집합과 원소의 개념 이해 (고1 수학 집합과 명제)

집합과 원소의 개념 이해 (고1수학 도형의 방정식)

집합은 물건을 담고 있는 상자와 같은 개념입니다. (그림 출처: pixabay)

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 집합과 명제에 대한 첫 포스팅을 시작하겠습니다. 예전에는 집합과 명제 단원을 중학교 1학년과 2학년 때 각각 배웠습니다. 해당 내용이 중학생도 이해할 수 있을 만큼 쉽다는 특징도 있지만, 그만큼 수학에서 필수적으로 알아야 할 중요한 내용이기 때문이기도 합니다. 수학 내용을 전개하려면 숫자와 기호뿐만 아니라 구체적인 문장도 필요하죠. 집합과 명제 단원은 수학을 표현하는 언어라고 볼 수 있습니다. 집합과 명제를 계기로 수학은 좀 더 체계적이고 논리적으로 엄밀한 학문이 됩니다.

● 집합 및 원소의 뜻

집합이라는 용어는 일상에서도 자주 쓰이죠. 주로 사람들을 불러 모을 때 씁니다. 코로나 시대에 '집합 금지'라는 용어는 이제 전국민의 관심의 대상이죠. 이렇듯 집합은 개체들의 모임 또는 집단이라는 개념으로 이해할 수 있으며, 영어로는 Set라고 합니다.

논리와 원리를 탐구하는 수학에서 집합을 정의하려면 조건이 하나 붙습니다. 바로 분명한 기준이죠. 어떤 대상이 그 집합에 속하는지 아닌지가 명확해야 합니다. 따라서 수학에서의 집합은 다음과 같이 정의합니다.

어떤 조건에 의하여 그 대상을 분명히 정할 수 있을 때, 그 대상들의 모임을 집합이라 하고 집합을 이루는 대상 하나하나를 그 집합의 원소라고 한다.

예를 들어, 20 이하의 자연수의 모임이라고 하면 이 모임은 기준이 분명하므로 집합이 됩니다. 그리고 1, 2, 3, $\cdots$, 20은 이 집합의 원소가 됩니다. 그러나 작은 자연수의 모임이라고 하면 '작다'의 기준이 명확하지 않으므로 집합이 아닙니다. 따라서 '작다', '크다', '좋다', '나쁘다', '잘한다', '못한다', '예쁘다', '아름답다' 등 기준이 분명하지 않고 모호한 단어가 들어간다면 그런 모임은 수학에서는 집합이라고 하지 않습니다.

일상에서의 집합의 예는 뭐가 있을까요? 대한민국의 광역시의 모임, 대한민국의 학교의 모임, 한글 자음의 모임 등이 있을 수 있겠죠. 반면, 맛있는 음식의 모임, 맛집의 모임, 잘생긴 연예인의 모임 등은 집합이 아닙니다.

그럼 선생님들의 모임은 어떨까요? '좋다', '나쁘다' 등의 주관적 평가가 들어간 단어가 사용되지 않았으니 집합이라고 생각할 수도 있겠지만 이것 역시 집합이라 하기엔 무리가 있습니다. 왜냐? 선생님의 기준이 모호하기 때문이죠. 교사만 선생님이라고 부르는 게 아니라 누군가를 높여부를 때도 선생님이라 부르기도 하고 존경할만한 사람은 누구나 선생님이라고 부를 수 있죠.
한국음식의 모임은 어떨까요? 짜장면의 경우 한국음식인가 중국음식인가에 대한 모호함이 있고 요즘은 퓨전 음식들도 많이 나오기 때문에 역시 기준이 분명하지 않죠.

그럼 교사들의 모임은 어떨까요? 이것은 명백한 집합이라고 말할 수도 있겠으나 전세계의 모든 교사들을 대상으로 하는지 대한민국의 교사들만 대상으로 하는지 모호하다는 의견도 있을 수 있으며, 퇴직이나 휴직인 교사도 포함인지, 홈스쿨링 가정교사도 포함인지에 대한 의견도 있을 수 있습니다. 따라서 이런 논란의 여지가 있는 실생활 예시는 시험 문제에 출제하지 않는 것이 좋습니다.

