정의, 증명, 정리의 개념 및 증명 문제 해결법 (고1수학 집합과 명제)

정의, 증명, 정리의 개념 및 증명 문제 해결법 (고1수학 집합과 명제)

러셀(Russell, B. A. W., 1871~1970): 영국의 수학자로 수학의 기초를 논리학에 두고 엄밀한 수학적 증명 체계를 만들려고 하였습니다. (자료 출처: 좋은책 신사고 수학)

 

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 지난 강의에서 명제를 정의하고 각종 명제의 참, 거짓과 부정에 대해 알아보았습니다. 수학에서 주로 사용하는 명제는 참인 명제죠. 그렇다면 그 참인 명제의 앞에는 뭐가 따라야 할까요? 바로 증명이죠. 수학에서는 참인 명제를 바탕으로 새로운 참인 명제를 만드는 과정의 연속이므로 그 과정에는 증명이 필수입니다. 교육과정 상으로 정의, 증명, 정리에 대한 용어는 명제 단원에서 공식적으로 배우게 됩니다.

● 정의, 증명, 정리의 뜻

정의, 증명, 정리의 뜻은 다음과 같습니다.

정의: 용어의 뜻을 명확하게 정한 문장이나 식 증명: 정의 또는 이미 옳다고 밝혀진 성질을 이용하여 어떤 명제가 참임을 설명하는 것 정리: 참임이 증명된 명제 중에서 기본이 되는 것이나 다른 명제를 증명할 때 이용할 수 있는 것

정의는 일종의 약속입니다. 학자들끼리 정한 거죠. 밥을 밥이라고 부르는 것은 그 기원을 알아볼 수는 있으나 그렇게 부르기로 정한 거죠. 네 변의 길이가 모두 같은 사각형은 '마름모'라 부르기로 정한 것이지 수학에서 마름모의 네 변의 길이가 모두 같은 것은 그 이유를 따질 필요가 없는 겁니다.

'정리'는 한자로는 定理로 "정해진 이치"라는 뜻입니다. 물건을 정리 정돈할 때의 그 '정리'와는 한자가 다르죠. 정리는 사실 이전에도 많이 들어봤을 겁니다. 가장 대표적인 게 피타고라스 정리죠. 그 외에도 중점 연결 정리도 있고 고등학교에 입학해서 배운 나머지 정리, 인수 정리도 있습니다. 그리고 우리는 이러한 정리를 가지고 다양한 문제를 풀기도 하고 수학자들은 이런 정리들을 바탕으로 새로운 원리를 밝혀내기도 하죠.

그리고 새로운 원리를 밝히려면 기존의 전제와 가정으로부터 오류가 없는 근거를 끌어내야 하는데 그것이 증명입니다. 증명은 다음과 같이 명제 '$p~$→$~q$'가 참임을 밝히기 위해 그 사이에 조건들을 추가하는 것이라 할 수 있습니다.

$p~$→$~r_1~$→$~r_2~$→$~\cdots~ $→$~r_n~$→$~q$

 

다음 중 정삼각형의 정의로 옳은 것은?

 

① 세 내각의 크기가 모두 같은 삼각형
② 세 외각의 크기가 모두 같은 삼각형
③ 세 변의 길이가 모두 같은 삼각형
④ 한 내각의 크기가 $60^{\circ}$인 이등변삼각형
⑤ 내심, 외심, 무게중심이 모두 일치하는 삼각형

위의 5개의 보기는 모두 정삼각형을 설명하는 문장입니다. 5개 중 단 하나의 조건만 만족해도 정삼각형이 되죠. 하지만 이 중에서 정삼각형의 정의는 단 하나입니다. 바로 ③번이죠. ③번을 제외한 나머지 문장은 전부 정삼각형에 대한 정리라고 볼 수 있습니다.

---

 

● 증명 문제를 푸는 방법

교육과정에 정식으로 '증명'이란 용어를 배웠기 때문에 앞으로는 "증명하시오."로 끝나는 문제를 자주 접할 수 있습니다. 또한 추후 새롭게 접근하는 증명법을 배울 것이므로 수학을 공부할수록 증명은 더욱 중요해집니다. 여기서는 연습을 위한 증명 문제를 몇 개 풀어보겠습니다.

 

두 홀수의 곱은 홀수임을 증명하시오.

$3\times 7=21$, $5\times 11=55$ 등 두 홀수를 곱하면 항상 홀수가 된다는 사실은 알고 있죠. 그러나 몇 가지 예시를 가지고 결론을 내리는 것은 귀납적 추측에 해당하지 증명이라고 하지는 않습니다. 본 명제를 증명하려면 원치, 원칙에 입각하여 결점이 없는 논리적 과정이 필요하죠. 따라서 다음과 같이 증명을 보일 수 있습니다.

