'모든', '어떤'이 있는 명제의 가정, 결론, 역, 대우에 대한 자세한 이해 (고1 수학 집합과 명제 심화)

'모든', '어떤'이 있는 명제의 가정, 결론, 역, 대우에 대한 자세한 이해 (고1 수학 집합과 명제 심화)

 

  안녕하세요? holymath입니다. 오늘은 명제에 대한 추가적인 얘기를 해보려고 합니다. 예전 포스팅에서 '모든'이나 '어떤'이 있는 명제의 참, 거짓 판별과 그 부정에 대해서 알아본 적이 있는데요. 오늘은 이러한 명제를 가정과 결론으로 어떻게 나눌 수 있는지 그리고 역이나 대우는 어떻게 구하는지에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

● 들어가기

 '모든'이나 '어떤'이 있는 명제는 예전에 다음과 같이 정리한 적이 있습니다. 이 부분을 아직 공부하지 않았다면 표 아래의 링크로 다녀오시는 걸 추천드립니다.

■ ‘모든’이나 ‘어떤’이 있는 명제의 참, 거짓
명제	모든 $x$에 대하여 $p$이다.	어떤 $x$에 대하여 $p$이다.
다른 표현	$\sim p$인 $x$는 존재하지 않는다.	$p$인 $x$가 (적어도 하나) 존재한다.
참일 조건	$P=U$	$P\neq \varnothing$
거짓일 조건	$P\neq U$	$P= \varnothing $

관련 포스팅: https://holymath.tistory.com/54

명제는 일반적으로 두 조건 $p$, $q$를 가정과 결론으로 결합하여 '$p~$→$~q$'으로 나타내고 그 진위는 두 진리집합 $P$, $Q$에 대하여 $P\subset Q$인지 아닌지를 통해 확인합니다. 조건은 그 자체로는 참, 거짓을 판별할 수 없으므로 명제가 아니지만 명제를 만드는 재료 역할을 하는 거죠.

그런데 '모든'이나 '어떤'처럼 조건 앞에 수식어가 붙으면 그 또한 참, 거짓을 판별할 수 있으므로 명제가 되는 건데 이런 명제들은 가정과 결론으로 나누기가 애매합니다. 이 명제들은 '$p~$→$~q$'형태의 명제와 어떤 차이가 있는 걸까요?

사실 이러한 명제에 대해서 가정과 결론을 나누고 역이나 대우를 구하는 것은 쉽지 않기 때문에 고등학교 수학 교육과정에는 포함되어있지 않습니다. 그런데 공부를 하다 보면 학생들이 궁금해하는 것은 물론이고 학생의 질문을 받은 선생님들도 답을 찾지 못해서 어려움을 겪는 경우가 많습니다. 오늘의 궁금증은 이 글을 통해서 해결해 보도록 하겠습니다.

 

● 가정과 결론을 나누는 기준

우리는 명제를 배울 때 '$p$이면 $q$이다'에서 $p$를 가정, $q$를 결론으로 정의했습니다. 그렇다면 어떤 명제가 있을 때 가정과 결론을 구하려면 그 명제를 '~이면 ~이다.'의 꼴로 바꿔서 나타내어야 한다는 것이죠. 우리는 다양한 명제들에 대하여 다음과 같이 가정과 결론을 나누어 볼 수 있습니다.

명제	가정	결론
15는 3의 배수이다.	$x$는 15이다.	$x$는 3의 배수이다.
$1+1=3$	$x=1+1$	$x=3$
$3=1+1$	$x=3$	$x=1+1$
정삼각형의 세 내각의 크기는 모두 같다.	$x$는 정삼각형이다.	$x$는 세 내각의 크기가 모두 같다.
4의 배수는 2의 배수이기 위한  충분조건이다.	$p(x):$ '$x$는 4의 배수'	$p(x)$는 $q(x):$ '$x$는 2의 배수'이기 위한 충분조건이다.
2의 배수는 4의 배수이기 위한 필요조건이다.	$q(x):$ '$x$는 2의 배수'	$q(x)$는 $p(x):$ '$x$는 4의 배수'이기 위한 필요조건이다.

위와 같이 가정과 결론을 나누기에 애매한 명제들도 변수를 부여하면 가정과 결론으로 나눌 수 있게 됩니다. $1+1=3$과 같은 명제도 수식 대신 말로 표현하면 "1 더하기 1은 3이다."가 되므로 앞부분인 '1 더하기 1'이 가정이 되고 '3'이 결론이 되는 거죠. 따라서 명제를 $3=1+1$로 바꾸면 이때는 가정이 '3'이고 결론이 '1 더하기 1'이 됩니다. 즉, 누가 앞에 쓰였고 뒤에 쓰였느냐에 따라서 가정이 되고 결론이 됩니다.