 

● 원소임을 나타내는 기호

포스팅의 첫 부분에 제시한 사진 처럼 집합은 개체들을 담고 있는 상자 같은 개념이라고 생각할 수 있습니다. 즉, 원소보다는 상위의 개념이므로 보통 대문자 알파벳 $A$, $B$, $C$, $X$, $Y$, $S$, $U$ 등으로 나타냅니다. 반면, 원소는 집합에 비해 하위 개념이므로 소문자 알파벳으로 나타냅니다.

$a$가 집합 $A$의 원소일 때, 이것을 수학 기호로 $a\in A$와 같이 나타냅니다. 원소는 영어로 Element이며 이 단어의 앞글자 'E'로 만든 기호이죠. 따라서 읽을 때도 "a element A"라 읽을 수도 있고 그냥 "a는 A의 원소이다"라고 읽어도 됩니다.

여기에다 수학적으로 '속한다'라는 용어를 사용합니다. 즉, 어떤 집단에 소속된다는 의미가 되죠. 따라서 다음의 세 문장은 모두 같은 뜻을 나타낸다고 보시면 됩니다.

$a$는 집합 $A$의 원소이다. $a$는 집합 $A$에 속한다. $a\in A$

반대로 $a$가 집합 $A$의 원소가 아닐 때는 기호로 $a\notin A$로 나타냅니다. 같지 않다를 나타내는 기호 $\neq$와 마찬가지로 작대기를 그어서 나타내는 거죠. 읽을 때는 "a not element A"라 읽을 수도 있고 "a는 A의 원소가 아니다"라고 읽어도 됩니다.

예를 들어, 집합 $X$를 짝수들의 모임이라 정의하면 $2\in X$, $4\in X$이고 $3\notin X$, $5\notin X$입니다. 참고로 초중고 교육과정에서는 홀수, 짝수, 배수, 약수의 개념은 자연수 내에서 정의합니다.

 

● 집합의 표현

집합을 알파벳으로만 표현하면 원소의 구성을 알아 볼 수 없죠. 따라서 어떤 원소로 구성되어 있는지를 표현하는 방법을 정의할 필요가 있습니다. 여기에는 원소나열법과 조건제시법이 있습니다. 최근의 교육과정에서는 이 용어를 빼고 그냥 원소를 나열하는 방법, 조건을 제시하는 방법이라고 설명하고 있으나 굳이 뺄 필요가 없는 용어죠.

원소나열법은 말 그대로 원소를 그대로 나열하는 방법입니다. 예를 들어 집합 $A$를 10의 약수의 집합으로 정의하면 $A=\left\{ 1,~2,~5,~10\right\}$와 같이 표현하는 게 원소나열법입니다. 원소나열법은 원소의 개수가 적은 간단한 집합을 나타낼 때 유용하죠.

단, 집합의 표현에는 주의할 점이 있습니다. 집합에서는 원소를 중복하지 않는 것이 원칙입니다. 따라서 $A=\left\{ 10,~2,~5,~1\right\}$과 같이 순서를 바꿔서 나타내는 것은 상관 없으나 $A=\left\{ 1,~1,~2,~5,~10\right\}$과 같이 중복하여 표시하는 것은 허용하지 않습니다.

또한, 원소의 개수가 많더라도 규칙이 단순하면 기호 '$\cdots$'를 사용하여 생략할 수도 있습니다.
예를 들어, 집합 $\left\{1,~2,~3,~\cdots,~100\right\}$은 1부터 100까지의 모든 자연수의 집합이 되고 집합 $\left\{1,~2,~3,~\cdots\right\}$은 모든 자연수의 집합이 됩니다.

그렇다면 모든 유리수의 집합은 어떻게 표현할 수 있을까요? 유리수에는 $0.3$도 있고 $-\frac{17}{31}$도 있습니다. 이렇게 순서를 정돈하여 나타낼 수 없는 원소들의 집합은 더 이상 원소나열법으로 나타낼 수 없죠. 이럴 때, 필요한 방법이 바로 조건제시법입니다. 조건제시법은 집합에 속하는 모든 원소들이 갖는 공통된 성질을 조건으로 제시하는 방법입니다.
위에서 예시로 든 10의 약수의 집합은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$\left\{x~|~x는~10의~약수\right\}$

즉, 원소가 될 대상을 문자를 사용해서 변수로 나타내고 작대기를 그어서 그 변수의 조건을 오른쪽에 제시하는 것입니다. 이렇게 하면 어떠한 집합이든 표현할 수 있죠. 위에서 예시로 든 모든 유리수의 집합도 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$\left\{\frac{q}{p}~|~p,~q는~정수,~p\neq0\right\}=\left\{x~|~x는~유리수\right\}$

함수를 시각적으로 이해하기 위해 그래프가 필요하듯이 집합도 그림으로 표현합니다. 다음과 같이 원소들을 콤마(,)를 찍을 필요 없이 나열해서 원이나 사각형 등으로 에워싸서 나타내는 방식이죠. 이러한 표현을 수학자 벤의 이름을 따서 벤다이어그램이라고 합니다.

