치환을 이용한 인수분해, 상반다항식의 인수분해 (고1 수학 다항식)

치환을 이용한 인수분해, 상반다항식의 인수분해 (고1 수학 다항식)

수학에서 치환은 복잡한 것을 간단한 것으로 바꾸어 표현할 때 사용합니다. (그림 출처: 네이버 사전)

 

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

  이전 포스팅에서 다항식의 인수분해의 기본 개념에 대해 알아보았습니다. 인수분해는 전개보다 그 방법이 어렵기 때문에 다양한 전략을 알아두어야 하는데, 오늘은 그중 하나인 치환에 대해 얘기해 보겠습니다.

● 기본 치환 문제

글 서두에 소개한 것처럼 치환이란 다른 것으로 바꾸거나 대체하는 것입니다. 여기서는 인수분해를 할 때 식이 좀 복잡하게 나와있고 공통부분이 보인다면 그 부분을 치환해서 식을 좀 더 간단히 다룰 수 있습니다.

 

식 $(x ^{2} +3x)(x ^{2} +3x+5)+6$을 계수가 유리수인 범위에서 인수분해 하시오.

$x^2+3x=A$로 치환 하면 본 식은 $A ( A+5 ) +6=A ^{2} +5A+6$이므로

    $A ^{2} +5A+6= ( A+2) ( A+3)$

와 같이 기존에 알고 있던 인수분해를 할 수 있습니다. 단, 이러한 계산을 한 뒤에는 반드시 치환을 풀어주는 걸 잊지 말아야 합니다. 즉,

    $(A+2)( A+3)=(x^2+3x+2)( x^2+3x+3)$
    $( x+1)( x+2 )( x ^{2} +3x+3)$

계수가 유리수인 범위에서 인수분해하라고 했으므로 식 $x^2+3x+3$은 더 이상 인수분해하지 않고 그냥 둡니다.

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식 $(x-1)(x-2)(x+3)(x+4)-6$을 계수가 유리수인 범위에서 인수분해 하시오.

식 모양만 보면 다소 짜증을 유발할 수 있는 식이죠. 맨 끝에 동떨어진 $-6$ 때문에 인수분해가 완성되지 않고 어설프게 된 식입니다. 따라서 왼쪽에 있는 일차식들을 전개한 다음 제대로 인수분해를 해야 하는데 4개의 식을 다 전개하기엔 계산이 번거롭죠. 이런 문제는 대체로 이차식을 만들었을 때, 최고차항과 일차항까지 일치할 수 있도록 출제되는 편이므로 치환하기 좋도록 조합을 짜서 전개해 줍니다.

이제 $x ^{2} +2x=A$로 치환하면

    $(A-3)(A-8)-6=A ^{2} -11A+18$
    $=(A-2)(A-9)$
    $=$ $(x^{2} +2x-2)(x^{2} +2x-9)$

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위 예제2의 계산식 $(x^2+2x-3)(x^2+2x-8)-6$에서 $x ^{2} +2x-3=B$와 같이 이차식 하나를 통째로 치환하면 다음과 같이 인수분해를 할 수도 있습니다.

    $B(B-5)-6=B^2-5B-6$
    $=(B-6)(B+1)=(x ^{2} +2x-9)(x ^{2} +2x-2)$

 

● 상반다항식의 인수분해

다항식 $x^4+2x^3+3x^2+2x+1$은 가운데 항인 $3x^2$을 중심으로 좌우 항의 계수가 서로 대칭인 모습을 보입니다. 이와 같이 $n$차 다항식에서 차수가 $r$인 항과 차수가 $n-r$인 항의 계수가 같은 다항식을 상반다항식이라고 부릅니다. 이런 다항식은 계수가 같은 항끼리 묶어서 정리하면 공통부분을 찾을 수 있습니다.

 

식 $x^3+4x^2+4x+1$을 계수가 유리수인 범위에서 인수분해 하시오.

 

계수가 같은 항끼리 묶어주면

    $x^3+1+4x^2+4x=$ $(x^3+1)+4x(x+1)$

이때, $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$이므로 다음과 같이 공통인수 $x+1$을 끌어낼 수 있습니다.

    $(x+1)(x^2-x+1)+4x(x+1)$
    $=(x+1)(x^2-x+1+4x)$
    $=$ $(x+1)(x^2+3x+1)$

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식 $x^{4} -4x^{3}+5x^{2} -4x+1$을 계수가 유리수인 범위에서 인수분해 하시오.

계수가 같은 항끼리 묶어주면

    $x^{4}+1+5x^{2}-4x^{3}-4x=x ^{4} +1+5x ^{2} -4x$ $(x^2+1)$

이렇게 해서 보라색으로 칠한 식 $x^2+1$가 등장하는 것이 사차 상반다항식의 특징이에요. 이제 이 식을 공통인수로 끌어낼 수 있도록 식 $x^4+1$을 조작하여 다음과 같이 만들어줍니다.

    $x ^{4} +1=(x^2+1)^2-2x^2$

이것을 본 식에 대입하면

    $(x^2+1)^2-2x^2+5x ^{2} -4x(x^2+1)$
    $=$ $(x^2+1)^2-4x(x^2+1)+3x^2$

계산의 편의를 위해 $x ^{2} +1=A$로 치환하면

    $=3x ^{2} -4Ax+A ^{2} =( 3x-A )( x-A)$

다시 치환을 풀면

여기까지 마무리해도 이상은 없으나 각 이차식에 $-1$을 곱해서 최고차항 계수를 양수로 만들어 결과를 내주는 게 깔끔하겠죠. 따라서 답은

    $(x ^{2} -3x+1) ( x ^{2} -x+1)$

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예제4에서 보여준 풀이가 어렵다면 이런 유형에서 통하는 만능 치환법이 있습니다. 다음과 같이 대칭의 중심이 되는 $x^2$을 공통인수로 끌어내고 계수가 같은 것끼리 묶는 방법인데요.

여기서 $x+\frac{1}{x}=t$로 치환하면 곱셈 공식 변형을 통해 다음과 같은 식은 어렵지 않게 유도할 수 있습니다.

이렇게 해서 본 식의 중괄호 안을 $t$에 대한 식으로 정리하면 인수분해가 가능합니다.

다시 치환을 풀고 정리하면 인수분해가 완료됩니다.

 

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