명제의 역과 대우, 대우 증명법에 대한 자세한 이해 (고1수학 집합과 명제)

명제의 역과 대우, 대우 증명법에 대한 자세한 이해 (고1수학 집합과 명제)

'대우'는 한자어로 짝을 짓는다는 의미입니다. 본 명제와 그 대우는 늘 참과 거짓을 함께 하는 영원한 짝꿍입니다. (그림 출처: pixabay)

 

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 직전 포스팅에서 증명의 개념과 몇 가지 연습 문제를 풀어보았습니다. 이번 포스팅에서 새로운 증명법을 공부하게 되며 이것으로 증명할 수 있는 실력이 크게 향상되어 보다 많은 것들을 증명할 수 있게 됩니다.

 

● 명제의 역과 대우

명제 $p$→$q$에서 가정과 결론을 서로 바꾸어 놓은 명제 $q$→$p$를 명제 $p$→$q$의 역이라고 합니다. 그리고 역인 $q$→$p$에서 가정과 결론을 부정해서 만든 명제 $\sim q$→$\sim p$를 명제 $p$→$q$의 대우라고 합니다.

예를 들어 "정사각형은 직사각형이다."의 역은 "직사각형은 정사각형이다."입니다. 그리고 대우는 "직사각형이 아닌 도형은 정사각형이 아니다."입니다.

명제의 역의 역은 다시 본 명제로 돌아오죠. 뿐만 아니라 대우의 대우 역시 본 명제가 됩니다. 따라서 명제 사이의 관계는 다음 그림으로 요약할 수 있습니다.

자료 출처: 좋은책 신사고

다음의 추가 예시를 통해 용어를 익혀보세요.

출처: EBS 수학의 왕도 수학(하)

참고로 역은 한자로 逆로서 어학사전에서 검색해보면 다음의 뜻을 가지고 있습니다.

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출처: 네이버 한자 사전

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또한, 대우는 한자로 對偶로서 다음의 뜻을 가지고 있습니다.

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출처: 네이버 한자 사전

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참고로 명제 $p$→$q$에서 가정과 결론을 부정해서 만든 명제 $\sim p$→$\sim q$를 명제 $p$→$q$의 '이(裏)'라고 합니다. 즉, 명제의 역과 대우는 서로 '이'라고 볼 수 있습니다. 한자로는 특별한 의미를 가지지 않으며, 교육과정에서도 빠진 용어이므로 참고만 하세요.

 

● 대우의 특징

위에서 알아본 대로 대우는 서로 짝꿍이라는 의미가 있습니다. 그렇다면 왜 이런 이름을 붙였을까요? 그것은 명제와 그 대우는 참과 거짓이 일치하기 때문입니다.

출처: EBS 수학의 왕도 수학(하)

반면, 명제의 역은 상황에 따라 참일 수도 있고 거짓일 수도 있습니다. 명제 $p$→$q$가 참일 때, 두 조건 $p$, $q$의 진리집합을 $P$, $Q$라 하면 $P\subset Q$이죠. 이때, $P=Q$이면 명제의 역 또한 참이 될 수 있습니다. 하지만 $P$가 $Q$의 진부분집합이면 역은 거짓이 됩니다.

예를 들어 보수적인 부모님이 여러분이 게임 하는 것을 반대하실 때 "폭력, 살인 범죄 저지르는 사람들 중에 폭력적인 게임을 즐겨하는 경우가 많다더라."라는 근거를 대실 수 있습니다. 이럴 때 우리가 할 수 있는 반박은 뭘까요? 바로, "그것이 게임을 한다고 해서 폭력적으로 변한다는 근거가 될 수는 없다."가 되겠죠? 두 주장은 가정과 결론이 바뀐 역관계라고 볼 수 있습니다.

 

'물에 빠지면 몸이 젖는다.'가 참인 명제일 때, 다음 중 항상 옳은 것은?

 

① 몸이 젖으면 물에 빠진 것이다.
② 몸이 젖으면 물에 빠지지 않은 것이다.
③ 몸이 젖지 않았으면 물에 빠지지 않은 것이다.
④ 물에 빠지지 않으면 몸이 젖지 않는다.
⑤ 물에 빠지지 않으면 몸이 젖는다.

주어진 명제를 $p$→$q$로 놓으면 보기의 명제들은 다음과 같습니다.

