2008년도 영화 '페르마의 밀실'은 4명의 수학자가 밀실에 갇혀 생존을 위해 범인이 낸 수학 문제를 풀어나갑니다.
안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다.수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.
이전 포스팅에서 충분조건과 필요조건에 대해 알아보았습니다. 이렇게 해서 절대부등식을 제외한 명제 이론은 거의 마무리가 된 상태입니다. 이번 포스팅에서는 절대부등식으로 들어가기 전에 참, 거짓을 가려내는 여러 가지 논리 문제를 추가로 풀어보도록 하겠습니다.
●대표 이미지 문제 해설
영화 '페르마의 밀실'은 수학에 관심 있는 분이라면 누구나 찾아봤을 영화입니다. 러닝타임도 90분이 채 안 되고 쫄깃한 긴장감으로 몰입감을 주며 각종 수학 문제와 수학자의 현실적 심리를 보여주고 있어 학교 수업시간에 보여주기에 최적화된 영화죠. 이 영화에 등장했던 문제를 풀어보겠습니다.
거짓의 나라에선 모두 거짓만을 말한다. 진실의 나라에선 모두 진실만을 말한다.
한 외국인이 문이 둘 있는 방 안에 갇혔다. 문 하나는 자유로 가는 문이고 다른 문은 아니다. 한 문은 거짓 나라의 간수가, 다른 한 문은 진실 나라의 간수가 지키고 있다.
자유로 가는 문을 찾기 위해서는 누군가에게 한 번의 질문만 할 수 있다. 그런데 외국인은 누가 진실 나라의 간수이고 누가 거짓 나라의 간수인지 모른다. 어떤 질문을 해야 하는가?
방 안에 갇힌 외국인은 어떤 문이 자유로 가는 문인지 모르고 누가 어떤 나라의 간수인지도 모릅니다. 따라서 "어떤 문이 자유로 가는 문입니까?"와 같은 뻔한 질문을 했을 경우 질문을 받은 사람이 거짓 나라의 간수라면 자유로 가지 못하게 되죠.
이때 누구에게 질문을 하더라도 답이 일관되게 나오게 되는 질문이 있습니다.
"상대 쪽 간수에게 자유로 가는 문을 묻는다면 뭐라고 대답할 것 같습니까?"
진실의 나라 간수에게 이렇게 물으면 그 간수의 상대 쪽 간수는 거짓 나라 간수이므로 자유가 아닌 문을 가리킬 것이라고 대답할 겁니다. 또한, 거짓의 나라 간수에게 똑같이 물으면 상대 쪽 진실의 나라 간수는 자유인 문을 가리킬 것이지만 거짓의 나라 간수는 거짓말을 하므로 역시 자유가 아닌 문을 가리킬 것입니다.
따라서 이 질문을 하고 간수가 문 하나를 가리키면 그 문이 아닌 다른 문을 택해서 나가면 됩니다.
● 교과서 문제
이러한 논리 문제는 교과서에도 등장합니다. 제가 좋아하는 좋은책 신사고의 교과서에만 3문제가 있어요. 이런 유형의 문제는 본문에서 직접 소개하지는 않지만 간단한 문제 정도는 시험에도 나올 가능성이 있으므로 이 문제들의 해설을 잘 참고해 두세요.
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겉모습으로 구분이 되지 않는 천사, 악마, 인간이 각각 한 명씩 한 자리에 모여 있다. 천사는 언제나 참말만 하고, 악마는 언제나 거짓말만 하며 인간은 경우에 따라 참말 또는 거짓말을 한다. 이 세 명이 다음과 같이 말하였다.
(1) 한 사람의 진술만 참이면 나머지는 전부 거짓말을 하는 것이죠. 그럼 누가 참일까가 논점이 됩니다.
이 문제 역시 A가 참일 경우, B가 참일 경우... 이렇게 하나씩 따지면 하나만 맞아떨어지고, 나머지는 전부 모순이 생기므로 결국은 찾아낼 수 있습니다. 그러나 기왕이면 헛발질 없이 짧은 논리적 과정을 거치는 게 좋겠죠.
이를 위해서는 네 명의 학생 중 유독 특이하게 진술하는 학생의 진술에 주목하는 것이 전략입니다. 여기서는 D에 주목해봅시다. D의 말이 참일 경우 나머지는 모두 거짓말이 됩니다. 따라서 A, B, C의 진술을 모두 부정하면
A의 부정: C는 골을 넣지 않았다. B의 부정:나는 골을 넣었다. C의 부정: D는 골을 넣지 않았다.
