복이차식 인수분해에 대한 자세한 이해 (고1 수학 다항식)

복이차식 인수분해에 대한 자세한 이해 (고1 수학 다항식)

복이차식은 홀수차 항이 없는 다항식을 말합니다.

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 이전 포스팅에서 치환을 활용한 인수분해에 대해 알아보았습니다. 이번 포스팅도 인수분해에 대한 얘기이고 치환이 계속 사용됩니다. 여기서는 좀 특이한 다항식인 복이차식을 인수분해하는 방법에 대해 알아보겠습니다.

 

● 들어가기

'복이차식'은 한자어로 다음과 같이 씁니다.

사전을 검색해도 나오지 않는 용어라서 그 유래는 정확히 알지 못했으나 이차식이 '겹친다, 반복된다'는 뜻으로 이해할 수 있습니다.

서두에 제시한 그림과 같이 복이차식이란 홀수차 항이 없는 즉, 홀수차 항의 계수가 0인 다항식을 말합니다. 고1 수학의 인수분해에서는 $A{x}^4+B{x}^2+C$와 같은 사차식을 복이차식이라 합니다. 이러한 식은 $x^2=t$로 치환하면 $A{t}^2+Bt+C$와 같이 $t$에 대한 이차식으로 표현되는 것이 특징이죠. 그래서 이차식 속에 또 이차식이 들어있는 형태이므로 복이차식이라고 부르는 것으로 이해할 수 있습니다.

 

● 복이차식의 인수분해

기본 문제를 통해 바로 복이차식을 인수분해하는 요령을 알아보겠습니다.

 

다음 식을 계수가 정수인 범위에서 인수분해 하시오.

$x^4+3x^2-4$

이런 식은 이차식처럼 간단하게 인수분해가 가능하죠. $x^2=t$로 치환까지 해보면 본 식은

$t^2+3t-4$

로 인수분해가 가능한 이차식이 됩니다. 이제 그대로 인수분해를 진행하면

$t^2+3t-4=(t-1)(t+4)=(x^2-1)(x^2+4)$

여기서 $x^2-1$는 한번 더 인수분해가 가능하므로 구하는 결과는

$(x-1)(x+1)(x^2+4)$

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이제 준비 운동이 끝났고요. 복이차식의 인수분해 전략을 따로 익혀야 하는 이유는 다음과 같은 유형을 풀기 위해서입니다.

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다음 식을 계수가 정수인 범위에서 인수분해 하시오.

$x^4+x^2+1$

이 문제는 $x^2=t$로 치환하면 $t^2+t+1$이 되어 인수분해를 할 수 있는 모양새가 안 나옵니다. 그래서 이러한 인수분해를 하기 위해서 조금 특별한 기술이 필요한데 바로 다음과 같이 제곱 빼기 제곱의 꼴을 만들어주는 거예요.

$A^2-B^2$

문제의 식을 잘 보면 첫항과 끝항의 $x^4$와 $1$은 완전제곱의 형태죠. 그럼 이 식에 뭔가를 추가하면 식 전체를 완전제곱꼴로 만드는 것이 가능합니다. 바로 $x^2$이죠. 이것을 본 식에다 더하고 빼면

$x^4+2x^2+1-x^2$

이 되고 다음과 같이 제곱 빼기 제곱의 꼴을 만들 수 있습니다.

$(x^2+1{)}^2-x^2$

여기부터 어떻게 해야 할지 눈치를 채셨나요? $x^2+1$을 한 문자로 치환하고 합, 차 인수분해를 이용해서 다음과 같이 마무리를 해줍니다.

$\{(x^2+1)-x\}\{(x^2+1)+x\}$

$=(x^2-x+1)(x^2+x+1)$

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다음 식을 계수가 정수인 범위에서 인수분해 하시오.

$x^4+4$

 

식이 너무 콤팩트해서 딱히 분해할 부분이 없어 보이기도 합니다만 다음과 같이 $A^2-B^2$꼴로 만들면 인수분해가 가능합니다.

$x^4+$ $4x^2$ $+4-$ $4x^2$ $=(x^2+2{)}^2-(2x{)}^2$
$=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$

위와 같이 이차항이 없는 사차식이라도 이차항을 추가하고 뺌으로서 인수분해를 할 수 있습니다.

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● 복이차식의 원리의 활용

복이차식은 따로 명칭을 가지고 있는 만큼 독특한 특징이 있습니다. 임의의 복이차식 $f(x)=A{x}^4+B{x}^2+C$는 홀수 차수의 항은 없고 짝수 차수의 항만 있죠. 따라서 어떤 수 $\alpha$에 대하여 $f(\alpha )=0$이면 $(-\alpha {)}^2={\alpha }^2$이므로 $f(-\alpha )=0$ 또한 성립한다는 겁니다. 따라서 여기에 인수정리를 부여하면 다음과 같은 성질이 완성됩니다.

복이차식 인수분해의 특징

어떤 복이차식이 $x-\alpha$를 인수로 가지면 $x+\alpha$또한 인수로 가진다.

 

다항식 $x^4+a{x}^2+b$가 $(x+1{)}^{2}f(x)$로 인수분해될 때, $f(3)$의 값을 구하시오. (단, $a$, $b$는 상수이다.)  [2015미래엔 교과서]

 

아래는 해당 교과서의 모범해설입니다.

즉, 인수정리와 조립제법을 이용하여 $a$, $b$를 계산하는 원리이죠.

이제 위에서 정리한 복이차식 인수분해의 특징을 이용해 보겠습니다.

문제의 조건에 의해 복이차식 $x^4+a{x}^2+b$는 $x+1$을 인수로 가지므로 $x-1$ 또한 인수로 가집니다. 따라서 문제의 복이차식은 다음과 같이 인수분해가 가능합니다.

$x^4+a{x}^2+b=(x+1{)}^2(x-1)(x+k)$

이제 나머지 $x+k$가 뭔지만 알면 되는데 마찬가지로 $x+k$가 인수라면 $x-k$ 또한 인수가 되어야 합니다. 따라서 $k$는 $1$과 $-1$중 하나가 되어야 하죠. 항이 없는 사차식이라도 이차항을 추가하고 뺌으로서 인수분해를 할 수 있습니다.

그런데 $k=1$이면 복이차식이 $(x+1{)}^3(x-1)$로 인수분해가 되어야 하는데 이걸 다시 전개해 보시면 홀수 차수의 항이 등장함을 알 수 있어요. 따라서 $k=-1$이고 주어진 복이차식은 $(x+1{)}^2(x-1{)}^2$로 인수분해 됩니다.

따라서 $f(x)=(x-1{)}^2$이므로 $f(3)=(3-1{)}^2=$ $4$입니다.

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위의 예제 풀이에 의하면 임의의 복이차식이 일차식 4개로 인수분해가 된다면 그 결과는 다음과 같을 것이라 짐작해 볼 수 있습니다.

$A{x}^4+B{x}^2+C=A(x-\alpha )(x+\alpha )(x-\beta )(x+\beta )$

이 결과는 실제로 성립하며 이차방정식과 관련된 이론을 더 공부하면 증명하는 것 또한 가능합니다.

 

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