안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다.수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.
명제 단원의 두번 째 강의입니다. 이전 포스팅에서 명제, 조건, 진리집합에 대해 알아봤습니다. 오늘은 명제와 조건의 부정에 대해 알아볼 것이며, '또는'이나 '그리고'로 수식된 명제를 부정하면 어떻게 되는지 자세히 알아보도록 하겠습니다.
● 명제의 부정
수학에서는 '아니다'를 붙여서 논리를 전개하는 경우가 많죠. 집합에서도 특정 집합에 속하지 않는 원소들의 집합을 여집합이라고 정의했습니다.
같은 맥락에서 명제 또는 조건 $p$에 대하여 '$p$가 아니다'를 $p$의 부정이라고 하며, 기호로 '$\sim p$'와 같이 나타냅니다. 물결 모양의 기호가 아니다를 의미해서 읽을 때도 "not"으로 읽으면 됩니다. 즉, $\sim p$는 'not $p$'라고 읽으면 됩니다.
명제 $p$가 참이면 $\sim p$는 거짓이고, 명제$p$가 거짓이면$\sim p$는 참입니다. 그리고 명제 $\sim p$의 부정인 $\sim (\sim p)$는 원래의 명제 $p$와 같아지겠죠. 지난 포스팅에서 예시로 들었던 명제를 그대로 가져와서 부정을 구해보면 다음과 같습니다.
명제
진위
명제의 부정
진위
15는 3의 배수이다.
참
15는 3의 배수가 아니다.
거짓
$1+1=3$
거짓
$1+1\neq 3$
참
사람은 곤충이다.
거짓
사람은 곤충이 아니다.
참
한라산은 백두산보다 높다.
거짓
한라산은 백두산보다 높지 않다.
참
정삼각형의 세 내각의 크기는 모두 같다.
참
정삼각형의 세 내각의 크기는 모두 같지는 않다.
거짓
$\varnothing \subset \left\{1,~2,~3 \right\}$
참
$\varnothing$ ⊄ $\left\{1,~2,~3 \right\}$
거짓
●조건의 부정
조건의 경우 전체집합 $U$에 대하여 조건 $p$의 진리집합을 $P$라고 하면, $P$의 원소는 $p$를 만족시키죠. 반대로 $P^C$의 원소는 $p$를 만족시키지 않습니다. 즉, $\sim p$를 만족시키는 원소죠. 따라서 전체집합 $U$의 원소 중에서 $\sim p$가 참이 되게 하는 원소는 $P^C$의 원소이므로 $\sim p$의 진리집합은 $P^C$입니다.
그림 출처: EBS 수학의 왕도 수학(하)
다음의 예시를 통해 조건의 진리집합과 그 부정의 진리집합의 관계를 이해할 수 있습니다.
그림 출처: EBS 수학의 왕도 수학(하)
위의 예시에 의하면 부등식으로 된 조건 $p:~x>a$의 부정은 $\sim p:~x\leq a$가 된다는 사실을 유의해야겠죠. 부정은 반대의 개념이 아니라 여집합과 연결되는 개념이므로 원래 조건이나 그 부정 중에 하나에 반드시 등호가 들어가야 한다는 걸 유념하세요. 마찬가지로 위의 명제에서도 예시로 들었듯이 '한라산은 백두산보다높다.'의 부정은 '낮다.'가 아니라 '높지 않다.' 즉, '같거나 낮다.'가 되어야 한다는 점도 참고하세요.
전체집합 $U$에 대하여 세 조건 $p$, $q$, $r$의 진리집합을 각각 $P$, $Q$, $R$라 하자. 명제 $p~$→$~q$, $\sim p~$→$~q$, $\sim p~$→$~r$가 참일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [2009.09/4점]
세 명제$p~$→$~q$,$\sim p~$→$~q$,$\sim p~$→$~r$가 참인 것을 각각 진리집합간의 관계로 나타내면 다음과 같습니다.
