충분조건과 필요조건에 대한 자세한 이해 (고1수학 집합과 명제)

충분조건과 필요조건에 대한 자세한 이해 (고1수학 집합과 명제)

20kg의 아령을 들 수 있는 힘이 있다면 10kg의 아령을 들기에 충분합니다. 반면, 20kg의 아령을 들 수 있으려면 적어도 10kg의 아령을 들 수 있는 힘이 필요합니다. (그림 출처: pixabay)

 

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 이전에 명제 $p~$→$~q$의 참과 거짓 조건에 대해 알아보았습니다. 이 명제가 참으로 밝혀지면 새로운 기호를 사용해서 표현합니다. 이번 포스팅에서는 충분조건과 필요조건의 개념을 알아보겠습니다.

● 기호 ⇒, ⇔의 사용

명제 $p~$→$~q$가 참일 때, 이것을 기호로 $p\Rightarrow q$와 같이 나타냅니다. 읽을 때는 $p~$→$~q$와 마찬가지로 '$p$이면 $q$이다'로 읽으면 돼요.

그렇다면 두 기호는 어떤 차이가 있느냐?
$p~$→$~q$는 그것이 참인지 거짓인지 밝혀지지 않은 상태에서 쓰는 기호로 보통, 문제에서 "다음 명제 중 옳은 것은?"이라는 문장과 함께 제시합니다.

$p\Rightarrow q$는 참인 것을 확실히 보여주는 것으로 보통 교과서나 전공 책의 본문에서 수식으로 내용을 전개할 때 많이 사용합니다.

특히, $p~$→$~q$와 그 역인 $q~$→$~p$가 모두 참이면 $p\Rightarrow q$인 동시에 $p\Leftarrow q$도 성립하죠. 두 경우를 통틀어서 $p\Leftrightarrow q$와 같이 표현합니다. 즉, $p\Leftrightarrow q$이면 두 조건 $p$, $q$의 진리집합 $P$, $Q$에 대하여 $P=Q$임을 뜻하죠.

우리가 방정식이나 부등식을 풀면서 식과 식 사이를 구분할 때 특별한 기호 사용 없이 줄바꿈을 통해 구분하거나 콤마(,)로 구분했습니다. 그런데 수식간의 논리적 연결성을 잘 표현해주는 기호가 아니다보니 간혹 학생들 중에는 서술형을 작성할 때 식과 식 사이에 다음과 같이 등호(=)를 쓰는 경우도 있습니다.

$2x-5=3$     $=$  $2x=8$     $=$  $x=4$

그러나 이렇게 풀면 맨 처음 제시된 식부터 마지막 4까지 전부 같은 식이라는 뜻이 되므로 논리적 오류가 발생해서 감점을 당하죠. 따라서 이런 경우 다음과 같이 이번에 배운 기호를 사용하면 아주 적절한 논리적 전개가 될 수 있습니다. 단, $\Leftrightarrow $를 쓸 경우 양쪽 방향으로 논리적 전개가 모두 참이어야 하므로 사용할 때 유의해야 합니다.

$2x-5=3$     $\Rightarrow$  $2x=8$     $\Rightarrow$  $x=4$

$2x-5=3$     $\Leftrightarrow $  $2x=8$     $\Leftrightarrow $  $x=4$

 

● 충분조건과 필요조건의 뜻

명제 $p\Rightarrow q$에서 $p$를 $q$이기 위한 충분조건이라 합니다. 간단히 $q$의 충분조건이라고 해도 되고요.

반대로 $q$를 $p$이기 위한 필요조건 또는 $p$의 필요조건이라고 합니다.

자료출처: 미래엔 수학

이렇게 정의하기로 약속했으니 받아들여야겠지만 헷갈릴 수도 있죠. 단순하게 기억하려면 "충분조건 $p$에서 총을 화살표 방향으로 쏴서 $q$가 맞아서 피를 흘리므로 필요조건이 된다." 이런 식으로 말을 지어서 기억해도 되겠지만 기왕이면 충분조건, 필요조건이 가진 의미를 생각해봅시다.