① 몸이 젖으면 물에 빠진 것이다. ($q$→$p$)
② 몸이 젖으면 물에 빠지지 않은 것이다. ($q$→$\sim p$)
③ 몸이 젖지 않았으면 물에 빠지지 않은 것이다. ($\sim q$→$\sim p$)
④ 물에 빠지지 않으면 몸이 젖지 않는다. ($\sim p$→$\sim q$)
⑤ 물에 빠지지 않으면 몸이 젖는다. ($\sim p$→$q$)

두 조건 $p$, $q$의 진리집합을 $P$, $Q$라 하면 $P\subset Q$이므로 위의 명제들과 대조해서 항상 옳은 것을 찾으면 답을 구할 수 있습니다.

그러나 이런 실생활 예시라면 다음과 같이 상식적으로 접근해서 풀 수도 있죠.

① 몸이 젖으면 물에 빠진 것이다. → 비를 맞아서 몸이 젖을 수도 있으므로 물에 빠진 거라고 단정할 수는 없습니다.
② 몸이 젖으면 물에 빠지지 않은 것이다. → 물에 빠져서 젖었을 수도 있으므로 역시 참이 아닙니다.
③ 몸이 젖지 않았으면 물에 빠지지 않은 것이다. → 물에 빠져서 몸이 젖는 것을 피할 수 없다면 이게 참입니다.
④ 물에 빠지지 않으면 몸이 젖지 않는다. → 물에는 안 빠졌지만 비를 맞아서 몸이 젖을 수도 있습니다.
⑤ 물에 빠지지 않으면 몸이 젖는다. → 말 같지도 않은 거짓이죠.

따라서 답은 ③번입니다.

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세 조건  $p$, $q$, $r$에 대하여 두 명제 $p$→$\sim r$와 $q$→$r$가 모두 참일 때, 다음 명제 중에서 항상 참인 것은?  [2018.11/3점]

① $p$→$\sim q$     ② $q$→$p$    
③ $\sim q$→$\sim r$     ④ $r$→$p$
⑤ $r$→$q$

명제 $q$→$r$가 참이므로 그 대우 $\sim r$→$\sim q$도 참입니다. 즉, $p$→$\sim r$와 $\sim r$→$\sim q$가 모두 참이므로 $p$→$\sim q$가 참이 됩니다. 따라서 답은 ①번입니다.

참고로 세 조건 $p$, $q$, $r$의 진리집합을 각각 $P$, $Q$, $R$이라 하면 $P\subset R^C\subset Q^C$이 성립합니다. 이 관계를 벤다이어그램으로 그린 다음 ②, ③, ④, ⑤번의 명제를 확인하면 참이 아님을 알 수 있습니다.

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● 대우를 이용한 증명

명제의 대우가 본 명제와 참, 거짓이 일치하는 것엔 수학적으로 큰 의미가 있습니다. 본 명제를 증명하는 것이 어려우면 본 명제 대신 그 대우를 증명하는 거죠. 대우를 증명해서 참임을 밝히면 본 명제 또한 참이 되기 때문입니다. 이러한 증명을 '대우법'이라고도 합니다. 본 명제와 그 대우는 엄마와 아빠처럼 늘 짝꿍으로 존재하기 때문에, 엄마한테 용돈을 받는 것이 힘들다면 아빠한테 대신 달라고 하는 것과 같은 이치라고 볼 수 있죠.

다음 증명 문제는 교과서에서 필수적으로 등장하는 문제입니다.

$n$이 자연수일 때, 다음 명제를 증명하시오.

$n^2$이 짝수이면 $n$도 짝수이다.

주어진 명제의 역을 증명하는 것은 너무 쉽죠. 하지만 $n^2$의 조건이 가정으로 등장한다면 바로 접근하기가 난감해집니다. 따라서 명제의 대우인

‘$n$이 홀수이면 $n^2$도 홀수이다.’

를 대신 증명해서 본 명제가 참임을 밝히면 됩니다. 증명 과정은 다음과 같습니다.

자료 출처: 좋은책 신사고

증명 과정에서 $n$이 모든 홀수를 나타낼 수 있어야 하므로 $n=2k-1$ ($k$는 자연수)로 나타낸 부분에 유의하세요.

추가적으로 명제 '$n^2$이 홀수이면 $n$도 홀수이다.' 역시 같은 원리로 증명할 수 있으니 연습삼아 해보기 바랍니다.

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