산술평균, 기하평균 부등식의 활용 - 최대, 최소 구하기 (고1수학 집합과 명제, 절대부등식)
산술·기하 부등식등 다양하고 어려운 상황에서 최댓값, 최솟값을 쉽게 구하도록 해줍니다. (그림 출차: 2009 미래엔 수학I)
안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다.수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.
지난 포스팅에서 산술평균, 기하평균, 조화평균의 뜻과 사용 예시를 알아보았죠. 오늘은 본격 내신과 정시에 대비하여 산술기하평균 부등식에 대해 알아보도록 하겠습니다.
●들어가기
두 양수 $a$, $b$에 대하여 산술평균을 $\frac{a+b}{2}$, 기하평균을 $\sqrt{ab}$, 조화평균을 $\frac{2ab}{a+b}$로 정의했었죠. 그리고 (산술평균)≥(기하평균)≥(조화평균)의 관계가 성립한다는 사실까지 지난 강의에서 알아본 바 있습니다. 이들의 관계를 대수적으로 증명해 보면 다음과 같습니다.
$a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq 0$
따라서 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$이므로 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$ (등호는 $a=b$일 때 성립)
또한, $a+b\geq 2\sqrt{ab}$에서 양변을 $a+b$로 나누면 $1\geq \frac{2\sqrt{ab}}{a+b}$
양변에 $\sqrt{ab}$을 곱하면 $\sqrt{ab} \geq \frac{2ab}{a+b}$ (등호는 $a=b$일 때 성립)
이렇게 간단히 증명할 수 있어요. 특히, (산술평균)≥(기하평균)의 부등식은 양변에 2를 곱한 다음의 부등식을 많이 이용합니다. 이 식을 간단히 '산술·기하 부등식'이라고 부르도록 할게요.
■ 산술·기하 부등식
$a\geq 0$, $b\geq 0$일때, $a+b\geq 2\sqrt{ab}$ 단, 등호는 $a=b$일 때 성립한다.
이렇게 간단한 부등식은 각종 상황에서 최댓값, 최솟값을 구하는데 매우 유용하게 활용됩니다. 두 수의 곱이 일정하면 합의 최솟값을 구할 수 있고, 합이 일정하면 곱의 최댓값을 구할 수 있죠.
● 연습문제 풀이
실수 $x$에 대하여 다음식은 $x=a$ 일 때, 최솟값 $b$를 갖는다. 실수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하시오.
직사각형은 두 대각선이 서로를 이등분하면서 그 길이도 같으므로두 대각선의 교점이 바로 원의 중심이 됩니다. 따라서 다음과 같이 좌표평면 위에 중심이 원점인 원을 그리고 제1사분면에서 원 위의 한 점을$\textrm{P}(a,~b)$로 놓은 다음, 이 점을 $x$축, $y$축, 원점에 대하여 각각 대칭이동한 점을 이어서 내접하는 직사각형을 만들 수 있습니다. 이렇게 놓으면 점$\textrm{P}(a,~b)$가 어디에 위치하느냐에 따라 다양한 직사각형이 만들어지죠.
이때, 내접하는 직사각형의 넓이는 $4ab$임을 어렵지 않게 구할 수 있습니다. 그리고 이 원의 방정식이 $x^2+y^2=A$이므로$a^2+b^2=A$가 성립하죠. 그렇다면 여기서산술·기하 부등식을 이용하여 다음과 같이 식을 만들 수 있어요.
$A=a^2+b^2\geq 2\sqrt{a^2b^2}=2ab$ $4ab\leq 2A$
이때, 등호는 $a^2=b^2$ 즉, $a=b$일 때, 성립합니다. 따라서 원의 내접하는 직사각형의 넓이의 최댓값은$2A$이고 이때의 직사각형은정사각형이 됨을 알 수 있습니다.
나중에 3학년 때 심화 미적분을 공부하면 등장할 수 있는 함수이며 미분을 이용해서 그래프를 그릴 수 있습니다. 그러나 이 정도 수준의 함수는 산술·기하 부등식만으로 분석할 수도 있어요.
먼저$x>0$라 가정하고 주어진 함수 식의 분모, 분자를 각각 $x$로 나누면
그럼 여기서 분모에다가 바로 다음과 같이 산술·기하 부등식을 적용할 수 있죠.
이때, 등호는 $x=\frac{1}{x}$ 즉, $x=1$ 일 때 성립합니다.
따라서 식 $x+\frac{1}{x}$이 $x=1$에서 최솟값을 가진다면, 이 식을 분모로 하는 문제의 함수는$x=1$에서 최댓값을 갖게 되겠죠. 그리고 그 값은 $\frac{4}{2}=$ $2$가 됩니다.
이제 $x<0$인 경우를 조사할 건데 위와 같은 방법으로 조사해도 되지만, 문제의 함수의 식을 잘 관찰해 보면그래프가 원점과 대칭인 기함수임을 알 수 있어요. 따라서 이 성질을 이용하면$x=-1$일 때의함숫값은$-2$이고 이때가최솟값이 된다는 사실 또한 알아낼 수 있습니다.
그리고 $x=0$에서의 함숫값은 0이며 참고로 $x$의 절댓값이 증가할수록 이차식으로 된 분모는 점점 더 가파르게 증가하므로 함숫값은 점점 0에 가까워진다는 사실도 추측할 수 있어요. 이 원리는 나중에 함수의 극한 이론과 연결됩니다.
이러한 사실들을 종합하면 주어진 함수의 그래프는 다음과 같다는 것을 추론할 수 있습니다.
따라서 최댓값은$2$이고 최솟값은$-2$입니다.
♥ 이해가 잘 되셨다면 공감과 선플은 포스팅 강의 제작에 큰 힘이 됩니다. ♥ 이해가 잘 안 되신 부분은 댓글을 통해 질문을 주세요. ♥본문의 내용은 추가, 보완될 수 있습니다.
댓글 영역