대칭이동 심화 - 임의의 직선에 대한 대칭이동 (고1수학 도형의 방정식)

대칭이동 심화 - 임의의 직선에 대한 대칭이동 (고1수학 도형의 방정식)

아름다운 대칭을 이루고 있어 궁전 내부처럼 보이는 이곳은 지하철 승강장입니다. (그림 출처: https://pixabay.com/photos/metro-subway-station-architecture-3714296/)

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 지금까지 x축, y축, 원점, y=x에 대한 기본 대칭이동에 더불어 직선 x=p, y=q와 점 (p, q) 및 직선 y=-x에 대한 심화 대칭이동까지 알아봤습니다. 여기에서 한 단계 더 깊이 들어가면 임의의 직선에 대한 대칭이동까지 생각해 볼 수 있습니다.

● 들어가기

다음은 교과서에 있는 대칭이동 문제입니다.

자료 출처: 미래엔 수학

이 문제의 답은 $x$축이나 $y$축이 아니고 직선 $y=x$도 아닌 $y=2x+3$입니다. 단, 이 문제는 대칭이동시킨 도형을 묻는 것이 아니라 대칭축을 묻고 있으므로 결국 두 원의 중심인 $(3,~-1)$, $(-5,~3)$을 연결한 선분의 수직이등분선을 구하면 됩니다. 수직이등분선을 구하는 방법은 이전에 두 직선의 수직 조건을 다룬 포스팅(https://holymath.tistory.com/entry/두직선의수직)을 참고하세요.

위의 문제는 이제껏 다루었던 문제의 풀이 방법으로 해결할 수 있긴 하나, 엄연히 직선 $y=2x+3$에 대한 대칭성을 다루는 문제죠. 즉, 여기에서 대칭축을 묻는 것이 아니라 대칭이동한 도형을 묻는 걸로 발문을 약간만 바꿔서 문제를 낸다면 오늘 배우는 내용이 필요해집니다. 푸는 원리 또한 수직이등분선의 성질을 똑같이 이용하는 것이니 오늘은 일반적인 직선에 대한 대칭이동을 연습해 보면서 대칭이동의 개념을 마무리하겠습니다.

 

● 임의의 직선에 대한 점의 대칭이동

우선 점부터 이동해 보고 도형으로 넘어가 봅시다.

 

점 $(1,~1)$을 직선 $2x+y+2=0$에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 구하시오.

대칭이동한 점을 $(a,~b)$라 하면 직선 $2x+y+2=0$은 이 점과 점 $(1,~1)$을 연결한 선분을 수직이등분 합니다.

따라서 이 선분의 중점인 $(\frac{a+1}{2},~\frac{b+1}{2})$은 직선 $2x+y+2=0$위에 있으므로

$2\times\frac{a+1}{2}+\frac{b+1}{2}+2=0$

양변을 두 배 하면 $2a+2+b+1+4=0$에서 $2a+b+7=0$

또한, 두 점 $(1,~1)$, $(a,~b)$을 연결한 선분은 직선 $2x+y+2=0$과 수직이므로 그 기울기는 $\frac{1}{2}$입니다. 따라서

보라색으로 칠한 두 식을 대입법으로 연립하면

$2(2b-1)+b+7=0$,   $5b+5=0$,   $b=-1$

$a=2b-1=-2-1=-3$

따라서 대칭이동한 좌표는 $(-3,~-1)$이며 이 결과는 다음 그림과 같습니다.

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● 임의의 직선에 대한 원과 직선의 대칭이동

이제 도형의 대칭이동을 해보겠습니다. 먼저 앞에서 본 교과서 문제를 약간 변형하여 원을 대칭이동하는 방법을 알아보겠습니다. 원의 경우는 중심만 생각하면 되므로 다른 도형에 비해 이동이 쉬운 편입니다.

 

원 $(x-1)^2+(y-1)^2=1$을 직선 $2x+y+2=0$에 대하여 대칭이동한 원의 방정식을 구하시오.

문제에서 주어진 원은 중심이 $(1,~1)$이고 반지름의 길이가 1이죠. 따라서 이 원의 중심을 직선 $2x+y+2=0$에 대하여 대칭이동한 점이 바로 구하는 원의 중심이 됩니다. 따라서 중심만 잘 이동시키면 되죠.

그런데 점 $(1,~1)$을 직선 $2x+y+2=0$에 대하여 대칭이동한 점은 예제1에서 이미 구한대로 $(-3,~-1)$입니다. 따라서 구하는 원은 이 점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 1인 원이므로

$(x+3)^2+(y+1)^2=1$이며 대칭이동한 결과는 다음 그림과 같습니다.

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마지막으로 직선을 대칭이동 해보겠습니다. 

직선 $x+y-3=0$을 직선 $y=2x+3$에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식을 $x+ay+b=0$이라 할 때, $a-b$의 값을 구하시오.

직선의 경우는 점 두 개만 구하면 두 점을 연결해서 직선을 만들 수 있는 장점이 있으므로 이 특징을 이용하여 구할 수 있습니다. 따라서 직선 $x+y-3=0$ 위의 적당한 한 점 $(3,~0)$을 직선 $y=2x+3$에 대하여 대칭이동을 해볼 것이며, 그 방법은 위에서 했던 것과 같습니다.

