드모르간 (De Morgan, A., 1806~1871): 영국의 수학자로 드모르간의 법칙을 만들었고, 기호 논리학의 발전에 기여하였습니다. (그림 출처: 좋은책 신사고 수학)
안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다.수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.
직전 포스팅에서 여집합과 차집합의 개념과 기본성질에 대해 알아봤습니다. 오늘 포스팅에서는 여집합에 대한 마지막 성질이면서 매우 중요한 드모르간의 법칙에 대해 알아보겠습니다.
●드모르간의 법칙
드모르간의 법칙은 괄호로 결합한 집합에 여집합을 달면 어떻게 풀릴까에 대한 문제입니다. 수의 곱셈식에다 제곱을 할 경우 $(a\times b)^2=a^2\times b^2$와 같이 풀리는 게 자연스러운데 집합의 연산에서는 다음과 같이 합집합과 교집합 간의 연산이 바뀌는 현상이 나타나므로 매우 주의할 필요가 있습니다.
보다시피 합집합으로 결합된 집합의 여집합에서는 연산이 교집합으로 바뀌고, 교집합으로 결합된 집합의 여집합에서는 연산이 합집합으로 바뀌죠. 이렇게 독특한 성질을 보이므로 수학자의 이름까지 따서 드모르간의 법칙으로 불리게 되었습니다.
교과서에서는 $(A\cup B)^C=A^C\cap B^C$인 이유를 다음과 같이 벤다이어그램을 통해 유도하고 있으며,$(A\cap B)^C=A^C\cup B^C$인 이유도 마찬가지로 어렵지 않게 확인할 수 있습니다.
그림 출처: 좋은책 신사고 수학
그러나 이런 절차적 이해보다는 좀 더 소울을 담아서 직관적 이해를 할 수 있다면 좋겠죠.
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● 실생활 예를 통한 드모르간의 법칙의 이해
예를 들어, 모의고사를 봤는데국어와 수학이 모두 1등급인 학생에게는 특별 장학금을 주는 제도가 있다고 가정해봅시다. 여기서 국어가 1등급인 학생들의 집합을 $A$, 수학이 1등급인 학생들의 집합을 $B$라고 하면 장학금을 받게 되는 학생들의 집합은$A\cap B$으로 나타낼 수 있겠죠? 이때, 특별 장학금을 받지 못하는 학생들이 속할 집합은$(A\cap B)^C$가 됩니다.
그렇다면 상식적으로 특별 장학금을못받는 학생들은 어떤 아이들이 될까요? 국어와 수학이 모두 1등급이 안 되는 학생들도 있겠지만 두 과목 중 한 과목은 1등급인 학생들도 있을 수 있겠죠. 즉,국어가 1등급이 안 되거나또는수학이 1등급이 안 되는 학생들이 이 집합에 속한다는 것이고 이것을 식으로 표현하면$A^C\cup B^C$이 되는 겁니다.
그렇다면 이번에는 특별 장학금 제도의 기준을 완화해서국어가 1등급이거나 또는 수학이 1등급인 학생에게 특별 장학금을 주는 제도를 만들었다고 가정해봅시다. 이번에는 둘 중 하나라도 1등급을 받으면 받을 수 있으므로, 특별 장학금을 받게 되는 학생들의 집합은$A\cup B$이 되며특별 장학금을 받지 못하는 학생들이 속할 집합은$(A\cup B)^C$이 됩니다.
그렇다면 상식적으로 특별 장학금을못받는 학생들은 어떤 아이들이 될까요? 이번에는 국어와 수학 모두 1등급이 안 되는 학생들만 여기에 속하겠죠. 즉,국어가 1등급이 안 되고수학도 1등급이 안 되는 학생들이 이 집합에 속하게 되며, 이것을 식으로 표현하면$A^C\cap B^C$이 되는 겁니다.
지금까지 설명은 다음의 표로 요약할 수 있습니다.
국어와 수학이모두1등급인 학생에게 특별 장학금을 줄 때
장학금을 받는 학생들의 집합
$A\cap B$
국어와 수학둘 다1등급인 학생들의 집합
장학금을 못 받는 학생들의 집합
$(A\cap B)^C=A^C\cup B^C$
국어가 1등급이 안 되거나또는수학이 1등급이 안 되는 학생들의 집합
국어또는수학이 1등급인 학생에게 특별 장학금을 줄 때
장학금을 받는 학생들의 집합
$A\cup B$
국어가 1등급이거나또는수학이 1등급인 학생들의 집합
장학금을 못 받는 학생들의 집합
$(A\cup B)^C=A^C\cap B^C$
국어와 수학둘 다 1등급이 안 되는 학생들의 집합
●드모르간의 법칙의 확장
위의 실생활 예시와 같은 원리로 다음과 같이 집합이 3개 이상인 경우에도 똑같이 확장하여 적용할 수 있습니다.
국어, 수학, 영어모두1등급인 학생에게 특별 장학금을 줄 때
장학금을 받는 학생들의 집합
$A\cap B\cap C$
국어, 수학, 영어셋 다1등급인 학생들의 집합
장학금을 못 받는 학생들의 집합
$(A\cap B\cap C)^C$ $=A^C\cup B^C\cup C^C$
국어가 1등급이 안 되거나또는수학이 1등급이 안 되거나 또는 영어가 1등급이 안 되는 학생들의 집합
국어또는수학 또는 영어가 1등급인 학생에게 특별 장학금을 줄 때
장학금을 받는 학생들의 집합
$A\cup B\cup C$
국어가 1등급이거나또는수학이 1등급이거나 또는 영어가 1등급인 학생들의 집합
장학금을 못 받는 학생들의 집합
$(A\cup B\cup C)^C$ $=A^C\cap B^C\cap C^C$
국어, 수학, 영어셋 다 1등급이 안 되는 학생들의 집합
따라서 다음과 같이 정리할 수 있습니다. 이 부분은 교육과정 내의 내용은 아니지만 뒤에서 배울 명제와 연계하면 충분히 다루어질 수 있습니다. 같은 원리로 4개 이상의 집합의 연산에서도 똑같이 적용할 수 있습니다.
●드모르간의 법칙 연습문제
다음 중에서 아래 벤다이어그램의 색칠한 부분을 나타내는 집합과 항상 같은 집합은? [좋은책 신사고 수학]
① $(A^C\cap B)\cup C^C$ ② $(A^C\cap B^C)\cap C^C$ ③ $(A^C\cap B^C)\cap C$ ④ $(A\cup B)\cap C$ ⑤ $A\cap(B\cap C)^C$
어느 회사의 전체 신입사원 200명 중에서 소방안전 교육을 받은 사원은 120명, 심폐소생술 교육을 받은 사원은 115명, 두 교육을 모두 받지 않은 사원은 17명이다. 이 회사의 전체 신입사원 200명 중에서 심폐소생술 교육만을 받은 사원의 수는? [2014.11/3점]
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