네덜란드의 판화가인 마우리츠 코르넬리스 에스허르의 테셀레이션 작품인 천국과 지옥에는 흰색의 천사와 검은색의 악마가 서로 여집합의 관계를 이루고 있습니다. (그림 출처: Namuwiki)
안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다.수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.
지난 포스팅에서 합집합과 교집합의 개념을 알아봤습니다. 수의 연산에서는 덧셈과 곱셈뿐만 아니라 그 반대의 연산인 뺄셈과 나눗셈까지 존재하죠. 집합에서도 뺄셈을 정의할 수 있습니다. 이 포스팅에서는 여집합, 차집합에 대해 알아보도록 하겠습니다.
● 여집합의 정의
수학에서는 부정어인 '아니다'를 통해서 개념을 정의하는 경우도 많습니다. 대표적인 예가 무리수이죠. 무리수는 실수 중에서 유리수가 아닌 수를 의미합니다.
이와 같이 집합에서도 해당 집합에 들어있지 않은 원소들의 집합을 정의할 필요가 있죠. 그런데 해당하지 않는 원소들을 어떤 범위까지 생각할 것인지가 문제이므로 집합에서는 다음과 같이 모든 원소를 가진 전체집합을 먼저 정의한 다음, 그 안에서 여집합을 정의합니다.
어떤 집합에 대하여 그 부분집합을 생각할 때, 처음의 집합을 전체집합이라 하고, 이것을 기호로$U$와 같이 나타낸다. 전체집합 $U$의 부분집합 $A$에 대하여 $U$의 원소 중에서 $A$에 속하지 않는 모든 원소로 이루어진 집합을 $A$에 대한 의여집합이라 하고, 이것을 기호로 $A^C$와 같이 나타낸다.
전체집합 $U$는 상황에 따라 임의로 정할 수 있습니다. 여집합의 '여(餘)'는 남는다는 의미의 한자어입니다. '여분', '여백'의 '여'랑 같은 의미이죠. 즉, 임의로 주어진 전체집합 $U$안에서 특정 원소들로 집합 $A$를 만들었을때, 여기에 들어가지 않고 남아있는 원소들의 집합을 의미하는 겁니다.
$A^C$에서 $C$는 여집합을 뜻하는 Complement의 첫 글자입니다. 첨자라서 작게 보이지만 대문자로 표시한다는 것도 특징이고요. Complement는 일상에서도 "보완하고 덧붙인다"는 의미로 사용됩니다.
즉, 조건제시법으로 나타낸 정의와 벤다이어그램으로 나타낸 결과는 다음과 같습니다.
그림 출처: 좋은책 신사고 수학
어차피 원소를 전체집합 내에서 생각한다면 위의 정의에서 $x\in U$는 당연한 것이므로 이걸 생략하고 다음처럼만 정의해도 여집합을 나타내기에 부족함이 없죠.
$A^C=\left\{x~|~x\notin A \right\}$
다음 예시를 통해 여집합의 개념을 익혀봅시다.
자료 출처: EBS 수학의 왕도 수학(하)
전체집합 $U=\left\{1,~2,~3,~4 \right\}$의 부분집합 $A=\left\{4 \right\}$에 대하여 집합 $A^C$의 모든 원소의 합을 구하시오. [2018.11/3점]
$(A\cap B^C)\cap (A^C\cap B)=(A-B)\cup (B-A)=(A\cap B)-(A\cap B)$이며 이를 벤다이어그램으로 나타내면 다음과 같습니다.
즉, $(A\cap B)-(A\cap B)=\left\{1,~3,~8 \right\}$이므로 $n\left ((A\cap B)-(A\cap B)\right )=3$이고 따라서 $n(A\cup B)=n(A\cap B)+3$입니다.
이 식을 $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$에 대입하면 $n(A\cap B)+3=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=5-n(A\cap B)$ $2n(A\cap B)=2$, $n(A\cap B)=1$
그런데$A=\left\{1,~3,~a-1 \right\}$에서 원소 1, 3은$(A\cap B)-(A\cap B)$에 속하므로 결국 $A\cap B$가 가진 하나의 원소는 다음과 같이 $a-1$이 될 수밖에 없죠. 따라서 $B=\left\{a^2-4a-7,~a+2 \right\}=\left\{a-1,~8 \right\}$이 성립합니다.
그런데$a-1$와$a+2$가 같을 수는 없겠죠. 따라서 $a-1=a^2-4a-7$이며 나머지 원소$a+2$는$(A\cap B)-(A\cap B)$의 원소인 8과 같습니다.
결국, 이 두 방정식 모두를 만족하는 $a$의 값은 6이므로 답은②번입니다.
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