---

 두 홀수를 각각 $2m-1$, $2n-1$ ($m,~n$은 자연수)라 하면 두 홀수의 곱은

$(2m-1)(2n-1)=4mn-2m-2n+1=2(2mn-m-n)+1$

이때, $2mn-m-n$은 정수인데 $2(2mn-m-n)+1>0$이므로 $2mn-m-n>0$이다. 따라서 $2mn-m-n$은 자연수이다.

따라서 $(2m-1)(2n-1)=2(2mn-m-n)+1$은 홀수이다.

---

위의 과정에서 노란색으로 칠한 부분인 '$m,~n$은 자연수'는 빼먹지 말고 반드시 작성해주어야 합니다. 수학의 풀이과정에서 새로운 변수가 사용될 때는 그 변수에 대한 조건이 필수이기 때문이죠.

 증명을 할 때 중요한 점은 $2m-1$, $2n-1$가 모든 홀수를 나타낼 수 있어야 한다는 것입니다. 만약 두 식을 $2m+1$, $2n+1$와 같이 나타냈다면 $m,~n$은 자연수이므로 3 이상의 홀수만 표현할 수 있어서 조사 대상에서 1을 빠뜨리게 되죠. 그럼 완벽한 증명이 될 수 없으므로 평가에서 감점을 당할 수 있는 겁니다.

  위에서 살구색으로 칠한 문장은 채점을 $2p-1$가 홀수이기 위해 $p$가 자연수가 되어야 한다는 원리를 보여준 것인데 채점을 얼마나 까다롭게 하느냐에 따라 생략하기도 합니다. 그래서 학교 선생님께 어디까지 구체적으로 써야 하는지 따로 물어보시기 바랍니다.

---

 

연속된 세 자연수의 곱은 6의 배수임을 증명하시오.

연속된 세 자연수를 각각 $n$, $n+1$, $n+2$라고 하자.

$n$이 홀수이면 $n+1$은 짝수이고, $n$이 짝수이면 $n+1$은 홀수이다. 홀수와 짝수의 곱은 짝수이므로 $n(n+1)$은 짝수이고, 따라서 $n(n+1)(n+2)$는 2의 배수이다.

이제 $n(n+1)(n+2)$이 3의 배수임을 보이자.

1) $n$이 3으로 나누어 떨어질 경우, $n(n+1)(n+2)$는 3의 배수이다.

2) $n$을 3으로 나눈 나머지가 1일 경우, $n=3k+1$ ($k$는 0 이상의 정수)로 나타낼 수 있다. 이때,  $n+2=3k+3=3(k+1)$이므로 $n+2$는 3의 배수이고 따라서 $n(n+1)(n+2)$는 3의 배수이다.

3) $n$을 3으로 나눈 나머지가 2일 경우, $n=3k+2$ ($k$는 0 이상의 정수)로 나타낼 수 있다. 이때,  $n+1=3k+3=3(k+1)$이므로 $n+1$는 3의 배수이고 따라서 $n(n+1)(n+2)$는 3의 배수이다.

1), 2), 3)으로부터 $n(n+1)(n+2)$는 3의 배수이다.

따라서 $n(n+1)(n+2)$는 2의 배수이면서 3의 배수이므로 6의 배수이다.

---

위의 증명에서도 마찬가지로 노란색으로 칠한 부분을 유의하세요. 예를 들어 3)에서 만약 $k$를 자연수로 가정했으면 3으로 나눈 나머지가 2인 수 중에서 2를 표현하지 못하겠죠. 따라서 $k$는 0 이상의 정수로 가정하였음을 참고하세요.

---

 

다음 명제가 거짓임을 증명하시오.

모든 자연수는 두 소수(素數)의 합으로 나타낼 수 있다.

주어진 명제에서 '모든 자연수'를 '2보다 큰 짝수'로 바꾸면 매우 유명한 '골드바흐의 가설'이 됩니다. 정리가 아니라 가설인 이유는 아직까지 참인지 거짓인지 밝혀지지 않았기 때문입니다.

본 명제는 명백히 거짓인데 이전에 명제 '$p~$→$~q$'의 참, 거짓에서 알아봤듯이 명제가 거짓임을 보이려면 명제가 성립하지 않는 사례를 하나만 제시해도 됩니다. 이것을 '반례'라고 불렀죠.

이 명제에서의 반례는 17을 들 수 있습니다. 17보다 작은 소수들을 놓고 차례대로 17을 만들어 보면

17 $=$ 2+15 $=$ 3+14 $=$ 5+12 $=$ 7+10 $=$ 11+6 $=$ 13+4

이죠. 위에서 파란색 수는 소수인데 보라색으로 칠한 수는 합성수입니다. 즉, 17은 두 소수의 합으로 나타낼 수 없죠.

따라서 본 명제는 거짓입니다. 다른 반례는 또 어떤 수가 있는지 스스로 찾아보세요.

---

 

♥ 이해가 잘 되셨다면 공감과 선플은 포스팅 강의 제작에 큰 힘이 됩니다.
♥ 이해가 잘 안 되신 부분은 댓글을 통해 질문을 주세요.
♥ 본문의 내용은 추가, 보완될 수 있습니다.