집합의 연산 - 여집합과 차집합의 기본 개념 이해 (고1수학 집합과 명제)

집합의 연산 - 여집합과 차집합의 기본 개념 이해 (고1수학 집합과 명제)

네덜란드의 판화가인 마우리츠 코르넬리스 에스허르의 테셀레이션 작품인 천국과 지옥에는 흰색의 천사와 검은색의 악마가 서로 여집합의 관계를 이루고 있습니다. (그림 출처: Namuwiki)

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 지난 포스팅에서 합집합과 교집합의 개념을 알아봤습니다. 수의 연산에서는 덧셈과 곱셈뿐만 아니라 그 반대의 연산인 뺄셈과 나눗셈까지 존재하죠. 집합에서도 뺄셈을 정의할 수 있습니다. 이 포스팅에서는 여집합, 차집합에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

● 여집합의 정의

수학에서는 부정어인 '아니다'를 통해서 개념을 정의하는 경우도 많습니다. 대표적인 예가 무리수이죠. 무리수는 실수 중에서 유리수가 아닌 수를 의미합니다.

이와 같이 집합에서도 해당 집합에 들어있지 않은 원소들의 집합을 정의할 필요가 있죠. 그런데 해당하지 않는 원소들을 어떤 범위까지 생각할 것인지가 문제이므로 집합에서는 다음과 같이 모든 원소를 가진 전체집합을 먼저 정의한 다음, 그 안에서 여집합을 정의합니다.

어떤 집합에 대하여 그 부분집합을 생각할 때, 처음의 집합을 전체집합이라 하고, 이것을 기호로 $U$와 같이 나타낸다.   전체집합 $U$의 부분집합 $A$에 대하여 $U$의 원소 중에서 $A$에 속하지 않는 모든 원소로 이루어진 집합을 $A$에 대한 의 여집합이라 하고, 이것을 기호로 $A^C$와 같이 나타낸다.

전체집합 $U$는 상황에 따라 임의로 정할 수 있습니다. 여집합의 '여(餘)'는 남는다는 의미의 한자어입니다. '여분', '여백'의 '여'랑 같은 의미이죠. 즉, 임의로 주어진 전체집합 $U$안에서 특정 원소들로 집합 $A$를 만들었을때, 여기에 들어가지 않고 남아있는 원소들의 집합을 의미하는 겁니다.

$A^C$에서 $C$는 여집합을 뜻하는 Complement의 첫 글자입니다. 첨자라서 작게 보이지만 대문자로 표시한다는 것도 특징이고요. Complement는 일상에서도 "보완하고 덧붙인다"는 의미로 사용됩니다.

즉, 조건제시법으로 나타낸 정의와 벤다이어그램으로 나타낸 결과는 다음과 같습니다.

그림 출처: 좋은책 신사고 수학

어차피 원소를 전체집합 내에서 생각한다면 위의 정의에서 $x\in U$는 당연한 것이므로 이걸 생략하고 다음처럼만 정의해도 여집합을 나타내기에 부족함이 없죠.

$A^C=\{x|x\notin A\}$

다음 예시를 통해 여집합의 개념을 익혀봅시다.

자료 출처: EBS 수학의 왕도 수학(하)

 

전체집합 $U=\{1,2,3,4\}$의 부분집합 $A=\left\{4\right\}$에 대하여 집합 $A^C$의 모든 원소의 합을 구하시오.  [2018.11/3점]

$U=\{1,2,3,4\}$이므로 $A^C=\{1,2,3\}$입니다.

따라서 모든 원소의 합은 1+2+3=6

---

 

● 차집합의 정의

집합에서의 뺄셈은 다음과 같이 정의합니다.

두 집합 $A$, $B$에 대하여 $A$에는 속하지만 $B$에는 속하지 않는 원소로 이루어진 집합을 $A$에 대한 $B$의 차집합이라 하고, 이것을 기호로 $A-B$와 같이 나타낸다.

이것을 조건제시법과 벤다이어그램으로 니타 내면 다음과 같습니다.

그림 출처: 좋은책 신사고

위의 조건제시법에서 $A$만 $U$로 바꾸면 여집합의 정의와 같아지죠. 따라서 여집합 $A^C$는 $U-A$와 같이 표현할 수도 있습니다.

다음 예시를 통해 차집합의 개념을 익혀봅시다.

자료 출처: EBS 수학의 왕도 수학(하)

 

전체집합 $U=\left\{x|x는10이하의자연수\right\}$의 두 부분집합 $A$, $B$에 대하여 $A-B=\{2,3\}$, $B-A=\{1,4\}$, $(A\cup B{)}^C=\{6,7,8\}$을 만족시키는 집합 $A$의 모든 부분집합의 개수를 구하시오.  [2017.09/3점]

벤다이어그램을 그려서 조건에 따라 각 영역에 모든 원소들을 표시하고 나면 남은 원소 5, 9, 10이 들어갈 자리는 다음과 같이 $A\cap B$밖에 없습니다.

