도형의 대칭이동 심화 : x=p, y=q, (p, q), y=-x에 대한 대칭이동 (고1수학 도형의 방정식)

도형의 대칭이동 심화 : x=p, y=q, (p, q), y=-x에 대한 대칭이동 (고1수학 도형의 방정식)

눈꽃송이의 입자는 중심점에 대하여 대칭을 이룹니다. (그림 출처: https://pixabay.com/illustrations/background-pattern-winter-5841885/)

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

지난 포스팅에서 x축, y축, 원점, y=x에 대한 기본 대칭이동을 알아봤습니다. 그리고 교육과정에서 시험문제로 출제하도록 공식적으로 허용되는 범위도 여기까지입니다. 그러나 안타깝게도 현실은 그렇지가 않죠. 간혹 이 4가지 말고도 다른 점이나 직선에 대하여 대칭을 이루는 원리를 묻는 문제도 종종 등장합니다. 여기서는 직선 $x=p$, 직선 $y=q$, 점 $(p,q)$, 직선 $y=-x$에 대한 대칭이동에 대해 알아보겠습니다.

 

● 직선 x=p, y=q와 점 (p, q)에 대한 대칭이동

직전 포스팅에서 $x$축, $y$축 및 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 다음과 같이 알아보았습니다.

자료 출처: EBS 수학의 왕도 수학 상

여기에서 $x$축, $y$축을 위치만 옮긴 임의의 직선 $x=p$, $y=q$로 놓고 점 $(a,b)$를 대칭이동 시켜보면 다음과 같습니다. 여기서 $y=q$에 대하여 대칭이동한 점을 $(a_1,b_1)$,  $x=p$에 대하여 대칭이동한 점을 $(a_2,b_2)$로 나타내었습니다.

먼저 $(a_1,b_1)$와 $(a,b)$의 관계를 관찰해보면 두 점을 연결한 선분은 $y=q$와 수직이므로 $a_1=a$입니다. 즉, $x$좌표는 변화가 없죠. 그리고 $y=q$ 위의 점 $(a,q)$는 이 선분의 중점이므로 다음이 성립합니다.

$\frac{b+b_1}{2}=q$ 즉, $b+b_1=2q$ 이고 $b_1=2q-b$

마찬가지로 $(a_2,b_2)$와 $(a,b)$의 관계를 관찰해보면 두 점을 연결한 선분은 $x=p$와 수직이므로 $b_2=b$가 되어 $y$좌표에는 변화가 없습니다. 그리고 $x=p$ 위의 점 $(p,b)$는 이 선분의 중점이므로 다음이 성립합니다.

$\frac{a+a_2}{2}=p$ 즉, $a+a_2=2p$ 이고 $a_2=2p-a$

이 결과는 다음 그림으로 요약할 수 있습니다.

이제 점 $(p,q)$에 대한 대칭이동까지 알아보겠습니다. 직전 포스팅에서 원점에 대한 대칭이동은 $x$축 대칭이동과 $y$축 대칭이동을 둘 다 한 것과 같다는 것을 배웠죠. 마찬가지로 점 $(p,q)$에 대한 대칭이동은 직선 $x=p$와 직선 $y=q$에 대한 대칭이동을 둘 다 한 것으로 볼 수 있습니다.

따라서 위 그림과 같이 점 $(a,b)$를 점 $(p,q)$에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 $(a^{\prime },b^{\prime })$로 놓으면 다음이 성립합니다.

$\frac{a+a^{\prime }}{2}=p$ 즉, $a+a^{\prime }=2p$ 이고 $a^{\prime }=2p-a$

$\frac{b+b^{\prime }}{2}=q$ 즉, $b+b^{\prime }=2q$ 이고 $b^{\prime }=2q-b$

이상을 정리하면 다음과 같습니다.

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예를 들어, 점 $(5,3)$을

    직선 $x=3$에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 $(2\times 3-5,3)=(1,3)$

    직선 $y=2$에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 $(5,2\times 2-3)=(5,1)$

    점 $(3,2)$에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 $(2\times 3-5,2\times 2-3)=(1,1)$

이고 이 결과는 다음 그림과 같습니다.

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● 직선 y=-x에 대한 점의 대칭이동

직전 포스팅에서는 직선 $y=x$에 대한 대칭이동을 알아봤습니다. 그러나 이 직선과 수직을 이루는 쌍둥이 직선이 하나 더 있죠. 여기서는 직선 $y=-x$에 대한 대칭이동까지 마저 알아보겠습니다.

직선 $y=x$에 대한 대칭이동 방법을 알아보기 위해 좌표평면 전체를 직선 $y=x$에 대하여 뒤집었고 직각삼각형의 가로, 세로의 길이가 바뀌는 원리를 통해 점 $(a,b)$가 $(b,a)$로 이동한다는 사실을 알아보았습니다. 여기서도 원리는 비슷합니다. 다음 그림을 볼까요?