대칭이동한 점을 $(p,~q)$라 하면 점 $(3,~0)$와 연결한 선분의 중점인 $(\frac{p+3}{2},~\frac{q}{2})$은 직선 $y=2x+3$위에 있으므로

$\frac{q}{2}=2\times\frac{p+3}{2}+3$

양변을 두 배 하고 $q$에 대하여 풀면 $q=2p+12$

또한, 두 점 $(3,~0)$, $(p,~q)$을 연결한 선분은 직선 $y=2x+3$과 수직이므로 그 기울기는 $-\frac{1}{2}$입니다. 따라서

보라색으로 칠한 두 식을 대입법으로 연립하면

$2(2p+12)=-p+3$.   $5p=-21$

따라서 대칭이동한 점의 좌표는 $(-\frac{21}{5},~\frac{18}{5})$이며 이를 좌표평면 위에 나타내면 다음과 같습니다.

이제 점 하나만 더 찾으면 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구할 수 있습니다. 그런데 위의 복잡한 과정을 반복할 것이 아니라 대칭이동한 직선이 지나는 또 하나의 점은 좀 더 쉽게 찾을 수 있습니다. 바로 직선 $x+y-3=0$과 대칭축인 $y=2x+3$과의 교점이죠. 이 교점은 대칭이동을 해도 변하지 않기 때문입니다. 따라서 두 식을 연립하면 교점의 좌표는 $(0,~3)$임을 알 수 있습니다.

따라서 구하는 직선의 $y$절편은 3이고 기울기는

따라서 대칭이동한 직선의 방정식은 $y=-\frac{1}{7}x+3$이고 이 식을 일반형으로 바꾸면

$7y=-x+21$,   $x+7y-21=0$

따라서 따라서 답은 $a-b=7-(-21)=$28 이고 구한 방정식을 그래프로 나타내면 다음과 같습니다.

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● 임의의 직선에 대한 일반적인 도형의 대칭이동

위에서 원과 직선의 대칭이동에 대해 알아봤습니다. 그렇다면 포물선(이차함수의 그래프)이나 그 외의 임의의 도형은 어떻게 이동할 수 있을까요? 이를 위해서 마지막 단계로 어떠한 도형이든 이동할 수 있는 일반화된 풀이를 해보도록 하겠습니다. 위의 예제3번을 다시 볼까요?

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직선 $x+y-3=0$을 직선 $y=2x+3$에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식을 $x+ay+b=0$이라 할 때, $a-b$의 값을 구하시오.

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일반적인 접근을 위해 우선적으로 해야 할 일은 도형 위의 임의의 점 $(p,~q)$를 먼저 대칭이동 시켜보는 것입니다. 이 점을 직선 $y=2x+3$에 대하여 대칭이동한 점을 $(p',~q')$이라 하면 직선 $y=2x+3$는 이 두 점을 연결한 선분을 수직이등분한 직선이 되겠죠. 따라서 여기서는 $p'$과 $q'$을 $p$와 $q$에 대한 식으로 풀어내는 것이 핵심이 됩니다.

이 선분의 중점인 $(\frac{p+p'}{2},~\frac{q+q'}{2})$이 직선 $y=2x+3$ 위에 있으므로

$\frac{q+q'}{2}=2\times \frac{p+p'}{2}+3$
$q+q'=2p+2p'+6$

또한 이 선분은 직선 $y=2x+3$와 수직이므로 기울기가 $-\frac{1}{2}$입니다. 따라서

$\frac{q-q'}{p-p'}=-\frac{1}{2}$
$2q-2q'=p'-p$

여기서 $p'$과 $q'$을 구하기 위해 보라색으로 칠한 두 식을 연립하면 되는데 이때 프라임$(')$이 찍힌 문자를 하나씩 소거하면 구할 수 있습니다.

$\left\{\begin{matrix}q+q'=2p+2p'+6 \\4q-4q'=2p'-2p \end{matrix}\right. $로부터
$-3q+5q'=4p+6$,   $q'=\frac{4p+3q+6}{5}$

$\left\{\begin{matrix}2q+2q'=4p+4p'+12 \\2q-2q'=p'-p \end{matrix}\right. $로부터
$4q=3p+5p'+12$,   $p'=\frac{-3p+4q-12}{5}$

따라서 점 $(p,~q)$를 직선 $y=2x+3$에 대하여 대칭이동한 점은 $(\frac{-3p+4q-12}{5},~\frac{4p+3q+6}{5})$입니다.

좀 복잡한 결과가 나오기는 하지만 이 결과를 이용해서 어떠한 도형이든 그 방정식에서 $x$ 대신 $\frac{-3x+4y-12}{5}$를 대입하고 $y$ 대신 $\frac{4x+3y+6}{5}$를 대입하면 되는 거죠.

이제 이 변화를 직선 $x+y-3=0$에다 적용하면

$\frac{-3x+4y-12}{5}+\frac{4x+3y+6}{5}-3=0$
$\frac{x+7y-6}{5}-3=0$,   $x+7y-21=0$

이렇게 예제3에서 풀었던 답과 같은 결과를 얻을 수 있습니다. 이정도의 풀이를 요구하는 문제는 거의 나올 일이 없겠지만 증명 과정을 제시하고 빈칸을 채우는 형식으로 물어볼 가능성은 있으므로 "이렇게 풀 수도 있구나." 정도로 이해하는 선에서 참고해주세요.

 

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