안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다.수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.
인수분해는 다항식 파트의 마지막 내용입니다. 인수분해란 위의 그림과 같이 주어진 수나 식을 몇 개의 인수들의 곱으로 표현하는 것으로 우리가 앞에서 다항식의 곱셈을 알아보았는데, 곱해서 전개한 것을 다시 되돌리는 것을 의미합니다. 곱셈으로 전개하는 것은 공식 같은 걸 몰라도 분배법칙만 잘하면 다 할 수 있지만, 인수분해는 그 결과를 다시 되돌리면서 역으로 추론하는 것이기 때문에 간단하지 않습니다. 고등학교에서는 다루는 식이 더 복잡하기 때문에 인수분해를 위한 좀 더 다양한 전략이 필요합니다. 따라서 여러 유형을 많이 연습해 보는 것이 무엇보다 중요합니다.
● 인수분해의 목적
다항식을 인수분해 하는 이유가 뭘까요? 앞에서 애써서 곱하고 전개하는 법을 배웠는데 이걸 굳이 되돌려야 하는 이유가 뭘까요?
우선 인수분해는 복잡하게 묶여있는 수나 식을 좀 더 기초적인 수나 식으로 쪼개서 약분 등의 방법으로 식을 간단하게 만들어주는 기능이 있습니다.
또한, 중학교에서 이차식을 인수분해 하는 방법을 배우고 나서 그 직후에 뭘 배웠는지 기억하시나요? 바로 이차방정식이죠. 인수분해는 차수가 높은 방정식을 푸는 데 매우 강력한 힘을 보여줍니다. 고등학교 교과서에서도 인수분해를 배우고 나면 그 뒤에 방정식이라는 대단원을 배우게 됩니다. 이렇게 수학을 공부할 때는 각 개념이 어떤 인과관계를 가지고 전개되는지를 파악하면서 공부해야 개념을 튼튼히 할 수 있습니다.
● 중학교 수준의 인수분해
인수분해는 중학교 3학년 수학에서 이차방정식을 풀기 직전에 처음 등장합니다.
위의 공식은 곱셈공식으로 먼저 배우고 나서 좌변과 우변을 서로 바꿔서 이름만 인수분해 공식으로 바뀐 식이에요. 공식 ①, ②, ③번은 쉬울 테고 ④번처럼 보다 일반적인 이차식의 인수분해는 다음의 요령으로 배운 바 있습니다.
예를 들어, 다항식 $6x^2-7x-3$을 인수분해 하면
위의 계산처럼 교차해서 곱한 다음 합한 값이 일차항의 계수와 같아지도록 적절한 조합을 찾아주는 것이 중요하죠. 중학교 때 충분히 연습을 했을 텐데 만약 이것이 잘 안 된다면 지금이라도 확실히 익혀두어야 합니다. 이제 이것보다 더 발전된 스킬을 배울 거니까요.
● 고등학교 수준의인수분해 공식
고등학교에서 배운 곱셈 공식에서 좌변과 우변을 바꾸어서 만든 인수분해 공식은 다음과 같습니다.
(1) 다음과 같이 완전제곱식을 잘 관찰한 후 오른쪽의 $2ab$꼴이 맞아떨어지는지 확인 후 공식을 적용합니다. 특히 마이너스 부호가 있는 항은 어떤 문자로 인해서 마이너스가 되었는지 잘 추측해 볼 필요가 있습니다.
(2) 양 끝의 세제곱식을 보고 공식 $a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3$이 통하지 않을까를 추측해 봅니다.
(3) 세제곱 더하기 세제곱 꼴의 식이므로 다음과 같이 공식 $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$을 이용합니다.
● 계수의 범위
인수분해를 할 때는 계수 및 상수의 범위를 어디까지 하느냐를 고려해야 합니다.
예를 들어, 식 $x^2-1$은 $(x-1)(x+1)$로 인수분해를 할 수 있죠. 그런데 식 $x^2-2$를 두 일차식의 곱으로 인수분해하면 $(x- \sqrt{2})(x+\sqrt{2})$와 같이 식에 무리수가 포함됩니다. 따라서 어떤 식을 실수 범위에서 인수분해하라고 했는데 이러한 식이 나왔다면 $x^2-2=(x- \sqrt{2})(x+\sqrt{2})$로 모두 쪼개야 하지만, 유리수 범위에서 인수분해하라고 했으면 식 $x^2-2$는 더 이상 인수분해가 되지 않으므로 그냥 둬야 합니다.
고등학교에서 인수분해 단원을 공부할 때는 계수와 상수가 유리수인 범위 내에서 인수분해를 할 수 있도록 하는 것을 학습목표로 하는 것이 일반적입니다. 그러나 뒤에서 이차방정식에 대한 내용을 조금만 더 공부하면 계수가 실수인 경우 또는 그 이상의 범위까지 확장해서 인수분해를 하는 경우도 공부합니다.
따라서 인수분해 문제를 풀 때는 계수의 범위를 어디까지 해야 하는지 꼭 확인을 해야 합니다. 만약 시험에서 서술형 문제에 인수분해가 나왔는데 문제에서 계수의 범위를 지정하지 않았다면, 어디까지 인수분해를 해야 하는지 꼭 질문을 하시기 바랍니다.
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