귀류법에 대한 이해, 귀류법과 대우법의 차이 (고1수학 집합과 명제)

귀류법에 대한 이해, 귀류법과 대우법의 차이 (고1수학 집합과 명제)

기원전 300년의 그리스 수학자 유클리드는 소수가 무한히 존재함을 증명하였는데, 이때 사용한 방법이 귀류법입니다. (그림 출처: pixabay)

 

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 저번 포스팅에서 명제를 증명하는 새로운 방법인 대우법에 대해 알아봤습니다. 본 명제의 가정에서 출발하여 중간과정을 거쳐 결론으로 도달하는 방법을 직접증명법이라고 부르는 반면, 대우와 같이 결론을 부정해서 우회적으로 본 명제가 참이 되도록 증명하는 방법을 간접증명법이라고 합니다. 간접증명법에는 대우법 말고도 더욱 폭넓게 활용되는 방법이 있어요. 이번 포스팅에서는 또 다른 간접증명법인 귀류법에 대해 알아보겠습니다.

● 귀류법의 뜻

귀류법이란 주어진 명제 전체를 부정하거나 명제의 결론을 부정한 다음 모순을 유도함으로써 본 명제가 참임을 밝히는 방법입니다. 부정을 하는 것이 대우법과 유사하지만 다음과 같은 차이가 있습니다.

    대우법:  $\sim$(결론) → $\sim$(가정)
    귀류법:  $\sim$(명제 또는 결론) → (모순)

귀류법은 한자로 歸謬法로 돌아갈 귀, 그릇(잘못)될 류, 법 법 자를 씁니다. 즉, 잘못된 곳으로 가도록 유도한다는 뜻이죠.

 

● 귀류법 관련 교과서 연습 문제

귀류법과 관련하여 가장 대표적인 예제는 $\sqrt{2}$가 무리수임을 증명하는 것입니다. 우리는 루트 기호를 중3 때 배웠으며 무리수를 함께 정의했습니다. 무리수는 실수 중에서 유리수가 아닌 수로 정의했기 때문에 정의 자체에 부정이 들어있죠. 따라서 무리수임을 증명하기 위해 무리수가 아니라는 가정으로 출발합니다.

 

$\sqrt{2}$가 무리수임을 증명하시오.

 

$\sqrt{2}$가 유리수라고 가정하면

$\sqrt{2}=\frac{n}{m}$ ($m$, $n$은 서로소인 자연수)

로 나타낼 수 있다. 이 식의 양변을 제곱하면

$2=\frac{n^2}{m^2}$,   $2m^2=n^2$

이때, $n^2$이 2의 배수이므로 $n$도 2의 배수이다.

따라서 $n=2k$ ($k$는 자연수)로 놓고 $2m^2=n^2$에 대입하면

$2m^2=4k^2$,   $m^2=2k^2$

따라서 $m^2$이 2의 배수이므로 $m$도 2의 배수이다.

즉, $m$, $n$이 모두 2의 배수가 되어 $m$, $n$은 서로소라는 가정에 모순이다.

따라서 $\sqrt{2}$는 무리수이다.

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예제 1번의 증명에서 보라색으로 칠한 부분은 이전 포스팅에서 대우법을 이용하여 증명했던 명제입니다. $\sqrt{2}$가 무리수임을 증명하기 위해 필수적으로 필요한 보조정리죠. 따라서 이 명제와 예제 1번의 증명은 어느 교과서에나 공통적으로 들어있는 예제입니다.

증명에서 $n$이 짝수임을 표현하기 위해 $n=2k$ ($k$는 자연수)로 놓은 부분에도 항상 주목하세요.

결국 이 증명에서는 $\sqrt{2}$가 유리수임을 가정했으면 서로소인 두 자연수의 비로 나타낼 수 있어야 하는데 그것을 전제로 논리를 전개했더니 둘 다 2의 배수라는 결과가 유도되어 서로소라는 가정에 위배되었죠. 그렇다면 이런 오류가 나타난 이유가 무엇이냐? 바로 서로소인 두 자연수의 비로 나타날 수 있다는 가정이 잘못되었고 다시 말해, $\sqrt{2}$가 유리수임을 가정한 것이 잘못되었다는 뜻이 됩니다. 이러한 논리로 $\sqrt{2}$가 무리수임을 간접적으로 증명하는 거죠.