편의상, 제1사분면 위의 점을 하나 잡아서 $\text{P}(a,b)$로 놓으면 이 점과 원점을 꼭짓점으로 하고 가로의 길이가 $a$, 세로의 길이가 $b$인 직각삼각형을 그릴 수 있습니다. 이 파란색 삼각형을 직선 $y=-x$에 대하여 대칭이동한 삼각형이 바로 그림에서 초록색 직각삼각형이 되죠. 이때 초록색 삼각형은 가로의 길이가 $b$이고 세로의 길이가 $a$가 되어 가로와 세로가 바뀐 것을 확인할 수 있습니다.

단, 이번에는 주목할 점이 하나 더 있어요. 점 $\text{P}$는 제1사분면 위의 점이었는데 옮겨진 점 $\text{Q}$는 제3사분면 위에 있죠. 이것은 옮겨진 점의 좌표는 $x,y$ 좌표가 서로 바뀌는 것뿐만 아니라 각 좌표의 부호까지 바뀐다는 것을 알 수 있습니다.

따라서 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

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예를 들어, 점 $(-1,4)$를 직선 $y=-x$에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 $(-4,1)$이 되며 이 결과는 다음 그림과 같습니다.

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● 도형의 대칭이동

지금까지 정리한 대칭이동을 도형의 대칭이동으로 옮겨보겠습니다. 알고 있듯이, 대칭이동은 정방향이든 역방향이든 이동 방법에 차이가 없으므로 도형의 대칭이동은 점의 대칭이동과 다르지 않습니다. 따라서 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

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예를 들어, 직선 $2x-y+3=0$을

직선 $x=-3$에 대하여 대칭이동하면 $x$ 대신 $-6-x$를 대입하여
$2(-6-x)-y+3=0$,   $-2x-y-9=0$,   $2x+y+9=0$

직선 $y=2$에 대하여 대칭이동하면 $y$ 대신 $4-y$를 대입하여
$2x-(4-y)+3=0$,   $2x+y-1=0$

점 $(-3,2)$에 대하여 대칭이동하면 $x$ 대신 $-6-x$, $y$ 대신 $4-y$를 대입하여
$2(-6-x)-(4-y)+3=0$,   $-2x+y-13=0$,   $2x-y+13=0$

직선 $y=-x$에 대하여 대칭이동하면 $x$ 대신 $-y$, $y$ 대신 $-x$를 대입하여
$-2y+x+3=0$,   $x-2y+3=0$

입니다. 각 결과는 다음 그림과 같습니다.

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그림은 최고차항의 계수가 $1$이고 $f(-2)=f(4)=0$인 이차함수 $y=f(x)$의 그래프이다.

함수 $y=f(x)$의 그래프와 함수 $y=-f(x)+2$의 그래프의 꼭짓점을 각각 $\text{A}$, $\text{B}$라 하고, 함수  $y=f(x)$의 그래프와 함수 $y=-f(x)+2$의 그래프가 만나는 두 점을 각각 $\text{C}$, $\text{D}$라 하자. 사각형 $\text{ADBC}$의 넓이는?  [2013.11/4점]

① $5\sqrt{10}$     ② $10\sqrt{5}$     ③ $10\sqrt{10}$     ④ $20\sqrt{5}$     ⑤ $20\sqrt{10}$

최고차항의 계수가 $1$이고 $f(-2)=f(4)=0$이므로 인수정리에 의해 이 함수의 식은 $f(x)=(x+2)(x-4)=x^2-2x-8=(x-1{)}^2-9$임을 알 수 있습니다.
따라서 꼭짓점인 $\text{A}$의 좌표는 $(1,-9)$입니다.

이제 $-f(x)+2$를 구해서 $f(x)$와 연립하면 되는데 그냥 연립해서 풀 수도 있지만, 여기서는 배운 대칭이동을 써먹어 보겠습니다.

두 식 $-f(x)+2$와 $f(x)$를 더하면 $2$가 되므로 두 식의 평균은 $1$이 되죠. 이 말이 무엇이냐? 두 함수 $y=f(x)$와 $y=-f(x)+2$의 그래프는 다음 그림과 같이 $y=1$에 대하여 대칭을 이룬다는 뜻이 됩니다. 따라서 그림에서 빨간색 마름모의 넓이를 구하면 됩니다.

따라서 $y=f(x)$와 $y=1$만 연립하면 두 함수의 그래프의 교점을 찾을 수 있죠. 따라서

$x^2-2x-8=1$,  $x^2-2x-9=0$

방정식의 두 근을 $\alpha$, $\beta$라 하면 근과 계수와의 관계에 의해

$(\alpha -\beta {)}^2=(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta =2^2-4\times (-9)=40$

$|\alpha -\beta |=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$

따라서 구하는 마름모의 가로 대각선의 길이는 $2\sqrt{10}$입니다.

이제 꼭짓점 $\text{A}(1,-9)$을 직선 $y=1$에 대하여 대칭이동한 점이 $\text{B}$이므로 그 좌표는 $(1,2-(-9))=(1,11)$이죠.
따라서 구하는 마름모의 세로 대각선의 길이는 $11-(-9)=20$입니다.

따라서 구하는 마름모의 넓이는 $2\sqrt{10}\times 20÷2=20\sqrt{10}$이므로 답은 ⑤번입니다.

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