표에서 4번째와 5번째에 제시된 명제가 참인 것은 충분조건과 필요조건의 뜻을 배웠으면 다 아실 거예요. 또한 이 둘은 본질적으로 같은 의미를 가진 명제입니다. 왜냐하면 두 진리집합

$P=\left\{x~|~x \textrm{는}~4\textrm{의 배수}\right\}$, $Q=\left\{x~|~x \textrm{는}~2\textrm{의 배수}\right\}$

에 대하여 $P\subset Q$가 성립하기 때문이죠. 즉, 두 명제가 참일 조건이 동등합니다. 그럼에도 불구하고 두 명제는 가정과 결론이 서로 다르죠. 왜냐? 문장에서 조건이 전개된 순서가 서로 다르기 때문입니다.

결국 명제에서 누가 가정이고 누가 결론이 되느냐는 문장에서 누가 앞에 제시되고 누가 뒤에 제시되느냐에 달렸음을 알 수 있습니다.

 

● 진위 조건으로 알아본 가정과 결론

이제 '모든'이나 '어떤'이 들어간 명제의 가정과 결론을 구해보겠습니다. 먼저 '모든'이 들어간 명제부터 봅시다.

'모든 $x$에 대하여 $p$이다.'

이 명제가 참일 조건은 $P=U$이죠. 그럼 이 수식을 통해 가정과 결론을 구할 수 있게 됩니다. 단, 위의 명제에서는 '모든'이 앞에 제시되었고 $p$가 뒤에 제시되었으므로 $U=P$로 놓는 것이 적절하죠. $U=P$는 $U\subset P$와 $P\subset U$가 동시에 성립한다는 걸 의미하는데 $P\subset U$는 당연한 것이므로 이 결과는 $U\subset P$로 바꿔서 나타낼 수 있습니다. 이렇게 두 집합 간의 포함관계로 나타냈으면 이들을 진리집합으로 하는 두 조건을 가정과 결론으로 연결해서 명제를 만들 수 있겠죠? 따라서 전체집합을 진리집합으로 하는 조건을 $u$로 놓으면 다음의 명제를 만들 수 있습니다.

'$u$이면 $p$이다.'

그리고 이 문장을 원소 $x$를 써서 다시 풀어내면 다음과 같습니다.

'$x$가 전체집합의 원소이면 $x$는 $p$를 만족한다.'

 

이제 '어떤'이 들어간 명제도 살펴보겠습니다.

'어떤 $x$에 대하여 $p$이다.'

이 명제가 참일 조건은 $P\neq \varnothing$임을 알고 있죠. 여기서도 $p$가 뒤에 제시되었으므로 $ \varnothing \neq P$가 더 적절해 보입니다. 이제 이 수식에 변수 집합 $X$를 부여해서 '~이면 ~이다'의 꼴로 나타내면 다음과 같습니다.

'$X=\varnothing $이면 $X\neq P$이다.'

이 문장을 조건 $p$와 임의의 조건 $r$를 써서 다시 풀어내면 다음과 같습니다.

'조건 $r$의 진리집합이 공집합이면 $r$은 $p$와 같지 않다.'

이 말은 즉 어떠한 상황에도 만족되지 않는 조건은 $p$가 될 수 없다는 뜻입니다. 그런데 어떤 조건 $r$의 진리집합이 공집합이라면 $r$을 만족하는 $x$가 없음을 의미하죠. 따라서 위의 문장은 다음과 같이 나타낼 수도 있습니다.

'조건 $r$을 만족하는 $x$가 없으면 $r$은 $p$와 같지 않다.'

이상으로부터 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

■ ‘모든’이나 ‘어떤’이 있는 명제의 참, 거짓
명제	모든 $x$에 대하여 $p$이다.	어떤 $x$에 대하여 $p$이다.
참일 조건	$U\subset P$	$\varnothing \neq P$
가정	$x\in U$	조건 $r$을 만족하는 $x$가 없다.
결론	$p$	$r$는 $p$와 같지 않다.

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● 역과 대우

가정과 결론을 나누어봤으니 이제 명제의 역과 대우를 구할 수 있겠죠? 먼저 '모든'이 들어간 명제의 역과 대우를 구해볼게요.

'모든 $x$에 대하여 $p$이다.'에서 가정은 $x\in U$이고 결론은 $p$이므로 이들을 바꿔서 화살표로 연결하면 다음과 같이 역이 됩니다.

$p~$→'$~x\in U$'

말로 설명하면 '$p$를 만족하는 $x$는 전체집합의 원소이다.'가 됩니다. 그런데 $U$는 전체집합이므로 $x\in U$은 항상 성립합니다. 이 명제를 진리집합간의 관계로 보면 $P \subset U$에 해당돼죠. 따라서 역은 항상 참이 된다는 것을 확인할 수 있습니다.

