안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.
지금까지 x축, y축, 원점, y=x에 대한 기본 대칭이동에 더불어 직선 x=p, y=q와 점 (p, q) 및 직선 y=-x에 대한 심화 대칭이동까지 알아봤습니다. 여기에서 한 단계 더 깊이 들어가면 임의의 직선에 대한 대칭이동까지 생각해 볼 수 있습니다.
다음은 교과서에 있는 대칭이동 문제입니다.
이 문제의 답은
위의 문제는 이제껏 다루었던 문제의 풀이 방법으로 해결할 수 있긴 하나, 엄연히 직선
우선 점부터 이동해 보고 도형으로 넘어가 봅시다.
점
대칭이동한 점을
따라서 이 선분의 중점인
양변을 두 배 하면
또한, 두 점
보라색으로 칠한 두 식을 대입법으로 연립하면
따라서 대칭이동한 좌표는
이제 도형의 대칭이동을 해보겠습니다. 먼저 앞에서 본 교과서 문제를 약간 변형하여 원을 대칭이동하는 방법을 알아보겠습니다. 원의 경우는 중심만 생각하면 되므로 다른 도형에 비해 이동이 쉬운 편입니다.
원
문제에서 주어진 원은 중심이
그런데 점
마지막으로 직선을 대칭이동 해보겠습니다.
직선
직선의 경우는 점 두 개만 구하면 두 점을 연결해서 직선을 만들 수 있는 장점이 있으므로 이 특징을 이용하여 구할 수 있습니다. 따라서 직선
대칭이동한 점을
양변을 두 배 하고
또한, 두 점
보라색으로 칠한 두 식을 대입법으로 연립하면
따라서 대칭이동한 점의 좌표는
이제 점 하나만 더 찾으면 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구할 수 있습니다. 그런데 위의 복잡한 과정을 반복할 것이 아니라 대칭이동한 직선이 지나는 또 하나의 점은 좀 더 쉽게 찾을 수 있습니다. 바로 직선
따라서 구하는 직선의
따라서 대칭이동한 직선의 방정식은
따라서 따라서 답은
위에서 원과 직선의 대칭이동에 대해 알아봤습니다. 그렇다면 포물선(이차함수의 그래프)이나 그 외의 임의의 도형은 어떻게 이동할 수 있을까요? 이를 위해서 마지막 단계로 어떠한 도형이든 이동할 수 있는 일반화된 풀이를 해보도록 하겠습니다. 위의 예제3번을 다시 볼까요?
직선
일반적인 접근을 위해 우선적으로 해야 할 일은 도형 위의 임의의 점
이 선분의 중점인
또한 이 선분은 직선
여기서
따라서 점
좀 복잡한 결과가 나오기는 하지만 이 결과를 이용해서 어떠한 도형이든 그 방정식에서
이제 이 변화를 직선
이렇게 예제3에서 풀었던 답과 같은 결과를 얻을 수 있습니다. 이정도의 풀이를 요구하는 문제는 거의 나올 일이 없겠지만 증명 과정을 제시하고 빈칸을 채우는 형식으로 물어볼 가능성은 있으므로 "이렇게 풀 수도 있구나." 정도로 이해하는 선에서 참고해주세요.
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