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귀류법의 또 다른 대표적 활용은 소수가 무수히 많음을 증명하는 겁니다. 현재까지 밝혀진 가장 큰 소수는 $2^{82,589,933}-1$로 2018년에 발표되었으며, 무려 24,862,048 자릿수입니다. 이 정도로 큰 수는 우주에 존재하는 어떠한 물질이나 공간을 가지고 수치를 매기거나 비교해봐도 나올 수 없는 수예요. 그러나 이렇게 큰 소수를 찾아도 이것보다 더 큰 소수는 무수히 많습니다. 소수는 1과 자기 자신으로만 나누어지는 특징을 갖고 있기 때문에 암호학에서 많이 활용되는 수이며 그 규칙성에 대해서 전 세계의 수학자들이 달려들어 연구를 하고 있지만 아직까지 완벽한 규칙을 찾지 못하고 있습니다.

이렇게 신비로우면서도 복잡한 원리를 가진 소수가 무수히 많이 존재한다는 것을 증명한 사람은 다름 아닌 고대 그리스의 수학자 유클리드(Euclid)입니다. 유클리드는 이런 사실을 놀라울 정도로 간단하게 증명해 버리는데, 이때 사용된 논리가 바로 귀류법입니다.

 

소수(素數)는 무수히 많이 존재함을 증명하시오.

소수가 유한개만 있다고 가정하고, 그 유한개의 소수를

$p_1,~p_2,~\cdots ,~p_n$

이라 하자.

$N=p_1\times p_2\times \cdots \times p_n+1$이라 하면 $N$은 1보다 크고 모든 소수 $p_1,~p_2,~\cdots ,~p_n$중에서 어느 것과도 같지 않으므로 합성수이다.

따라서 $N$은 어떤 소수 $p_m~(1\leq m\leq n)$ 으로 나누어 떨어져야 한다.

그러나 $1\leq m \leq n$인 모든 자연수 $m$에 대하여

$N=p_1\times p_2\times \cdots \times p_n+1$을 $p_m$으로 나누면 1이 남으므로 $N$이 합성수임에 모순이다.

따라서 소수는 무수히 많이 존재한다.

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● 귀류법과 대우법의 접근 방식의 차이

다음 예제를 통해 대우법과 귀류법의 접근 방법의 차이를 익힐 수 있습니다.

$a$, $b$, $c$가 자연수 일 때, 다음 명제를 대우를 이용하여 증명하시오.  [좋은책 신사고 수학]

$a^2+b^2=c^2$이면 $a$, $b$, $c$중 적어도 하나는 짝수이다.

만약 다음과 같이 증명한다면 10점 만점 중 몇 점을 받게 될까요?

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$a$, $b$, $c$ 모두 홀수라고 가정하자. 그러면 $a^2$, $b^2$도 홀수이므로 $a^2+b^2$는 짝수이다.

그런데 $c^2=a^2+b^2$이므로 이는 $c^2$는 짝수이고 따라서 $c$도 짝수이다.

이것은 $c$가 홀수라는 가정에 모순이므로 $a^2+b^2=c^2$이면 $a$, $b$, $c$중 적어도 하나는 짝수이다.

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논리적으로는 이상이 없지만 위의 증명 방법은 귀류법이죠. 즉, 문제에서 의도한 대우법을 보여주지 않았으므로 문제에서 의도한 채점기준에 의하면 위에서 보라색으로 칠한 문장까지는 올바르게 접근했으나 다음 줄의 '그런데~'부터는 점수를 인정받지 못할 수 있습니다. 그럼 열심히 풀어놓고도 10점만 점 중에 2~3점 정도밖에 못 받을 수도 있죠.

대우법을 이용한 정확한 증명은 다음과 같습니다. 결국 어떤 조건을 참으로 받아들이고 어떤 것을 모순으로 내세울 것이냐에 따라 대우법과 귀류법으로 나누어집니다.

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$a$, $b$, $c$ 모두 홀수라고 가정하자. 그러면 $a^2$, $b^2$도 홀수이므로 $a^2+b^2$는 짝수이다.

그런데 $c^2$는 홀수이다. 즉, 짝수와 홀수는 같을 수 없으므로 $a^2+b^2\neq c^2$이다.

따라서 주어진 명제의 대우가 참이므로 본 명제도 참이다.

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