사진에서 화장실의 문 손잡이를 바라보는 카메라의 시선은 직선 경로처럼 보이지만, 실제로는 문손잡이가 거울에 한 번 반사되어 카메라에 도달한 것입니다. (사진 출처: pixabay)
안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다.수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.
지금까지 몇 개의 포스팅을 통해 다양한 대칭이동을 하는 원리를 알아보았습니다. 이 포스팅에서는 대칭이동을 활용하여 주어진 상황에서 최단거리를 구하는 문제를 풀어보려고 합니다. 최단거리 문제는 대칭이동을 활용한 대표적인 유형이라 할 수 있으며 시험에서도 필수로 출제되는 문제이니 확실히 익혀두시기 바랍니다.
● 기본 원리
최단거리를 구하는 기본 원리는 다음과 같이 교과서에 자세히 소개되어 있습니다. (출처: 좋은책 신사고 수학)
즉, 직선 위를 움직이는 점이 있으면 그 직선을 대칭축으로 하여 대칭이동을 해보면 모든 최단거리 문제를 해결할 수 있습니다.
예를 들어, 다음 그림과 같이 두 점 $\textrm{A}(-3,~4)$, $\textrm{B}(2,~1)$과 $x$축 위의 한 점 $\textrm{P}$에 대하여
핵심 원리는 다음 그림과 같이 점 $\textrm{A}$나 점 $\textrm{B}$ 중 하나를 $x$축에 대하여 대칭이동 시켜서 두 점 사이에 $x$축이 지나가도록 만드는 겁니다. 여기서는 $\textrm{B}$를 대칭이동하여 $\textrm{B}'(2,~1)$을 만듭니다.
그러면 $\overline{\textrm{PB}}=\overline{\textrm{PB}'}$이므로 $\overline{\textrm{AP}}+\overline{\textrm{PB}}$는 $\overline{\textrm{AP}}+\overline{\textrm{PB}'}$와 같습니다.
이때, $\overline{\textrm{AP}}+\overline{\textrm{PB}'}$은 점 $\textrm{P}$가 직선 $\textrm{AB}'$위에 있을 때 최솟값을 갖게 되므로 최솟값은 $\overline{\textrm{AB}'}=\sqrt{5^2+5^2}=$ $5\sqrt{2}$입니다.
● 연습 문제 풀이
다음 그림과 같이 가로, 세로의 길이가 각각 2m, 1m인 직사각형 모양의 당구대 ABCD가 있다. 변 BC에서 0.5m, 변 CD에서 0.4m 떨어진 지점에 있는 당구공이 변 BC와 변 AB에 차례대로 한 번씩 부딪힌 다음 D지점의 구멍으로 들어갔을 때, 당구공이 움직인 거리를 구하시오. (단, 공과 구멍의 크기는 무시하고, 공이 변에 부딪힐 때의 입사각과 반사각의 크기는 같다.) [좋은책 신사고 수학]
위에서 제시한 교과서 자료의 해당 페이지에 같이 있는 문제입니다. 이 문제는 최단거리를 묻는 것이 아니라 반사되어 만들어진 경로의 총길이를 묻고 있죠. 그러나 대칭이동의 원리는 똑같습니다.
다음 그림에서 흰색으로 표시한 경로가 바로 구하고자 하는 경로입니다. 따라서 당구공이 있는 지점을 직선 BC에 대하여 대칭이동한 후 이 점을 다시 직선 AB에 대하여 대칭이동한 점을P라 하면 두 점 P, D 사이의 거리가 바로 흰색 경로의 총길이가 됩니다. 대칭이동을 했다고 해서 꺾인 선이 하나의 선분이 되는 이유는 입사각과 반사각이 같기 때문이죠. 따라서 대칭이동 할 때 각도도 이동하면서 맞꼭지각이 같아지는 원리로 인해 하나의 선분으로 연결시켜줍니다.
따라서 $\overline{\textrm{PD}}$의 값은 다음 식을 계산하여 구할 수 있습니다.
$\sqrt{(2+1.6)^2+(1+0.5)^2}=\sqrt{3.6^2+1.5^2}$
그런데 막상 계산하려고 보니까 좀 짜증이 나죠. 이럴 때는 다음과 같이 가로, 세로의 비를 이용하여 계산을 줄일 수 있습니다. 가로의 길이가 3.6, 세로의 길이가 1.5이면 이들의 비는 $3.6:1.5=36:15=12:5$이죠.