$P\subset Q$, $P^C\subset Q$, $P^C\subset R$
먼저 두 식$P\subset Q$, $P^C\subset Q$으로부터 $P\cup P^C\subset Q$이고$P\cup P^C=U$이므로$Q=U$임을 알 수 있습니다.
그리고$P^C\subset R$로부터$R^C\subset P$이므로 세 집합$P$, $Q$, $R$의 관계는 다음 벤다이어그램과 같습니다.
이렇게 놓고 보기의 명제들을 살펴보면 다음과 같이 참, 거짓을 자연스럽게 끌어낼 수 있습니다.
ㄱ. $Q-R^C=U-R^C=(R^C)^C=R$ 이므로 참입니다.
ㄴ. $P-R=P\cap R^C=R^C$ 이므로 거짓입니다.
ㄷ. $Q-P=U-P=P^C\subset R$이므로 참입니다.
따라서 답은③번입니다.
● '또는'과 '그리고'의 관계
조건 '$p:~ab=0$'의 부정은 '$\sim p:~ab\neq 0$'인건 누구나 알죠. 그런데 0의 특징에 따라 식을 풀었을 경우 '$ab=0$'은 '$a=0$ 또는 $b=0$'와 같고 '$ab\neq 0$'은 '$a\neq 0$ 그리고 $b\neq 0$'와 같습니다.
이 말은 즉, '$a=0$ 또는 $b=0$'의 부정은 '$a\neq 0$ 그리고 $b\neq 0$'라는 뜻이 되겠죠.
표로 정리하면 다음과 같습니다.
구분
곱으로 나타낸 결과
풀어서 나타낸 결과
조건
$p:~ab=0$
$a=0$또는$b=0$
조건의 부정
$\sim p:~ab\neq 0$
$a\neq 0$그리고$b\neq 0$
일반적으로 조건 $p$와 $q$의 진리집합을 각각 $P$, $Q$라 하면 조건 '$p$ 또는 $q$'의 진리집합은 $P\cup Q$이 되고, 조건 '$p$ 그리고 $q$'의 진리집합은 $P\cap Q$이 됩니다. 그리고 드모르간의 법칙에 의해 이들의 여집합은 각각 $P^C\cap Q^C$, $P^C\cup Q^C$이므로 각 조건의 부정은 '$\sim p$ 그리고 $\sim q$', '$\sim p$ 또는 $\sim q$'가 돱니다.
조건
진리집합
진리집합의 여집합
조건의 부정
$p$ 또는 $q$
$P\cup Q$
$P^C\cap Q^C$
$\sim p$ 그리고 $\sim q$
$p$ 그리고 $q$
$P\cap Q$
$P^C\cup Q^C$
$\sim p$ 또는 $\sim q$
이러한 원리는 조건뿐만 아니라 명제에서도 그대로 성립합니다. 예를 들어, 명제 '3은 짝수이면서 소수이다.'는 참이 아니죠. 그렇다면 이 명제의 부정이 참이 되어야 하는데 부정을 '3은 홀수이면서 소수가 아니다.'라고 구하면 이것 역시 참이 아닙니다. 왜냐하면 3은 소수가 맞으니까요. '3은 짝수이면서 소수이다.'의 부정을 올바르게 구하면 '3은 홀수이거나 소수가 아니다.'가 되며 이 명제는 참이 됩니다.
즉, '또는'이 들어간 명제나 조건을 부정하면 '그리고'로 변하며 '그리고'가 들어간 명제나 조건을 부정하면 '또는'으로 변합니다. 이것은 집합에서 드모르간의 법칙과 직결되는 원리이므로 이것 또한 드모르간의 법칙이라 부르기도 합니다.
명제 '정사각형은 마름모가 아니거나 직사각형이 아니다.'의 부정으로 옳은 것은?
① 정사각형은 마름모이거나 직사각형이다. ② 정사각형은 마름모이지만 직사각형이 아니다. ③ 정사각형은 마름모가 아니지만 직사각형이다. ④ 정사각형은 마름모인 동시에 직사각형이다. ⑤ 정사각형은 마름모가 아니거나 직사각형이다.
댓글 영역