산술평균, 기하평균, 조화평균의 개념 이해 (고1수학 집합과 명제, 절대부등식)

산술평균, 기하평균, 조화평균의 개념 이해  (고1수학 집합과 명제, 절대부등식)

고대 그리스의 학자들은 (산술평균)≥(기하평균)≥(조화평균)의 관계를 알고 있었습니다. 세 가지의 평균을 피타고라스의 평균이라고 합니다. (그림 출처: 미래엔 수학)

 

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 이전 강의까지 절대부등식의 증명과 등호 성립 조건에 대한 얘기를 했었는데 절대부등식 중에서도 매우 유용해서 공식처럼 이용되는 부등식이 있습니다. 바로 산술평균과 기하평균의 관계를 나타내는 부등식인데요. 이번 포스팅에서는 이들의 관계를 나타내는 부등식을 알아보기 전에 산술평균과 기하평균이 무엇인지 그리고 또 다른 평균인 조화평균은 무엇인지 정리해 보도록 하겠습니다.

● 두 수의 산술평균, 기하평균, 조화평균

양수 $a$, $b$에 대하여 산술평균, 기하평균, 조화평균을 각각 다음과 같이 정의하며 이 세 가지 평균을 '피타고라스의 평균'이라고 합니다.

자료출처: 미래엔 수학

산술평균(Arithmetic mean)은 덧셈을 기준으로 본 평균으로 우리가 평소에 가장 많이 사용하는 그 평균을 의미합니다. 내가 받은 과목 성적에 대한 전체 평균, 우리나라 성인 남성의 평균 키 등에 사용되는 평균이 산술평균이죠.

기하평균(Geometric mean)은 곱셈을 기준으로 본 평균으로 비율에 대한 평균을 구할 때 이용합니다. 주로 경제성장률이나 인구성장률을 계산할 때는 산술평균이 아니라 기하평균을 이용해요.

예를 들어 제과점의 빵값이 재작년에는 1,000원이었다가 작년에 1,500원으로 $\frac{3}{2}$만큼 오른 다음 올해에 다시 1,000원이 되어서 $\frac{2}{3}$만큼 내려갔다고 가정해보면 2년 동안 가격이 그대로이므로 평균 물가 상승률은 1이 나와야겠죠.

그런데 이걸 산술평균으로 계산하면 

이 되어 1보다 큰 값이 나옵니다. 가격은 그대로인데 평균 물가가 올랐다는 해석을 해버리는 거죠.

따라서 이런 경우 기하평균을 이용하면

이 되어 적절한 값을 계산하게 됩니다.

마지막으로 조화평균(Harmonic mean)은 주어진 수들의 역수의 산술평균의 역수로 계산합니다. 무슨 말이냐? 양수 $a$, $b$의 역수는 각각 $\frac{1}{a}$, $\frac{1}{b}$이죠. 이것의 평균을 구하면

이 계산되죠. 역수들의 평균을 구했으므로 이 식을 다시 역수로 되돌리면 조화평균의 정의가 됩니다.

이렇게 복잡한 과정을 거쳐 만든 평균은 어디에 사용하느냐? 속도와 같이 시간과, 이동거리가 조화를 이루는 개념의 평균을 이용할 때 필요합니다. 그래서 조화평균이라 부르죠.

예를 들어, 1000m의 구간 중에 처음 절반의 구간은 50m/s의 속도로 달렸다가 나머지 절반의 구간은 100m/s의 속도로 달렸다면 전체 1000m의 구간을 달린 평균 속도는 얼마일까요? 여기서 흔히 하는 실수가 평균속도를 $\frac{50+100}{2}=75$(m/s)로 구하는 것인데 계산을 해보면 그렇지 않습니다.

처음 절반인 500m의 구간을 50m/s의 로 달리면 10초가 걸리죠. 그다음 500m의 구간을 100m/s의 로 달리면 5초가 걸립니다. 그럼 전제 1000m의 구간을 달리는데 총 15초가 걸렸으므로 평균속도는

$1000\div 15=66.66 \cdots =66.\dot{6}$(m/s)

가 됩니다. 산술평균으로 계산한 75보다 꽤 작은 수가 나오죠. 왜 이렇게 차이가 나느냐? 달린 시간이 다르기 때문입니다. 만약 50m/s와 100m/s를 각각 똑같은 시간만큼 달렸다면 그때는 평균 속도가 75가 됩니다. 그러나 이 경우엔 두 속도로 달린 시간이 각각 10초, 5초로 100m/s로 달린 시간이 50m/s의 절반밖에 안 되기 때문에 더 작은 값이 계산된 것이죠.

구한 값을 계산한 과정을 요약하면

으로 50과 100의 조화평균이 됨을 알 수 있습니다.

 

● 산술평균, 기하평균, 조화평균의 관계

기원전 3세기경 그리스의 수학자 파포스(Pappos)는 8권으로 된 <수학집성>이라는 책에서 이 세 가지 부등식의 관계를 다음의 그림을 통해 증명하였습니다.

자료출처: 미래엔 수학

위에서 $\overline{\textrm{DO}}$는 원 $\textrm{O}$의 반지름이므로
$\overline{\textrm{DO}}=\frac{1}{2}\overline{\textrm{AB}}=\frac{a+b}{2}$입니다.

$\overline{\textrm{DC}}$의 경우 $\Delta \textrm{DCO}$가 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의하여

이고 따라서 $\overline{\textrm{DC}}=\sqrt{ab}$입니다.

마지막으로 $\overline{\textrm{DE}}$는 직각삼각형 $\textrm{DCO}$와 $\textrm{DEC}$가 서로 닮음이므로 다음과 같이 구할 수 있습니다.

이렇게 해서 (산술평균)≥(기하평균)≥(조화평균)임을 가시적으로 확인할 수 있습니다. 그리고 $a$와 $b$의 차가 줄어들수록 그림에서 점 D는 반원의 호를 절반으로 나누는 지점에 가까이 간다는 것을 알 수 있고 $a=b$가 되는 순간 세 가지 평균은 모두 같은 값이 된다는 것도 짐작할 수 있겠죠?

대수적 증명과 부등식의 활용은 다음 포스팅에서 다루도록 하겠습니다.

 

● 산술평균, 기하평균, 조화평균의 일반화

세 가지 평균을 $n$개의 수 $a_1$, $a_2$, $\cdots$, $a_n$에 대하여 일반화하면 다음과 같습니다.

이와 같이 확장한 경우에도 (산술평균)≥(기하평균)≥(조화평균)의 관계는 그대로 성립한다는 것이 알려져 있으며 등호가 성립할 조건은 $a_1=a_2=\cdots=a_n$입니다.

오늘은 세 가지 평균의 개념에 대해 알아보았습니다. 오늘 다룬 내용은 반원 그림을 통한 부등식의 증명 외에는 고교 교육과정 및 시험과는 관련성이 없으므로 교양 차원에서 알아두세요.

 

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