코시-슈바르츠 부등식은 프랑스의 수학자 코시(Cauchy, 1789, 왼쪽)가 만들고, 독일의 수학자 슈바르츠(Schwarz, 1843, 오른쪽)가 수정한 부등식입니다. (그림 출처: 나무위키, 위키백과)
안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다.수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.
지난 포스팅에서 산술·기하 부등식에 대해 알아보고 다양한 최대, 최소 문제를 풀어봤습니다. 그 외에 교육과정에는 명시되어있지 않으나 산술·기하 부등식만큼 유용하게 활용되는 부등식이 있는데요. 절대부등식의 마지막 강의이자 명제 단원의 마지막 파트인 이번 강의에서는 코시-슈바르츠 부등식에 대해 알아보도록 하겠습니다.
● 코시-슈바르츠 부등식 소개
교육과정에 명시되어 있지 않아서 지난 10년 동안 학력평가에는 출제된 적이 없는 부등식인데 일부 교과서에서는 특별 코너나 단원 마무리 문제에서 소개되는 경우가 있습니다.
■ 코시-슈바르츠 부등식
실수 $a$, $b$, $x$, $y$에 대하여 $(a^2+b^2)(x^2+y^2)\geq (ax+by)^2$ 단, 등호는 $ay=bx$일 때, 성립한다.
주어진 부등식의 좌변은 각각의 변수들을 제곱한 것이고 우변은 좌변에서 같은 위치에 있는 항끼리 곱으로 묶어서 나열한 것의 전체 제곱이에요. 따라서 등호가 성립할 조건이 헷갈리면 다음과 같이 같은 자리에 있는 문자끼리의 비가 일치한다고 기억할 수도 있습니다.
다소 복잡해 보이는 이 부등식은 얼핏 보기에는 "이런 부등식이 왜 필요하지?"라는 생각이 들 수도 있겠죠. 이 부등식은 추후 벡터를 공부하면 거기에서 벡터의 내적과 깊은 연관성이 있으며 다음과 같이 세 쌍 이상의 변수에 대해서도 성립합니다.
세 쌍 이상의 부등식이 시험에 등장할 일은 경시대회를 제외하면 없겠지만 위에서 정리한 두 쌍의 변수에 대한 부등식은 교과서에서도 다루는 경우가 있으므로 내신 정기고사에 출제될 가능성이 꽤 높습니다.
●코시-슈바르츠부등식 증명
일반적인 절대부등식의 증명처럼 다음과 같이 증명할 수 있습니다.
$(a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by)^2$ $=(a^2x^2+$ $a^2y^2+b^2x^2$ $+b^2y^2)-(a^2x^2+$ $2axby$ $+b^2y^2)$ $=$ $a^2y^2+b^2x^2-2aybx$ $=(ay-bx)^2\geq 0$ 따라서 $(a^2+b^2)(x^2+y^2)\geq (ax+by)^2$ (등호는 ay=bx일 때 성립)
가장 일반적인 증명이고 여기까지만 할 줄 알아도 무방하지만, 변수가 3쌍, 4쌍씩 늘어나면 그 증명에 접근하고 해석하기가 상당히 난감해져요.
여기서부터는 좀 더 심화된 내용으로 다음과 같은 독특한 함수와 판별식을 이용하면 네 실수 $a_1$, $a_2$, $b_1$, $b_2$에 대한 코시-슈바르츠 부등식 $(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\geq (a_1b_1+a_2b_2)^2$을 증명할 수 있습니다.
이차함수 $f($ $x$ $)=(a_1$ $x$ $-b_1)^2+(a_2$ $x$ $-b_2)^2$을 가정하면 모든 $x$에 대하여 $f(x)\geq 0$이므로 방정식 $(a_1x-b_1)^2+(a_2x-b_2)^2=0$ 의 반별식을 $D$라고 하면 $D\leq 0$이다. 즉, $a_1^2x^2-2a_1b_1x+b_1^2+a_2^2x^2-2a_2b_2x+b_2^2$ $=(a_1^2+a_2^2)x^2-2(a_1b_1+a_2b_2)x+(b_1^2+b_2^2)=0$에서 $D/4=(a_1b_1+a_2b_2)^2-(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\leq 0$ $(a_1b_1+a_2b_2)^2\leq (a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)$ 여기서 $\frac{b_1}{a_1}=\frac{b_2}{a_2}$인 경우 $f(\frac{b_1}{a_1})=0$ 이므로 이때는 $y=f(x)$의 그래프가 $x$축과 접한다. 따라서 이 경우 $D=0$이므로 $(a_1b_1+a_2b_2)^2=(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)$이다. $\frac{b_1}{a_1}\neq \frac{b_2}{a_2}$이면 모든 $x$에 대하여 $f(x)>0$이므로 $y=f(x)$의 그래프가 $x$축과 만나지 않는다. 따라서 이 경우 $D<0$이므로 $(a_1b_1+a_2b_2)^2<(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)$이다.
위의 증명은 발상이 독특하지만 $a_3$, $b_3$이나 그 이상의 수가 추가되어도 같은 원리로 증명할 수 있습니다.
마지막으로 $a_1$, $a_2$, $b_1$, $b_2$가 양수인 경우에는 지난 강의까지 공부했던 산술·기하 부등식으로 접근할 수도 있어요.
$A=a_1^2+a_2^2$, $B=b_1^2+b_2^2$라고 하면 그런데 이다. 따라서 이 식에 $A=a_1^2+a_2^2$, $B=b_1^2+b_2^2$을 다시 대입하면 부등식이 완성된다. 이때, 등호는 $\begin{align*}\underline{a_1^2} & \\ A & \end{align*}$ $=\begin{align*}\underline{b_1^2} & \\ B & \end{align*}$이고 $\begin{align*}\underline{a_2^2} & \\ A & \end{align*}$ $=\begin{align*}\underline{b_2^2} & \\ B & \end{align*}$일때 성립하는데 $\begin{align*}\underline{a_1^2} & \\ A & \end{align*}$ $=\begin{align*}\underline{b_1^2} & \\ B & \end{align*}$로부터 $a_1^2(b_1^2+b_2^2)=b_1^2(a_1^2+a_2^2)$이고 $a_1^2b_2^2=a_2^2b_1^2$이므로 $a_1b_2=a_2b_1$이다. 마찬가지로 $\begin{align*}\underline{a_2^2} & \\ A & \end{align*}$ $=\begin{align*}\underline{b_2^2} & \\ B & \end{align*}$일때도 $a_1b_2=a_2b_1$이다.
●코시-슈바르츠부등식의 활용
두 실수 $x$, $y$에 대하여 $4x^2+9y^2=90$일 때, $2x+y$의 최댓값을 구하시오.
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