집합의 활용 - 각종 문제 유형 탐색 및 풀이 (고1수학 집합과 명제)

집합의 활용 - 각종 유형 탐색 및 풀이 (고1수학 집합과 명제)

집합 3개를 연산하면 전체집합은 총 8개의 영역으로 분할됩니다. (그림 출처: pixabay)

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 오늘의 포스팅은 집합 단원의 마지막으로 이제까지 배운 개념이 어떤 유형의 문제에서 활용될 수 있는지 5개의 예제를 풀어보면서 알아보도록 하겠습니다.

● 부분집합의 응용

 

전체집합 $U=\{\frac{1}{2},\frac{1}{2^2},\frac{1}{2^3},\cdots ,\frac{1}{2^{10}}\}$의 공집합이 아닌 모든 부분집합을 $A_1$, $A_2$, $\cdots$, $A_n$($n$은 자연수)이라 하고, 집합 $A_i$의 원소 중에서 최소인 것을 $a_i(i=1,2,3,\cdots ,n)$라고 하자. $a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n$의 값을 구하시오.  [2009 미래엔]

우선 $n(U)=10$ 이므로 부분집합의 개수는 $n=2^{10}=1024$임을 알 수 있습니다. 이렇게 많은 부분집합을 두고 하나하나 원소의 최솟값을 구해서 모두 더하는 것은 너무 복잡하죠. 이 문제는 부분집합의 개수를 구하는 원리로 접근하면 해답을 얻을 수 있습니다.

부분집합은 $U$의 각 원소마다 그 원소가 속하는 집합과 속하지 않는 집합으로 분류할 수 있죠. 이것을 가장 작은 원소인 $\frac{1}{2^{10}}$부터 분류해서 접근할 수 있습니다.

$U$의 부분집합 중에서 가장 작은 원소인 $\frac{1}{2^{10}}$을 원소로 갖는 부분집합은 총 $2^9$개입니다. 그렇다면 이 원소를 갖는 부분집합은 $a_i$의 값이 모두 $\frac{1}{2^{10}}$가 되겠죠. 따라서 구하려는 $a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n$ 중에는 $\frac{1}{2^{10}}$가 $2^9$개 포함되어 있습니다.

그렇다면 나머지 $2^9$개의 부분집합은 $\frac{1}{2^{10}}$을 원소로 갖지 않는 부분집합이 되겠죠. 이제 이 중에서 그다음으로 작은 원소인 $\frac{1}{2^9}$를 원소로 갖는 부분집합은 몇 개일까요? $\frac{1}{2^{10}}$을 원소로 갖지 않으먼서 $\frac{1}{2^9}$를 원소로 가지므로 총 $2^8$개가 됩니다. 따라서 이 부분집합들은 $a_i$의 값이 모두 $\frac{1}{2^9}$가 되므로 구하려는 $a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n$ 중에는 $\frac{1}{2^9}$가 $2^8$개 포함되어 있습니다.

그렇다면 나머지 $2^8$개의 부분집합은 $\frac{1}{2^{10}}$와 $\frac{1}{2^9}$ 모두 원소로 갖지 않는 부분집합이 되겠죠. 이제 다음 순서는 어떻게 될지 짐작되시나요? 이런 식으로 작은 원소부터 순서대로 부분집합을 분류하면 구하려는 $a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n$ 중에는 $\frac{1}{2^i}$가 $2^{i-1}$개 포함되어 있음을 추론할 수 있습니다. 그리고 가장 큰 원소인 $\frac{1}{2}$은 부분집합 $\left\{\frac{1}{2}\right\}$에서 유일하게 계산되는 $a_i$값이므로 $a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n$ 중에 $\frac{1}{2}$은 단 1개 존재하게 됩니다.

이상을 정리하면 다음과 같습니다.

따라서 구하려는 $a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n$은 다음과 같이 계산됩니다.

$\frac{1}{2}\times 1+\frac{1}{2^2}\times 2+\frac{1}{2^3}\times 2^2+\cdots +\frac{1}{2^9}\times 2^8+\frac{1}{2^{10}}\times 2^9$

$=\underset{10개}{\underbrace{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{2}}}=5$

따라서 답은 $5$입니다.

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● 합집합과 교집합의 응용

교집합에서는 다음과 같이 약수나 배수와 관련된 문제를 흔히 물어볼 수 있습니다.

