안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽게 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다.수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.
고1 수학에서 명제를 공부하면 맨 뒤에 절대부등식을 만나게 되는데 학원이나 사설 문제집으로 공부해 보면 다른 단원보다 유독 문제 유형이 많이 수록된 단원이 절대부등식입니다. 특히, 절대부등식을 활용하여 최댓값이나 최솟값을 구하는 유형이 많죠. 오늘은 절대부등식을 활용하여 해결할 수 있는 고난도 문제를 몇 개 풀어보도록 하겠습니다.
이 글에서 다루는 유형은 수능이나 모의고사에는 전혀 등장하지 않습니다. 교과서에서도 절대부등식의 내용 자체가 많지 않고, 간단한 증명과 산술-기하 부등식을 간단히 활용하는 수준에서만 다루기 때문에 교과서의 수준과도 많이 동떨어진 문제라 내신시험에서도 출제하기에 적절하다고 볼 수는 없습니다. 하지만 1등급 학생들을 가려내야 하는 선생님 입장에서 수단과 방법을 가리지 않는다면 어떻게 출제하실지는 알 수 없으므로 1등급을 목표로 하는 학생들은 참고 삼아 공부해 보시기 바랍니다.
$x$를 엄청 큰 양수로 놓고 $y$, $z$를 0에 가까운 양수로 놓으면 주어진 식은 얼마든지 크게 만들 수 있으므로 최댓값은 없을 거라 짐작할 수 있겠죠. 그럼 어떻게 해야 최솟값이 나올 것인가? 직감으로 예상하면 세 양수가 같은 값을 가질 경우 $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$이 될 거라 짐작할 수는 있습니다.
이제 이 식을 어떻게 변형해야 할지 알아보겠습니다.$x$, $y$, $z$가 삼대칭을 이루는 형태라 보통 이런 상황에서는 세 양수의 곱이나 합을 생각해 볼 수 있어요.여기서는$x+y+z=S$로 놓고 생각해 보겠습니다. 그리고 각 식에의 분자를 변형하면 다음과 같습니다.
그럼 이 식에서 분자에 $S$만 남기고 정리하면
여기서 중요한 스킬이 사용되는데 각 분모인 $y+z$, $z+x$, $x+y$들을 각각 $a$, $b$, $c$로 치환하면
$a+b+c=(y+z)+(z+x)+(x+y)$ $=2(x+y+z)=2S$
임을 알 수 있어요. 즉, $S=\frac{1}{2}(a+b+c)$이므로 본 식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
여기까지 오는 게 무지 어렵죠. $x$, $y$, $z$는 모두 양수이므로 $y+z$, $z+x$, $x+y$를 각각 치환한$a$, $b$, $c$도 모두 양수입니다. 그럼 이제 여기서 뭘 쓰면 될지는 아시겠죠?괄호로 묶은 각 식에다가 산술-기하 부등식을 동시에 적용합니다. 우선 앞의 식부터 해보면
이고 등호는 $\frac{a}{b}=\frac{b}{a}$ 즉,$a=b$일 때, 성립합니다. 따라서 이 식의 최솟값은 $1$이 됩니다.
같은 방법으로 나머지 식들도 전부 최솟값은 $1$이고 이 경우 $b=c$, $c=a$임을 알 수 있어요.
따라서 본식의 최솟값은 $1+1+1-\frac{3}{2}=$ $\frac{3}{2}$이 되고 이 경우$a=b=c$입니다.
즉, $x+y=y+z=z+x$이므로$x=y=z$인 경우가 됩니다.
양수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a+b+c=1$일 때, 다음식의 최댓값을 구하시오.
콴다 앱으로 검색하면 판별식이나 미분을 이용한 풀이는 있어도 절대부등식을 이용한 풀이는 검색되지 않는 문제입니다. 그런데 판별식을 이용한 최대, 최소는 고등학교 교육과정에는 아예 존재하지 않는 개념이므로 여기서는 다루지 않겠습니다. 이 문제에서는 산술-기하 부등식과 코시-슈바르츠 부등식이 필요합니다.
양변을 $a^2$으로 나누면
여기서 $\frac{b}{a}=x$, $\frac{1}{a}=y$로 치환하면
여기서 다음과 같은 코시-슈바르츠 부등식을 이용합니다.
$(1^2+1^2)(x^2+y^2)\geq (x+y)^2$ (등호는 $x=y$일 때, 성립)
따라서 위의 식을 다음과 같이 바꾸고 부등식을 적용하면
이제 $a$, $b$가 양수이므로 이들로 이루어진 식을 치환한 $x$, $y$도 각각 양수이고 따라서 $x+y$도 양수이므로 여기서 산술-기하 부등식을 적용할 수 있어요.
이 과정으로부터 문제의 식이 $2\sqrt{2}$보다 같거나 크다는 것을 알 수 있는데 이제부터 중요한건 이 식이 과연 $2\sqrt{2}$와 같아질 수 있는가겠죠. 그러기 위해서는 적용한 두 가지 부등식에서 등호가 동시에 성립할 수 있어야 합니다.
즉, 위에서 알아본 등호 성립 조건인 $x=y$와 $(x+y)^2=2$가 동시에 성립하면 됩니다. 따라서 둘을 연립하면 $(2x)^2=2$이고 $2x$는 양수이므로 $2x=\sqrt{2}$이죠. 따라서 등호가 성립하는 순간의 $x$, $y$의 값은
따라서 본식의 최솟값은 $2\sqrt{2}$이므로 $m=2\sqrt{2}$입니다. 이제 치환을 풀어서 $a$, $b$의 값까지 구하면
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