대칭이동의 기본 원리 및 x축, y축, 원점, y=x에 대한 대칭이동 (고1수학 도형의 방정식)
접었다 펴서 그림을 완성하는 데칼코마니는 가운데 직선에 대하여 대칭을 이룹니다. (그림 출처: 달콤한 봄봄그린로그)
안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다.수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.
오늘부터는 대칭이동에 대해 알아보겠습니다. 대칭의 개념은 초등학교 수학에서부터 정의해서 점을 찍어보고 위의 그림처럼 직접 그려보는 활동도 해봤을 겁니다. 여기서는 점을 대칭이동할 때의 좌표의 변화와 도형을 대칭이동 할 때의 방정식의 변화를 알아볼 건데 교육과정 내의 대칭이동은 간단한 것만 다룹니다. 좌표평면에서 가장 기본이 되는 점과 직선인 x축, y축, 원점이죠. 거기에 더불어 가장 간단한 정비례 함수의 그래프인 직선 y=x에 대한 대칭이동까지 정리해보겠습니다.
● x축, y축, 원점에 대한 대칭이동
대칭이동은 점이나 도형을 한 직선 또는 점에 대하여 대칭인 도형으로 이동하는 것을 의미합니다. 즉, 한 점이나 직선에 대하여 그 대상의 반대편으로 넘기는 이동이에요. 따라서 어떤 점$\textrm{A}$가 있을 때, 임의의 점 $\textrm{P}$를 $\textrm{A}$에 대하여 대칭이동한 점을$\textrm{Q}$라 하면,점$\textrm{A}$는 선분$\textrm{PQ}$의중점이 됩니다. 또한, 어떤 직선 $l$이 있을 때, 임의의 점 $\textrm{P}$를 $l$에 대하여 대칭이동한 점을 $\textrm{Q}$라 하면, 직선$l$는 선분$\textrm{PQ}$의수직이등분선이 됩니다.
이 원리를 기본으로 하여 한 점 $\textrm{P}(x,~y)$를 $x$축, $y$축, 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 각각 다음과 같습니다.
자료 출처: EBS 수학의 왕도 수학 상 자료 출처: EBS 수학의 왕도 수학 상
직관적으로 명확하고 너무 간단한 내용이므로 따로 추가 설명을 할 부분은 없습니다. 다만, $x$축 대칭이동은 점이 위아래 방향으로 이동하는 것이므로 $y$좌표가 변하고, $y$축 대칭이동은 점이 좌우 방향으로 이동하는 것이므로 $x$좌표가 변하죠. 이렇게 상대편 축의 좌표값이 변한다는 것에 유의하시고요.
원점 대칭이동의 경우는 $x$축 대칭이동과 $y$축 대칭이동을 둘 다 한 것으로 이해하시면 됩니다.
예를 들어, 점 $\textrm{P}(2,~1)$을 $x$축, $y$축, 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 각각 다음과 같습니다.
자료 출처: EBS 수학의 왕도 수학 상
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● y=x에 대한 대칭이동
이제 직선 $y=x$에 대한 대칭이동에 대해 알아보겠습니다. 이 직선에 대한 대칭이동은 약간의 유도과정이 필요한데 먼저 교과서에서는 어떤 방법으로 유도하는지 보겠습니다. 다음과 같이 교과서에서는 점을 직선에 대하여 대칭이동하면 원래 점과 이동한 점을 연결한 선분을 대칭축이 수직 이등분한다는 성질을 이용합니다.
자료 출처: 좋은책 신사고 수학
따라서 직선 $y=x$에 대한 대칭이동은 다음과 같습니다.
자료 출처: EBS 수학의 왕도 수학 상
위의 교과서의 설명은 복잡한 유도과정은 아니지만, 왜 하필 $x$와 $y$ 좌표를 서로 바꾸는 결과가 나타나는지 좀 더 소울을 담아 직관적으로 이해할 수 있다면 좋겠죠. 다음과 같이 좌표평면 전체를 직선 $y=x$를 회전축으로 하여 돌려보겠습니다. 아래의 gif에서 빨간색 직선이 $x$축이고 초록색 직선이 $y$축입니다. 그리고 검은색 직선이 $y=x$이죠. 이 직선 $y=x$가 가로로 놓이도록 좌표평면을 45도만큼 회전한 다음 좌표평면 전체를 뒤집어보면 무슨 일이 일어나는지 보이시나요?
$x$축과 $y$축이 서로 자리를 바꾸고 있죠.
이것은 여러분이 좌표평면을 직접 그린 다음 직접 상상으로 좌표평면을 뒤집어봐도 이해하실 수 있을 겁니다.
이러한 원리에 의하여 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 점의 변화는 다음 그림으로 요약할 수 있습니다.
편의상 제1사분면 위의 점을 하나 잡아서 $\textrm{P}(a,~b)$로 놓으면 이 점과 원점을 꼭짓점으로 하고 가로의 길이가 $a$, 세로의 길이가 $b$인 직각삼각형을 그릴 수 있습니다. 위에서 알아본 $x$축과 $y$축이 자리를 바꾸는 원리에 의해, 이 파란색 삼각형을 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 삼각형이 바로 그림에서 초록색 삼각형이 되죠. 이때 초록색 삼각형을 보면 가로의 길이가 $b$이고 세로의 길이가 $a$가 됨을 확인할 수 있습니다. 즉, 파란색 삼각형이 초록색 삼각형으로 옮겨지면서 가로와 세로가 서로 바뀌는 원리에 의해 점 $\textrm{P}$도 점 $\textrm{P}'$로 옮겨지면서 $x,~y$ 좌표가 서로 바뀌는 것으로 이해할 수 있습니다.