그런데 가로의 길이가$12a$,세로의 길이가$5a$라면 대각선의 길이는 얼마일까요? 바로,$13a$이죠. 그리고 구하는 문제에서는$a=0.3$인 경우이므로 이를 $13a$에 대입하면 구하는 값은$3.9$임을 알 수 있습니다.
좌표평면 위에 세 점 $\textrm{A}(0,~1)$, $\textrm{B}(0,~2)$, $\textrm{C}(0,~4)$ 와 직선 $y=x$ 위의 두 점 $\textrm{P}$, $\textrm{Q}$가 있다. $\overline{\textrm{AP}}+$ $\overline{\textrm{PB}}+\overline{\textrm{BQ}}+\overline{\textrm{QC}}$의 값이 최소가 되도록 하는 두 점 $\textrm{P}$, $\textrm{Q}$에 대하여 선분 $\textrm{PQ}$의 길이는? [2017.11/4점]
문제에서 세 점 $\textrm{A}$, $\textrm{B}$, $\textrm{C}$은 고정된 점이고 두 점 $\textrm{P}$, $\textrm{Q}$는 직선 $y=x$ 위를 움직이는 점입니다. 따라서 문제에서 구하려는 $\overline{\textrm{AP}}+\overline{\textrm{PB}}+\overline{\textrm{BQ}}+\overline{\textrm{QC}}$의 값을$\overline{\textrm{AP}}+\overline{\textrm{PB}}$와 $\overline{\textrm{BQ}}+\overline{\textrm{QC}}$로 나눠볼 생각만 할 수 있다면 점 $\textrm{B}$만 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동하면 된다는 것을 알 수 있습니다.
점$\textrm{Q}$의 좌표를 $(b,~b)$라 하면 $2b+b=4$이므로 $b=\frac{4}{3}$
따라서 선분 $\textrm{PQ}$의 길이는
따라서 답은②번입니다.
그림과 같이 반지름의 길이가 $10\sqrt{3}$이고 중심각의 크기가 $60^{\circ}$인 부채꼴 OAB가 있다. 선분 OA 위의 한 점을 C, 선분 OB 위의 한 점을 D, 호 AB 위의 한 점을 E라 할 때, 삼각형 $\textrm{CDE}$의 둘레의 길이의 최솟값을 구하시오.
움직이는 점이 3개나 있어서 어떻게 접근해야 할지 막막할 수도 있겠으나, 부채꼴에서 직선은 두 개뿐이므로 이 직선들에 대하여 대칭이동을 시도해보겠습니다. 즉, 점 $\textrm{E}$를 직선 $\textrm{OA}$에 대하여 대칭이동한 점을$\textrm{E}_1$, 직선$\textrm{OB}$에 대하여 대칭이동한 점을$\textrm{E}_2$라 하면 다음 그림과 같이 삼각형CDE의 둘레의 길이를$\overline{\textrm{CE}_1}+\overline{\textrm{CD}}+\overline{\textrm{DE}_2}$로 대신 나타낼 수 있습니다.
따라서 삼각형CDE의 둘레의 길이의 최솟값은$\overline{\textrm{E}_1\textrm{E}_2}$입니다.
이제 이 값을 구하기 위해서 중심각 $\textrm{E}_1\textrm{O}\textrm{E}_2$의 크기를 구해야 하는데 대칭이동에 의해
따라서 $\angle\textrm{E}_1\textrm{O}\textrm{E}_2=2\angle\textrm{AOB}=120^{\circ}$
따라서 선분 $\textrm{E}_1\textrm{E}_2$의 길이는 다음과 같이 두 변의 길이가 $10\sqrt{3}$이고 사이에 끼인 각의 크기가 $120^{\circ}$인 이등변 삼각형의 나머지 한 변의 길이와 같습니다.
따라서 구하는 길이의 절반이 $10\sqrt{3}\sin{60^\circ}=$ $10\sqrt{3}\times$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$=15 이므로 구하는 최솟값은 $2\times15=$ $30$입니다.
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