따라서 $n(A)=5$이므로 $A$의 모든 부분집합의 개수는

$2^5=$32

---

 

● 여집합과 차집합의 기본 성질

집합에 대한 다양한 연산을 하기 위해서는 합집합과 교집합에 대한 연산법칙과 더불어 여집합과 차집합에 대한 여러 가지 성질들을 알고 있어야 합니다. 아래에 정리된 모든 성질들은 벤다이어그램을 그려서 조금만 생각해 보면 직관적으로 이해할 수 있는 내용들입니다.

성질	보조설명
$(A^C{)}^C=A$	여집합의 여집합은 자기자신으로 돌아옵니다. 켤레복소수의 켤레복소수는 원래의 복소수로 돌아오는 것과 같은 이치죠.
$A\cup A^C=U$	모든 원소들은 $A$의 원소이거나 $A$의 원소가 아니거나 둘 중 하나이므로 $U\subset (A\cup A^C)$이고 따라서 $A\cup A^C=U$입니다.
$A\cap A^C=\varnothing$	$A$의 원소인 동시에 $A$의 원소가 아닌 원소는 존재하지 않으므로 $A\cap A^C=\varnothing$입니다.
$U^C=\varnothing$	여집합은 어떤 집합을 만드는데 쓰인 원소를 제외하고 남는 원소들의 집합을 의미하죠. 모든 원소가 집합 $U$에 들어가면 남는 원소는 없으므로 $U^C=\varnothing$입니다.
${\varnothing }^C=U$	마찬가지로 공집합을 만들때는 아무런 원소가 필요하지 않으므로 모든 원소들이 남아있게 됩니다. 따라서 ${\varnothing }^C=U$입니다.
$A-B=A\cap B^C$	차집합의 의미를 조금만 생각해보면 바로 성립하는 등식입니다. $A$에는 있지만 $B$에는 들어있지 않아야 하고 이것이 동시에 성립해야 하죠. 조건제시법으로 풀어내면 다음과 같습니다.
$n(A^C)=n(U)-n(A)$	$A$와 $A^C$는 서로소이므로 $n(U)=n(A)+n(A^C)$가 성립하고 여기서 이항만 하면 $n(A^C)=n(U)-n(A)$가 됩니다.
$n(A-B)=n(A)-n(A\cap B)$	$A-B$가 집합 $A$에는 있는데 집합 $B$에는 없는 원소들의 모임이므로 개수를 구할 때는 $A$에 있는 원소 중에서 $B$의 원소들을 제외하고 세면 됩니다.

추가적으로 다음과 같은 등식도 종종 이용됩니다. 이것 역시 벤다이어그램을 통해 직관적으로 이해할 수 있죠.

그림 출처: EBS 수학의 왕도 수학(하)

위의 등식은 $A$와 $B$의 자리를 바꿔도 성립하므로 교환법칙이 성립하는 것도 특징입니다. 이러한 집합을 대칭차집합이라고 합니다. 교과서에는 등장하지 않는 용어입니다.

 

전체집합 $U=\left\{x|x는20이하의자연수\right\}$의 두 부분집합 $A=\{1,3,a-1\}$, $B=\{a^2-4a-7,a+2\}$에 대하여 $(A\cap B^C)\cap (A^C\cap B)=\{1,3,8\}$일때, 상수 $a$의 값은?  [2015.11/3점]

① $5$     ② $6$     ③ $7$     ④ $8$     ⑤ $9$

$(A\cap B^C)\cap (A^C\cap B)=(A-B)\cup (B-A)=(A\cap B)-(A\cap B)$이며 이를 벤다이어그램으로 나타내면 다음과 같습니다.

즉, $(A\cap B)-(A\cap B)=\{1,3,8\}$이므로 $n((A\cap B)-(A\cap B))=3$이고 따라서
$n(A\cup B)=n(A\cap B)+3$입니다.

이 식을 $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$에 대입하면
$n(A\cap B)+3=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=5-n(A\cap B)$
$2n(A\cap B)=2$, $n(A\cap B)=1$

그런데 $A=\{1,3,a-1\}$에서 원소 1, 3은 $(A\cap B)-(A\cap B)$에 속하므로 결국 $A\cap B$가 가진 하나의 원소는 다음과 같이 $a-1$이 될 수밖에 없죠. 따라서 $B=\{a^2-4a-7,a+2\}=\{a-1,8\}$이 성립합니다.

그런데 $a-1$와 $a+2$가 같을 수는 없겠죠. 따라서 $a-1=a^2-4a-7$이며 나머지 원소 $a+2$는 $(A\cap B)-(A\cap B)$의 원소인 8과 같습니다.

결국, 이 두 방정식 모두를 만족하는 $a$의 값은 6이므로 답은 ②번입니다.

 

---

 

♥ 이해가 잘 되셨다면 공감과 선플은 포스팅 강의 제작에 큰 힘이 됩니다.
♥ 이해가 잘 안 되신 부분은 댓글을 통해 질문을 주세요.
♥ 본문의 내용은 추가, 보완될 수 있습니다.