● 도형의 대칭이동
이제 이동의 완성 단계인 도형의 이동을 알아보겠습니다. 도형은 방정식으로 표현하기 때문에 이동의 결과가 점과 다르게 나타난다는 것을 이전에 평행이동을 포스팅하면서 알아봤었죠. 그렇다면 대칭이동에서는 어떨까요?
도형의 방정식을 유도할 때는 늘 그랬듯이 구하려는 도형 위에 한 점 $\textrm{P}(x,~y)$를 잡아서 $x$와 $y$ 사이의 관계식을 구하면 됩니다. 아래 그림에서 곡선 $F$의 방정식을 $f(x,~y)=0$이라 하고 이 도형을 $x$축에 대하여 대칭이동한 빨간색 곡선을 $F'$으로 놓습니다. 그리고 방정식을 구하려는 도형인 $F'$ 위의 한 점을 $\textrm{P}(x,~y)$로 놓습니다.
평행이동 때와 같은 방법으로 도형$F'$의 방정식을 $f(x,~y)=0$의 형식을 빌려서 표현할 겁니다. 따라서 점 $\textrm{P}(x,~y)$를 다시 대칭이동하기 전인 점 $\textrm{P}'$로 옮기면 점 $\textrm{P}'(x,~-y)$는 방정식 $f(x,~y)=0$을 만족하죠. 따라서 구하는 $F'$의 방정식은 다음과 같습니다.
$f(x,~-y)=0$
결과를 보니 점을 대칭이동할 때와 마찬가지로 $y$축 좌표만 부호가 바뀐 걸 알 수 있습니다. 다행스럽게도 평행이동처럼 헷갈릴 일은 없겠죠. 그렇다면 왜 대칭이동은 점과 도형의 이동 방법이 다르지 않고 같은 결과가 나타날까요? 이것은 대칭이동만이 가진 특징 때문입니다.
대칭이동은 두 번만 이동하면 원래대로 돌아오는 성질이 있죠. 위에서 알아본 $x$축, $y$축, 원점, $y=x$ 중 어떠한 대칭이동을 해봐도 짝수 번 이동하면 원래 위치로 돌아오는 것이 대칭이동이 가진 특징입니다. 따라서 정방향이든 역방향이든 그 이동방법이 똑같은 거죠. 이러한 특징으로 인해 다음과 같이 $y$축, 원점, $y=x$에 대한 대칭이동도 모두 점의 대칭이동과 같은 방법으로 이동할 수 있습니다.
자료 출처: 좋은책 신사고 수학
이상을 정리하면 다음과 같습니다.
만약 어떤 도형을 대칭이동을 했는데 이동한 결과가 원래의 도형과 똑같은 위치에 놓인다면 그 도형은 그 자체로 대칭을 이루는 도형이 됩니다. 예를 들어, 중심이 원점인 원 $x^2+y^2=r^2$의 경우
$x$축에 대하여 대칭이동하면, $x^2+(-y)^2=r^2$, $x^2+y^2=r^2$
$y$축에 대하여 대칭이동하면, $(-x)^2+y^2=r^2$, $x^2+y^2=r^2$
원점에 대하여 대칭이동하면, $(-x)^2+(-y)^2=r^2$, $x^2+y^2=r^2$
$y=x$에 대하여 대칭이동하면, $y^2+x^2=r^2$, $x^2+y^2=r^2$
이므로 그 결과가 원래 방정식과 모두 같죠. 따라서 원 $x^2+y^2=r^2$은 $x$축, $y$축, 원점, $y=x$에 대하여 대칭을 이루는 도형입니다.
● 대칭이동 연습문제
좌표평면 위의 점 $(1,~a)$를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 점을 $\textrm{A}$라 하자. 점 $\textrm{A}$를 $x$축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표가 $(2,~b)$일 때, $a+b$의 값은? [2021.09/3점]
점 $(1,~a)$를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 점 $\textrm{A}$의 좌표는$(a,~1)$이고, 이 점 $\textrm{A}$를 $x$축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는$(a,~-1)$이죠. 이 점이$(2,~b)$와 같으므로 $a=2$, $b=-1$입니다.
따라서 $a+b=2+(-1)=1$ 이므로 답은①번입니다.
좌표평면에서 직선 $3x-2y+a=0$을 원점에 대하여 대칭이동한 직선이 점 $(3,~2)$를 지날 때, 상수 $a$의 값은? [2021.11/3점]
주어진 방정식에서 $x$에 절댓값이 붙어있습니다. 이 경우 $x$ 대신 $-x$를 대입해도 식은 변화가 없으므로 이 방정식이 나타내는 도형은 $y$축에 대하여 대칭임을 알 수 있죠. 따라서 $x\geq 0$일 때, 직선 $2x-y-10=0$을 그리고 $y$축에 대칭이 되도록 그래프를 그리면 다음과 같습니다.
이제 이 도형을 $x$축에 대하여 대칭이동 한 다음 접하는 원까지 그려 넣으면 다음과 같습니다.
이때, 만들어진 사각형은 $x$축. $y$축에 모두 대칭인 사각형이므로 여기에 접하는 원 또한 $x$축. $y$축에 모두 대칭이 되죠. 따라서 구하는 원은 중심이 원점인 원이 됩니다.
이제 원의 반지름을 구하기 위해 직선 $2x-y-10=0$와 원점까지의 거리를 구하면
따라서 구하는 원의 넓이는 $(2\sqrt{5})^2 \pi=20\pi$이므로 답은③번입니다.
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