집합의 활용 - 수 체계의 집합 표현 및 포함 관계 (고1수학 집합과 명제)

집합의 활용 - 수 체계의 집합 표현 및 포함 관계  (고1수학 집합과 명제)

수의 집합은 어마어마하게 많은 종류의 수를 담고 있는 무한집합입니다. (그림 출처: pixabay)

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 이제까지 집합의 기본개념부터 집합의 각종 연산을 공부해봤습니다. 오늘의 포스팅에서는 배운 집합을 활용하여 수 체계를 정리하는 시간을 가져보겠습니다. 오늘의 주제는 고교 수학 내신이나 수능 대비와는 관련성이 별로 없는 내용이니 가벼운 마음으로 참고하시기 바랍니다.

집합을 공부하고 있는 고등학교 학생분들은 수학에서 수체계가 어떻게 이루어져 있는지는 이미 알고 있을 겁니다. 인류 역사상 가장 먼저 사용된 자연수부터 시작해서 최근에 공부한 복소수까지의 내용을 이 글을 통해 간단히 정리하고 집합으로 표현해보도록 하겠습니다.

먼저 자연수는 물건의 개수를 세기 위해 만들어진 수이죠. 가장 기본적인 1부터 시작하여 여기에 1씩 계속 더해나가면 2, 3, 4 등의 원하는 자연수를 만들 수 있습니다. 자연수는 영어로 natural number라고 하며 이 단어의 앞글자를 따서 $N$이라고 표현할 수 있는데 대학 수학으로 가면 이 기호를 $\mathbb{N}$와 같이 독특하게 만들어서 자연수 집합을 나타내는 고유 기호를 정의하기도 합니다.

정수는 자연수에다 마이너스 부호를 붙여서 만든 음의 정수와 0 그리고 자연수를 통틀어서 지칭하는 수입니다. 중학교 1학년때 처음 배우고 그의 연산을 알아봤었죠. 한자로는 整數이며, 整는 '가지런할 정'으로 정리, 정돈할 때 쓰는 정입니다. 즉, 가지런히 정리된 수를 의미하죠. 영어로는 Integer라고 하지만 독일어인 Zahlen의 앞글자를 따서 $Z$라고 표현할 수 있으며 고유 기호로는 $\mathbb{Z}$를 사용합니다.

다음으로 유리수는 위에서 정의한 정수를 분모, 분자로 한 분수로 표현할 수 있는 수를 의미하죠. 이전 포스팅에서 한 번 얘기했었는데, 조건제시법으로 나타내면 다음과 같습니다. $0.3$이나 $-\frac{2}{7}$ 등이 여기에 속하죠.

$\left\{x~|~x는~유리수\right\}=\left\{\frac{q}{p}~|~p,~q는~정수,~p\neq0\right\}$

유리수는  영어로는 rational number로 rational은 이성적인, 합리적인이란 뜻을 가집니다. 그런데 합리적인 수라? 뭔가 이해가 안 되죠. 사실 rational number의 rational은 비율을 의미하는 ratio에서 파생된 용어로 비율로 나타낼 수 있는 수를 의미합니다. 그래야 수학적 정의와 맞아떨어지죠. 이것이 우리나라로 넘어보면서  유리수(有理數)로 번역된 것이죠. 이 한자를 직역하면 이성이 있는 수를 의미하는데 이것보다는 비율이 있다는 뜻으로 '유비수(有比數)'라고 고쳐야 한다는 주장도 존재합니다.
집합으로 나타낼 때는 나눗셈에서 몫을 의미하는 Quotient의 앞글자를 따서 $Q$로 표현할 수 있으며 고유 기호로는 $\mathbb{Q}$을 사용합니다.

그렇다면 무리수는 영어로 뭔지 짐작이 되시나요? 무리수는 실수에서 유리수가 아닌 수로 정의되죠. 영어로는 Irrational number입니다. 따라서 고유 기호로 $\mathbb{I}$를 사용하기도 합니다. $\pi $나 $\sqrt{3}$ 등이 이 집합의 원소가 되겠죠.

유리수와 무리수를 통틀어서 실수(實數)라고 하며 영어로는 Real number입니다. 이 단어의 앞글자를 따서 $R$로 나타낼 수 있고, 고유 기호로는 $\mathbb{R}$을 사용합니다. 모든 실수는 수직선 위에 각각의 수가 위치할 자리가 정해져 있으며, 수직선의 모든 자리는 실수로 이루어져 있습니다. 즉, 실수는 대소비교를 할 수 있는 가장 큰 수 체계에 해당됩니다.

마지막으로 복소수는 허수 단위 $i=\sqrt{-1}$를 기본단위로 하여 두 실수 $a$, $b$에 대하여 $a+bi$로 나타내어지는 수를 의미합니다. 여기서 $b=0$이면 실수가 되고 $b\neq 0$이면 허수가 되죠.
복소수는 영어로 Complex number라고 합니다. 말 그대로 복잡한 수죠. 그래서 집합은 $C$로 나타낼 수 있으며, 고유 기호로 $\mathbb{C}$를 사용합니다. 한자로는 複素數입니다.

참고로 허수는 수직선에 나타낼 수 없는 수이므로 영어로 Imaginary number입니다. 한자로는 虛數이죠. 무리수와 앞글자가 겹치다 보니까 허수 집합을 따로 나타내는 고유 기호는 알려진 게 없어서 차집합을 이용하여 $\mathbb{C-R}$로 나타냅니다.

지금까지 설명한 내용을 정리하면 다음과 같습니다.

수의 종류	영문 뜻	집합 기호
자연수	natural number	$\mathbb{N}$
정수	Zahlen(독일어)	$\mathbb{Z}$
유리수	Quotient	$\mathbb{Q}$
무리수	Irrational number	$\mathbb{R-Q}$ 또는 $\mathbb{I}$
실수	Real number	$\mathbb{R}$
허수	Imaginary number	$\mathbb{C-R}$
복소수	Complex number	$\mathbb{C}$

 

그리고 이들의 포함 관계를 벤다이어그램으로 나타내면 다음과 같습니다.

 

유리수, 실수, 복소수의 집합을 각각 $Q$, $R$, $C$라 할 때, 보기 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

<보기>

ㄱ. $a\in Q$, $b\in Q$이면 $a+b+ab\in Q$이다. ㄴ. $a\in Q$, $b\in Q$이면 $\sqrt{a+b}\in R$이다. ㄷ. $z\in C-R$이면 $\overline{z}\in C-R$이다.

① ㄱ     ② ㄱ, ㄴ     ③ ㄱ, ㄷ     ④ ㄴ, ㄷ     ⑤ ㄷ

ㄱ. 모든 유리수는 유리수끼리 더하거나 곱해도 유리수입니다. 그러한 성질을 유리수는 덧셈과 곱셈에 대하여 닫혀있다는 표현을 쓰기도 하죠. 따라서 ㄱ은 참입니다.

ㄴ. $a=-1$, $b=0$이면 $\sqrt{a+b}=\sqrt{-1}=i$ 이므로 $\sqrt{a+b}\notin R$이죠. 따라서 ㄴ은 거짓입니다.

ㄷ. $z\in C-R$이면 $z$는 허수이죠. 허수의 켤레복소수 역시 허수이므로 ㄷ은 참입니다.

이상으로부터 답은 ③번입니다.

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