두 집합 $A_m=${$x$ | $x$는 자연수 $m$의 약수}, $B_n=${$x$ | $x$는 자연수 $n$의 배수} 에 대하여 $A_p=A_{12}\cap A_{18}$, $B_q=B_6\cap B_8$일 때, $p+q$의 값을 구하시오.  [2009 미래엔]

$A_{12}$는 12의 약수의 집합, $A_{18}$은 18의 약수의 집합이므로 $A_{12}\cap A_{18}$은 12와 18의 공약수의 집합이 됩니다. 그리고 중학교 1학년 때 배웠겠지만, 두 수의 공약수는 두 수의 최대공약수의 약수이죠. 12와 18의 최대공약수는 6이므로 12와 18의 공약수는 6의 약수가 됩니다. 따라서 $A_{12}\cap A_{18}=A_6$이므로 $p=6$입니다.

또한, $B_6$은 6의 배수의 집합, $B_8$은 8의 배수의 집합이므로 $B_6\cap B_8$은 6과 8의 공배수의 집합이 됩니다. 역시 중학교 1학년 때 배웠듯이, 두 수의 공배수는 두 수의 최소공배수의 약수이죠. 6과 8의 최소공배수는 24이므로 6과 8의 공배수는 24의 배수가 됩니다. 따라서 $B_6\cap B_8=B_{24}$이므로 $q=24$입니다.

따라서 $p+q=30$입니다.

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다음 문제에서는 이전에 합집합과 교집합의 원소의 개수를 구할 때 정리했던 다음의 성질을 이용합니다.

$0\le n(A\cap B)\le n(A)\le n(A\cup B)\le n(U)$
$0\le n(A\cap B)\le n(B)\le n(A\cup B)\le n(U)$

 

전체 학생이 40명인 어느 반에서 A 소설을 읽은 학생은 28명, B 소설을 읽은 학생은 20명이었다. 두 소설 A, B를 모두 읽은 학생 수의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$의 차 $M-m$의 값을 구하시오.  [2009 미래엔]

 

A 소설을 읽은 학생의 집합을 $A$, B 소설을 읽은 학생의 집합을 $B$라고 하면 $n(A)=28$, $n(B)=20$이 성립하고 문제에서 범위를 구하고자 하는 대상은 $n(A\cap B)$입니다.

우선 $n(A\cap B)\le n(A)=28$, $n(A\cap B)\le n(B)=20$이므로 $n(A\cap B)$의 최댓값은 $20$이 됨을 알 수 있죠. 그리고 이때가 $A\cap B=B$ 즉, $B\subset A$가 되는 경우입니다.

이제 $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$
$=48-n(A\cap B)$이고

$n(A\cup B)\le n(U)=40$ 이므로
$48-n(A\cap B)\le 40$
$8\le n(A\cap B)$

따라서 $n(A\cap B)$의 최솟값은 $8$이며 이때가 $A\cup B=U$ 즉, A 소설과 B 소설 둘 다 안 읽은 학생이 없는 경우입니다.

따라서 $M-m=20-8=$12입니다.

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● 3개 집합의 연산의 활용

3개의 집합의 합집합으로 된 집합의 원소의 개수를 구할 때는 다음과 같은 공식을 이용할 수 있습니다. 직전 교육과정에서는 이 공식을 이용한 문제와 해설이 교과서에서도 소개가 되었습니다.

$n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)$
$-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A)+n(A\cap B\cap C)$

그런데 최근의 교육과정에서는 이런 것들이 일체 사라져서 이제 저 공식은 필수가 아니게 되었습니다. 간혹 3개의 집합 사이에서 특정 집합의 원소의 개수를 구하는 문제가 출제되어도 위의 공식 없이 벤다이어그램만으로 풀 수 있는 경우만 출제하고 있습니다.

아래의 문제는 이 공식을 다루었을 때 출제된 문제이나 공식 없이 접근해 보도록 하겠습니다. 일반적으로도 3개의 집합으로 이루어진 연산 문제는 이렇게 접근해서 풀 수 있습니다.

 

어느 고등학교 반 학생 35명을 대상으로 세 종류의 책 A, B, C를 읽었는지를 조사하였더니 A를 읽은 학생이 14명, B를 읽은 학생이 16명, C를 읽은 학생이 15명이었다. 또, A와  B 중 적어도 하나를 읽은 학생이 22명이고 A와 C를 모두 읽은 학생은 한 명도 없었으며, A, B, C 중에서 어느 책도 읽지 않은 학생이 3명이었다. 이때 A, B, C 중 두 종류의 책만 읽은 학생의 수를 구하시오.  [2008.03/4점]

문제 풀이를 위해 책 A, B, C를 읽은 학생들의 집합을 각각 $A$, $B$, $C$로 놓고 다음과 같이 벤다이어그램을 그립니다.

