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치환을 이용한 인수분해, 상반다항식의 인수분해 (고1 수학 다항식)

고1 수학의 남다른 개념/다항식

by holymath 2023. 6. 8. 14:09

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치환을 이용한 인수분해, 상반다항식의 인수분해 (고1 수학 다항식)

치환의 사전적 정의
수학에서 치환은 복잡한 것을 간단한 것으로 바꾸어 표현할 때 사용합니다. (그림 출처: 네이버 사전)

 

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 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

  이전 포스팅에서 다항식의 인수분해의 기본 개념에 대해 알아보았습니다. 인수분해는 전개보다 그 방법이 어렵기 때문에 다양한 전략을 알아두어야 하는데, 오늘은 그중 하나인 치환에 대해 얘기해 보겠습니다.

기본 치환 문제

글 서두에 소개한 것처럼 치환이란 다른 것으로 바꾸거나 대체하는 것입니다. 여기서는 인수분해를 할 때 식이 좀 복잡하게 나와있고 공통부분이 보인다면 그 부분을 치환해서 식을 좀 더 간단히 다룰 수 있습니다.

 

예제1

(x2+3x)(x2+3x+5)+6을 계수가 유리수인 범위에서 인수분해 하시오.

문제 해설 보기

x2+3x=A로 치환 하면 본 식은 A(A+5)+6=A2+5A+6이므로

    A2+5A+6=(A+2)(A+3)

와 같이 기존에 알고 있던 인수분해를 할 수 있습니다. 단, 이러한 계산을 한 뒤에는 반드시 치환을 풀어주는 걸 잊지 말아야 합니다. 즉,

    (A+2)(A+3)=(x2+3x+2)(x2+3x+3)
    (x+1)(x+2)(x2+3x+3)

계수가 유리수인 범위에서 인수분해하라고 했으므로 식 x2+3x+3은 더 이상 인수분해하지 않고 그냥 둡니다.


 

예제2

(x1)(x2)(x+3)(x+4)6을 계수가 유리수인 범위에서 인수분해 하시오.

문제 해설 보기

식 모양만 보면 다소 짜증을 유발할 수 있는 식이죠. 맨 끝에 동떨어진 6 때문에 인수분해가 완성되지 않고 어설프게 된 식입니다. 따라서 왼쪽에 있는 일차식들을 전개한 다음 제대로 인수분해를 해야 하는데 4개의 식을 다 전개하기엔 계산이 번거롭죠. 이런 문제는 대체로 이차식을 만들었을 때, 최고차항과 일차항까지 일치할 수 있도록 출제되는 편이므로 치환하기 좋도록 조합을 짜서 전개해 줍니다.

전개식

이제 x2+2x=A로 치환하면

    (A3)(A8)6=A211A+18
    =(A2)(A9)
    = (x2+2x2)(x2+2x9)


위 예제2의 계산식 (x2+2x3)(x2+2x8)6에서 x2+2x3=B와 같이 이차식 하나를 통째로 치환하면 다음과 같이 인수분해를 할 수도 있습니다.

    B(B5)6=B25B6
    =(B6)(B+1)=(x2+2x9)(x2+2x2)

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상반다항식의 인수분해

다항식 x4+2x3+3x2+2x+1은 가운데 항인 3x2을 중심으로 좌우 항의 계수가 서로 대칭인 모습을 보입니다. 이와 같이 n차 다항식에서 차수가 r인 항과 차수가 nr인 항의 계수가 같은 다항식을 상반다항식이라고 부릅니다. 이런 다항식은 계수가 같은 항끼리 묶어서 정리하면 공통부분을 찾을 수 있습니다.

 

예제3

x3+4x2+4x+1을 계수가 유리수인 범위에서 인수분해 하시오.

문제 해설 보기

 

계수가 같은 항끼리 묶어주면

    x3+1+4x2+4x= (x3+1)+4x(x+1)

이때, x3+1=(x+1)(x2x+1)이므로 다음과 같이 공통인수 x+1을 끌어낼 수 있습니다.

    (x+1)(x2x+1)+4x(x+1)
    =(x+1)(x2x+1+4x)
    = (x+1)(x2+3x+1)


 

예제4

x44x3+5x24x+1을 계수가 유리수인 범위에서 인수분해 하시오.

문제 해설 보기

계수가 같은 항끼리 묶어주면

    x4+1+5x24x34x=x4+1+5x24x (x2+1)

이렇게 해서 보라색으로 칠한 식 x2+1가 등장하는 것이 사차 상반다항식의 특징이에요. 이제 이 식을 공통인수로 끌어낼 수 있도록 식 x4+1을 조작하여 다음과 같이 만들어줍니다.

    x4+1=(x2+1)22x2

이것을 본 식에 대입하면

    (x2+1)22x2+5x24x(x2+1)
    = (x2+1)24x(x2+1)+3x2

계산의 편의를 위해 x2+1=A로 치환하면

    =3x24Ax+A2=(3xA)(xA)

다시 치환을 풀면

계산식

여기까지 마무리해도 이상은 없으나 각 이차식에 1을 곱해서 최고차항 계수를 양수로 만들어 결과를 내주는 게 깔끔하겠죠. 따라서 답은

    (x23x+1)(x2x+1)


예제4에서 보여준 풀이가 어렵다면 이런 유형에서 통하는 만능 치환법이 있습니다. 다음과 같이 대칭의 중심이 되는 x2을 공통인수로 끌어내고 계수가 같은 것끼리 묶는 방법인데요.

계산식

여기서 x+1x=t로 치환하면 곱셈 공식 변형을 통해 다음과 같은 식은 어렵지 않게 유도할 수 있습니다.

계산식

이렇게 해서 본 식의 중괄호 안을 t에 대한 식으로 정리하면 인수분해가 가능합니다.

계산식

다시 치환을 풀고 정리하면 인수분해가 완료됩니다.

계산식

 

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