가 되죠. 따라서 골을 넣은 학생은 B입니다.
(2) 한 사람의 진술만 거짓이면 나머지는 모두 참이 됩니다. 그런데 골을 넣은 학생은 한 명이죠. 그렇다면 A와 C의 진술이 둘 다 참일 수는 없습니다. 즉, 둘 중 한 명은 반드시 거짓이어야 하죠. 그렇다면 D의 말은 참이 될 수밖에 없으므로 결국 거짓말은 하는 사람은 C입니다. 즉, C의 부정인 'D는 골을 넣지 않았다'가 참이 됩니다. 그리고 나머지 A, B의 학생들의 진술을 다시 보면
A: C가 골을 넣었다. B: 나는 골을 넣지 못했다.
이므로 골을 넣은 학생은 C입니다.
준영이는 예진이와 민섭이에게 다음 10개의 날짜 중에서 자신의 생일을 맞혀 보라고 했다. 이때 준영이는 예진이에게는 생일의 월(月)을 알려 주고, 민섭이에게는 일(日)을 알려 주었다.
다음은 예진이와 민섭이의 대화이다.
예진: 나는 준영이의 생일의 월은 알지만 일은 몰라. 그러나 일만 알고 있는 민섭이 너도 준영이의 생일을 모를 거라는 사실을 알고 있지. 민섭: 나도 처음에는 준영이의 생일을 몰랐지만 이제는 알아. 예진: 나도 이제 준영이의 생일을 알겠어.
도대체 둘이서 무슨 의미 있는 대화를 했다고 저것만 가지고 생일을 맞출 수 있다는 건지 이해하기 어렵죠. 교과서에 이 정도 난이도의 문제가 있다는 점에서 좋은책 신사고 교과서에 매력을 느낍니다.
이 문제에서의 핵심 키워드는 확신입니다. 위의 대화는 일상에서의 대화 수준이 아니라 철저히 수학적 논리로 접근해야 합니다. 먼저 예진이의 첫 대사에서 주목할 점은 "일만 알고 있는 민섭이 너도 준영이의 생일을 모를 거라는 사실을 알고 있지."입니다. 이것은 모를 수도 있다고 추측하는 것이 아니라 절대로 모를 거라고 확신하는 거죠. 왜 이런 확신을 할 수 있었을까요? 준영이의 생일은 16일이나 17일이 아니기 때문입니다. 만약 이 날짜가 들어 있는 6월이나 7월을 준영이가 예진이에게 알려줬다면 예진이가 이러한 확신을 할 수가 없는 거죠. 생일이 16일이나 17일이라면 준영이가 곧바로 답을 알 수도 있으니까요.
그리고 예진이가 이렇게 말하는 순간 민섭이도 6월, 7월에는 생일이 없다는 걸 눈치챈 겁니다. 그리고는 곧바로 생일이 언제인지 알겠다고 합니다. 준영이의 생일이 8월이나 9월로 범위가 좁혀지는 순간 바로 확신을 할 수 있었던 거죠. 그럼 이 대화에서는 며칠을 제외해야 하는지 알겠나요? 8월과 9월에 나란히 존재하는 12일을 제외하면 되는 겁니다. 준영이의 생일이 12일이었다면 민섭이가 확신을 못 할 테니까요.
그렇게 민섭이가 이렇게 말하는 순간 예진이 역시 12일은 답이 아니라는 걸 눈치채는 거죠. 두 학생 다 머리가 엄청나게 빠르게 돌아가고 있는 겁니다. 그러고 나서 월을 알고 있는 예진이 역시 언제인지 알겠다고 합니다. 어떻게 알았을까요? 준영이의 생일이 8월 14일이기 때문이겠죠. 만약 예진이가 알고 있는 달이 9월이었다면 남아있는 날짜가 13, 15일로 두 개였으므로 확신을 하지 못했을 겁니다.
지금까지의 논리를 요약하면 다음과 같습니다.
예진: 나는 준영이의 생일의 월은 알지만 일은 몰라. 그러나 일만 알고 있는 민섭이 너도 준영이의 생일을 모를 거라는 사실을 알고 있지. → 날짜가 하나만 있는 16, 17일이 존재하는 6월과 7월을 제외 민섭: 나도 처음에는 준영이의 생일을 몰랐지만 이제는 알아. → 8, 9월 둘 다 존재하는 12일을 제외 예진: 나도 이제 준영이의 생일을 알겠어.→ 8월에 남은 날짜가 하나이므로 답은 8월 14일
이상으로부터 준영이의 생일은 8월 14일입니다.
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