그리고 쉬운 영역부터 하나씩 채우기 위해 문제에서 뒷부분부터 다시 읽어보겠습니다. 우선 A와 C를 읽은 학생이 한 명도 없었다고 했으므로 위와 같이 $A\cap C$에 해당하는 영역에 $0$을 써줍니다.

또한, A, B, C 중에서 어느 책도 읽지 않은 학생이 3명이라고 했으므로  위와 같이 $(A\cup B\cup C{)}^C$에 해당하는 영역에 $3$을 써줍니다.
그렇다면 반대로 $n(A\cup B\cup C)=32$라는 사실도 알 수 있겠죠.

이제 A와  B중 적어도 하나를 읽은 학생이 22명이므로 $n(A\cup B)=22$입니다. 그리고 $n(A)=14$, $n(B)=16$이므로
$n(A\cap B)=14+16-22=$8 입니다.

그런데 $n(A\cap B\cap C)=0$이므로 다음과 같이 $(A\cap B)-C$인 영역에 $n(A\cap B)=$8을 채워 넣을 수 있습니다. 또한 $n(A)=14$이므로 $A-(B\cup C)$인 영역에 $6$을 채워 넣을 수 있습니다.

이제 남은 영역을 채우기 위해 위와 같이 $a$, $b$, $c$로 놓고 접근합시다.

위에서 $n(A\cup B\cup C)=32$임을 알았고 $n(A)=14$이므로 $a+b+c=32-14=18$임을 알 수 있습니다.

그리고 $n(B)=16$이므로 8$+$ $a+b$ $=16$으로부터 $a+b=8$입니다.

또한 $n(C)=15$이므로 $b+c=15$입니다.

두 식 $a+b=8$, $b+c=15$을 더하여 $a+2b+c=8+15=23$을 만들 수 있고
$a+b+c=18$에 의해 $b=5$임을 알 수 있습니다.

문제에서 요구한 두 종류의 책만 읽은 학생들이 속한 영역은 다음과 같습니다.

따라서 구하는 학생의 수는 $8+5=$13입니다.

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● 집합의 연산법칙을 이용한 증명

대부분의 집합 연산 문제는 벤다이어그램을 그리면 해결됩니다. 그러나 추후 명제를 공부하면 증명이란 용어가 공식적으로 등장하는데 그림을 통한 풀이는 수학적으로 증명이라고 부르지는 않습니다. 다음과 같이 벤다이어그램을 배제한 풀이를 서술형에서 요구할 수도 있으니 연산법칙을 어떻게 적용하는지 참고하세요.

 

두 집합 $A$, $B$에 대하여 $(A\cup B)-(A\cap B)=(A-B)\cup (B-A)$임을 집합의 연산법칙을 이용하여 수식만으로 유도하시오.

차집합의 성질에 의해
    $(A\cup B)-(A\cap B)$
    $=(A\cup B)\cap (A\cap B){}^C$

드모르간의 법칙에 의해
    $=(A\cup B)\cap (A^C\cup B^C)$

식 $A\cup B$을 묶어서 생각하고 분배법칙을 적용하면
    $=\{(A\cup B)\cap A^C\}$
    $\cup$ $\{(A\cup B)\cap B^C\}$

중괄호 안의 식끼리 각각 분배법칙을 한번 더 적용하여 전개하면
    $=\{(A\cap A^C)\cup (B\cap A^C)\}$
    $\cup \{(A\cap B^C)\cup (B\cap B^C)\}$

$A\cap A^C=\varnothing$, $B\cap B^C=\varnothing$이므로
    $=\{\varnothing \cup (B\cap A^C)\}\cup \{(A\cap B^C)\cup \varnothing \}$
    $=(B\cap A^C)\cup (A\cap B^C)$

다시 드모르간의 법칙을 적용해서 차집합으로 변환하고 합집합의 교환법칙을 적용하면 다음과 같이 증명이 완성됩니다.
    $=(B-A)\cup (A-B)$
    $=(A-B)\cup (B-A)$

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위의 예제에서 다룬 집합을 $A$와 $B$에 대한 대칭차집합이라고 하며 벤다이어그램으로 나타내면 다음과 같습니다.

 그림으로 보다시피 $A$, $B$가 대칭을 이루므로 이 집합을 $A△B$으로 정의하면 연산 $△$는 교환법칙과 결합법칙을 모두 만족합니다. 이러한 집합은 직전 교육과정에서는 많이 다루었으나 요즘은 잘 등장하지 않는 추세입니다.

단, 위의 예제와 같이 연산법칙이나 성질을 이용하여 수식 전개를 요구하는 문제를 학교 시험에서 출제할 가능성이 있으니 그 과정과 사용된 성질을 잘 참고해 두시기 바랍니다.

 

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