$p\Rightarrow q$에서 $p$는 왜 충분조건이냐? 말 그대로 충분한 조건이기 때문입니다. 그렇다면 무엇이 충분한가? 조건 $q$를 만족시키기에 충분하다는 것이죠. 즉, $p$ 하나만 있으면 충분히 $q$를 만족시킨다는 뜻인 겁니다.

그렇다면 $p\Rightarrow q$에서 $q$는 왜 필요조건이냐? 말 그대로 필요한 조건이기 때문입니다. 왜 필요한 조건인지는 다음과 같이 명제 $p\Rightarrow q$의 대우를 생각하면 됩니다.

$\sim q \Rightarrow \sim p$

이것은 $q$가 성립하지 않으면 $p$ 또한 성립하지 않는다는 뜻이죠. 즉, $p$라는 조건은 자신이 성립하기 위해서 $q$에게 "네가 없으면 안 돼."라고 말하고 있는 겁니다.

이 말은 결국, 조건 $q$는 조건 $p$를 만족시키려면 반드시 필요하단 뜻이 되죠.

그리고 $p\Leftrightarrow q$의 경우 $p$는 $q$의 필요충분조건이라고 합니다. 물론 $q$ 또한 $p$의 필요충분조건입니다.

 

● 충분조건과 필요조건의 관계

$p$와 $q$가 각각 충분조건과 필요조건이 되려면 두 조건의 진리집합 $P$, $Q$에 대하여 $P\subset Q$가 성립하는 것이므로 일반적으로 충분조건이 필요조건보다 더 강한 조건이며 만들어지기 어려운 조건입니다. 그렇다고 해서 충분조건이 필요조건이 되지는 않습니다.

즉, 이들의 관계는 포함관계가 아니라 독립적인 관계예요. 예를 들어 명제 '정사각형은 직사각형이다.'를 생각해봅시다. 정사각형은 직사각형이 되기 위해 충분한 조건이죠. 그리고 직사각형은 정사각형이 되기 위해 충분하지 않습니다. 조건이 더 필요하죠. 그렇지만 충분조건은 아니어도 필요조건은 됩니다. 정사각형이 되려면 적어도 네 각의 크기가 모두 직각이 되어야 하니까요. 반면, 정사각형은 직사각형이 되기 위해 충분한 조건이지만 직사각형이 되기 위해 반드시 정사각형일 필요는 없어요. 네 각만 직각이면 되니까요. 따라서 정사각형은 직사각형이 되기 위해 필요한 조건이라고 하지는 않는 겁니다.

따라서 일반적으로 '충분조건은 필요조건이다.'와 '필요조건은 충분조건이다.'는 모두 거짓인 명제입니다. 결국, 충분조건이 필요조건이 되는 경우는 하나밖에 없죠. 바로 두 진리집합이 일치해서 필요충분조건이 되는 경우입니다.

 

● 연습문제 풀이

 

실수 $x$에 대하여 두 조건 $p$, $q$가

$p:1\leq x\leq 3$ 또는 $x\geq 5$,     $q:x\geq \alpha $

일 때, $p$가 $q$이기 위한 필요조건이 되도록 하는 실수 $\alpha $의 최솟값은?  [2017.06/3점]

① $1$     ② $2$     ③ $3$     ④ $4$     ⑤ $5$

$p$가 $q$이기 위한 필요조건이 되려면 $p$, $q$의 진리집합 $P$, $Q$에 대하여 $P\supset Q$이 성립해야 합니다.

따라서 $\alpha \geq 5$이어야 하며 $\alpha<5 $가 된다면 3과 5 사이의 원소가 $Q$에 속하게 되므로 $P$의 부분집합이 되지 않습니다.

따라서 실수 $\alpha $의 최솟값은 5이므로 답은 ⑤번입니다.

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실수 $x$에 대하여 두 조건 $p$, $q$가 다음과 같다.

