 성립합니다.

이 관계에서 중요한 점은 $f$안의 두 변수 $x$와 $2p-x$를 더하면 $2p$가 된다는 사실입니다. 즉, 두 변수의 평균이 $p$가 되므로 $x=p$에 대하여 대칭을 이루는 것이죠. 따라서 $f(x)=f(2p-x)$뿐만 아니라 $f(p+x)=f(p-x)$나 $f(3p-x)=f(x-p)$ 등 두 변수를 더해서 $2p$가 되는 모든 관계식은 함수의 그래프가 $x=p$에 대하여 대칭을 이루도록 합니다. 

또한, 도형 $y=f(x)$를 점 $(p,q)$에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 $2q-y=f(2p-x)$이죠. 마찬가지로, 도형 자체가 점 $(p,q)$에 대하여 대칭을 이룬다면 두 방정식이 같은 도형을 나타내므로 $y=2q-f(2p-x)$로부터 $2q-f(2p-x)=f(x)$ 즉, $f(x)+f(2p-x)=2q$가 됩니다. 이때에도 $f(p+x)+f(p-x)=2q$나 $f(3p-x)+f(x-p)=2q$ 등 $f$안의 두 변수를 더해서 $2p$가 되는 모든 관계식은 함수의 그래프가 점 $(p,q)$에 대하여 대칭을 이루도록 합니다. 

아래의 문제는 좀 오래된 기출문제이고 요즘은 이런 식으로 교과서에 없는 이론을 직접적으로 묻는 경우는 없으나, 간접적으로 이용할 경우 문제가 수월하게 풀리는 상황은 일어날 수 있으므로 참고 삼아 풀어보겠습니다.

 

이차함수 $f(x)$는 다음 두 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(3-x)=f(3+x)$이다. (나) $y=f(x)$의 그래프는 두 점 $(-1,2)$, $(4,17)$을 지난다.

옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?  [2010.11/4점]

<보기>

ㄱ. $y=f(x)$의 그래프는 직선 $x=3$에 대하여 대칭이다. ㄴ. $1\le x\le 8$에서 이차함수 $f(x)$의 최솟값은 $-7$이다. ㄷ. $g(x)=f(x+3)$일 때, 모든 실수 $x$에 대하여 $g(-x)=-g(x)$이다.

① ㄱ     ② ㄷ     ③ ㄱ, ㄴ     ④ ㄴ, ㄷ     ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

ㄱ. (가) 조건에서 $(3-x)+(3+x)=6$이므로 그래프는 직선 $x=3$에 대하여 대칭입니다. 따라서 ㄱ은 참입니다.

ㄴ. 이차함수 $f(x)$의 그래프가 $x=3$에 대하여 대칭이므로 이 그래프의 꼭짓점의 $x$좌표는 3입니다. 따라서 $f(x)=a(x-3{)}^2+q$와 같이 놓을 수 있습니다.

이제, 두 점 $(-1,2)$, $(4,17)$을 대입하면 미지수 $a$와 $q$의 값을 구할 수 있겠죠. 따라서

$f(-1)=a(-1-3{)}^2+q=16a+q=2$
$f(4)=a(4-3{)}^2+q=a+q=17$

두 식을 연립하면 $a=-1$, $q=18$

따라서 $f(x)=-(x-3{)}^2+18$입니다.

따라서 $y=f(x)$의 그래프는 위로 볼록이므로 $1\le x\le 8$의 범위에서 $f(x)$의 최솟값은 $x=3$에서 가장 멀리 떨어진 $x=8$을 대입한 $f(8)=-(8-3{)}^2+18=-7$이 됩니다. 따라서 ㄴ도 참입니다.

ㄷ. $g(x)=f(x+3)$이면 $y=g(x)$의 그래프는 $y=f(x)$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $-3$만큼 평행이동한 그래프가 되죠. 그런데 $y=f(x)$는 직선 $x=3$에 대하여 대칭이므로 $y=g(x)$의 그래프는 직선 $x=0$ 즉, $y$축에 대하여 대칭입니다. 즉, $y=f(x)$의 대칭축인 $x=3$ 또한 $x$축의 방향으로 $-3$만큼 평행이동한 $x=0$가 $y=g(x)$의 대칭축이 되는 거죠.
따라서 $g(-x)=g(x)$가 성립합니다.
그런데 ㄷ에서는 그래프가 원점 대칭인 함수의 특징을 진술하였으므로 ㄷ은 거짓입니다.

이상으로부터 답은 ③번입니다.

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