이제 대우를 구해보면 다음과 같습니다.

$\sim p~$→$~\sim (x\in U)$

해석해 보면 $\sim p$이면 $x$는 $U$의 원소가 될 수 없다는 얘기가 되죠. 그런데 $U$는 전체집합이므로 결국 그러한 $x$는 존재하지 않는다는 뜻이 됩니다. 따라서 정리하면 다음과 같습니다.

$\sim p$인 $x$는 존재하지 않는다.

이것은 '모든'이 들어간 명제를 처음 배울 때 제가 같이 알아두라고 강조했던 그 명제입니다. 강조했던 그 명제가 바로 본 명제의 대우였음을 알 수 있습니다.

 

이제 '어떤'이 들어간 명제를 보겠습니다. 

'어떤 $x$에 대하여 $p$이다.'에서 가정은 '조건 $r$을 만족하는 $x$가 없다.'이고 결론은 '$r$는 $p$와 같지 않다.'이므로 이들을 바꿔서 화살표로 연결하면 다음과 같이 역이 됩니다.

'$r$는 $p$와 같지 않다.'→'조건 $r$을 만족하는 $x$가 없다.'

즉, 임의의 조건 $r$이 $p$와 다르다면 이 조건을 만족하는 $x$는 존재하지 않음을 뜻하게 됩니다. 대충만 봐도 참이 될 수 없는 명제임은 알 수 있겠죠?

이제 대우를 구해보면

'$r$는 $p$와 같다.'→'조건 $r$을 만족하는 $x$가 있다.'

가정에서 조건 $r$과 $p$가 같다고 했으니 이들의 조건을 $p$로 통일해서 나타내면 다음과 같습니다.

'$p$인 $x$가 존재한다.'

이것 역시 '어떤'이 들어간 명제를 처음 배울 때 제가 같이 알아두라고 강조했던 그 명제입니다. 강조했던 그 명제가 바로 본 명제의 대우였음을 알 수 있습니다.

이상으로부터 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

■ ‘모든’이나 ‘어떤’이 있는 명제의 참, 거짓
명제	모든 $x$에 대하여 $p$이다.	어떤 $x$에 대하여 $p$이다.
가정	$x\in U$	조건 $r$을 만족하는 $x$가 없다.
결론	$p$	$r$는 $p$와 같지 않다.
역	$p$를 만족하는 $x$는 전체집합의 원소이다.	조건 $r$이 $p$와 다르다면 이 조건을 만족하는 $x$는 존재하지 않는다.
대우	$\sim p$인 $x$는 존재하지 않는다.	$p$인 $x$가 존재한다.

 

명제 '$k-1\leq x\leq k+3$인 어떤 실수 $x$에 대하여 $0\leq x\leq 2$이다.'가 참이 되도록 하는 정수 $k$의 값의 개수를 구하시오.

이 문제에서 전체집합은 $U=\left\{x~|~k-1\leq x\leq k+3 \right\}$이고 정수 $k$에 의해 어떤 집합인지 확실히 정해지지 않은 상태입니다. 그리고 어떤 실수 $x$에 대하여 $0\leq x\leq 2$라고 했는데 위에서 알아본 대우에 의하면 $0\leq x\leq 2$인 $x$가 존재한다는 걸 의미하죠.

결국 집합 $A$를 $A=\left\{x~|~0\leq x\leq 2 \right\}$로 놓으면 $A$와 $U$의 공통 원소가 존재 즉, 두 집합이 서로소가 안 되도록 정수 $k$의 값을 정하라는 게 문제의 의도입니다.

문제에서는 이 문장을 명제로 제시하였지만 $k$의 값에 따라 참이나 거짓이 갈리게 되므로 명제보다는 $k$에 대한 조건으로 보는 것이 더 적절합니다. 즉, 정수 전체의 집합을 전체집합으로 놓고 조건

$U\cap A\neq \varnothing $

의 진리집합을 찾는 문제로 이해할 수 있어요.

그냥 풀어도 무방하지만 이 포스팅에서 역과 대우에 대한 개념을 다루었으므로 대우를 이용해서 풀어보겠습니다. 저 조건을 부정하면

$U\cap A= \varnothing $

이걸 만족하려면 두 집합이 이루는 구간이 서로 떨어져 있어야 하므로

$k+3<0$ 또는 $2<k-1$
$k< -3$ 또는 $k>3$

이 성립합니다. 즉,

$U\cap A= \varnothing $ → $k< -3$ 또는 $k>3$

라는 명제가 만들어지죠. 이제 이 명제의 대우는

$-3\leq k \leq 3$ → $U\cap A\neq \varnothing $

따라서 $k$의 범위는 $-3\leq k \leq 3$입니다.

이를 만족하는 정수는 $-3$부터 $3$까지이므로 답은 7개입니다.

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