$p:x^2-2x-3\leq 0$,     $q:|x-a|\leq b$

$p$는 $q$이기 위한 필요충분조건일 때, $ab$의 값은? (단, $a$, $b$는 상수이다.)  [2016.03/3점]

① $-2$     ② $-1$     ③ $0$     ④ $1$     ⑤ $2$

$p$는 $q$이기 위한 필요충분조건이므로 두 조건의 진리집합이 일치하면 됩니다. 조건 $p$의 부등식을 풀면

    $x^2-2x-3\leq 0$
$\Rightarrow (x-3)(x+1)\leq 0$
$\Rightarrow -1\leq x\leq 3$

조건 $q$의 부등식을 풀면

    $|x-a|\leq b$
$\Rightarrow -b\leq x-a\leq b$
$\Rightarrow a-b\leq x\leq a+b$

두 결과가 일치해야 하므로 $a-b=-1$, $a+b=3$이고 따라서 $a=1$, $b=2$입니다.

따라서 $ab=2$이므로 답은 ⑤번입니다.

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두 실수 $a$, $b$에 대하여 조건 $p$가 조건 $q$이기 위한 충분조건이지만 필요조건이 아닌 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?  [2015.11/4점]

<보기>

ㄱ. $p:a^2+b^2=0$       $q:a=b$ ㄴ. $p:ab<0$                $q:a<0$ 또는 $b<0$ ㄷ. $p:a^3-b^3=0$       $q:a^2-b^2=0$

① ㄱ     ② ㄷ     ③ ㄱ, ㄴ     ④ ㄴ, ㄷ     ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

 

내신에서도 많이 물어볼 수 있는 유형입니다. 이렇게 방정식이나 부등식을 가지고 포함, 비포함 여부를 따져야 하는 경우가 많으니 이런 부분에 대한 연습을 평소에 해두실 필요가 있어요.
이 문제는 $p$가 $q$이기 위한 충분조건이지만 필요조건이 아닌 것을 고르라고 했으므로 $p\Rightarrow q$이지만 $p\Leftarrow q$는 아닌 것을 찾으면 됩니다.

ㄱ. $a$, $b$가 실수이므로 조건 $p$에서 $a^2+b^2=0$를 만족하는 해는 $a=b=0$뿐입니다. 그런데 $q:a=b$이므로 $p\Rightarrow q$가 성립합니다.
반면, $a=b=1$이면 $q$는 성립하지만 $p$는 성립하지 않으므로 $p\Leftarrow q$는 성립하지 않아요. 따라서 $p$는 충분조건이지만 필요조건은 아니므로 ㄱ은 해당됩니다.

ㄴ. 조건 $p$에서 $ab<0$이려면 두 실수 $a$, $b$는 부호가 달라야 합니다. 따라서 $a<0,~b>0$ 또는 $a>0,~b<0$이 성립합니다. 즉, $a$, $b$중 누군가는 음수가 되어야 하므로 $q$의 $a<0$ 또는 $b<0$를 만족시키죠. 따라서 $p\Rightarrow q$가 성립합니다.
반면, $q$의 경우 $a$, $b$ 둘 다 음수인 경우도 있죠. 이 경우 $ab<0$를 만족시키지 않으므로 $p\Leftarrow q$는 성립하지 않아요. 따라서 ㄴ도 해당됩니다.

ㄷ. 조건 $p$에서 $a^3-b^3=0 \Rightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2)=0$이죠.
그런데 $a^2+ab+b^2=(a+\frac{b}{2})^2+\frac{3}{4}b^2$이므로 $(a^2+ab+b^2)=0 \Rightarrow a=b=0$입니다.
따라서 조건 $p$를 풀어서 나타내면 $a=b$ 또는 $a=b=0$인데 $a=b=0$는 어차피 $a=b$에 해당하는 조건이므로 $a=b$로 정리할 수 있습니다.

이제 조건 $q$에서 $a^2-b^2=(a-b)(a+b)=0$이므로 $a=b$ 또는 $a=-b$입니다.

따라서 $p\Rightarrow q$는 성립하지만 $p\Leftarrow q$는 성립하지 않으므로 ㄷ도 해당됩니다.

이상으로부터 답은 ⑤번입니다.

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