자료 출처: 좋은책 신사고

 

● 집합의 원소의 개수

집합은 원소들의 모임이므로 원소가 몇 개나 가지고 있는지도 중요한 개념입니다. 원소를 유한개 가진 집합을 유한집합, 원소를 무한개 가진 집합을 무한집합이라고 합니다. 예를 들어 1000 이하의 자연수의 집합은 원소가 유한개이므로 유한집합이고 자연수 전체의 집합은 무한집합입니다.

또한, 원소가 하나도 없는 집합을 공집합이라고 하며 이것을 기호로 $\mathbf{\varnothing}$와 같이 나타냅니다. 그리고 공집합은 유한집합으로 분류합니다.

수학에서 공집합의 예로는 10보다 큰 음수, 제곱하여 음수가 되는 실수 등이 있겠죠. 현실에서 공집합의 예로는 높이가 100km 이상인 산의 모임, 순간이동을 할 수 있는 사람의 모임 등이 있습니다.

그렇다면, 아무것도 없는 집합을 왜 정의할까요? 누군가는 높이가 100km이상인 산이 어디 있냐면서 그런 건 집합이라 할 수 없다고 주장할 수도 있습니다. 그러나 수학에서는 이 집합을 가지고 다양한 연산과 원리를 알아볼 것이므로 공집합은 반드시 필요합니다. 수에서도 큰 수를 나타내고 각종 연산을 하기 위해 0이라는 수가 필요하죠. 0이라는 수도 학문적으로 받아들이는데 역사적으로 오랜 시간과 어려움이 있었습니다. 하지만 0은 현대 수학에선 반드시 필요하죠. 공집합도 마찬가지인 겁니다.

이제 집합의 원소의 개수를 표현하는 기호를 알아보겠습니다. 집합 $A$가 유한집합일 때, $A$의 원소의 개수를 기호로 $n(A)$와 같이 나타냅니다. 여기서 $n$은 number의 앞글자를 가져온 기호죠. 즉, $n(A)$는 0이상의 정수 값을 가집니다. 특히, $\varnothing$는 공집합이므로 $n(\varnothing)=0$이 됩니다.

 

● 집합과 원소 연습 문제 풀이

집합은 그 자체로 어려운 개념이 아니므로 집합과 관련된 연습문제는 지금까지 배웠던 내용을 끌어다가 문제를 출제하는 경우가 대부분이므로 앞에서 배운 내용을 잘 알고 있어야 문제 또한 수월하게 풀 수 있습니다.

집합 $A=\left\{z~|~z=i^n,~n은~자연수\right\}$에 대하여 집합 $B=\left\{z_1 ^2+z_2 ^2~|~z_1\in A,~z_2\in A\right\}$ 일때, 집합 $B$의 원소의 개수를 구하시오. (단, $i=\sqrt{-1}$)  [2015.09/3점]

집합 $A$에서 제시된 조건이 $z=i^n,~n은~자연수$이므로 $n$에 자연수를 넣어서 나올 수 있는 모든 수를 원소로 택하면 됩니다. 따라서 이렇게 해서 나오는 $z$는 $i$, $-1$, $-i$, $1$이고 따라서 $A=\left\{1,~-1,~i,~-i\right\}$입니다.

따라서 $A$의 원소 $z$에 대하여 $z^2=1$ 또는 $z^2=-1$이므로 집합 $B$의 원소가 될 수 있는 수는

$1+1=2$, $1+(-1)=0$, $-1-1=-2$ 입니다.

즉, $B=\left\{-2,~0,~2\right\}$이므로 $B$의 원소의 개수는 $3$입니다.

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다음 집합의 원소의 개수를 구하시오.

(1) $\left\{x~|~x^2+2x+2=0,~x는~실수\right\}$

(2) $\left\{x~|~x^2+2x+2=0\right\}$

(3) $\left\{x~|~x^2+2x+1=0\right\}$

(1) 방정식 $x^2+2x+2=0$은 판별식이 음수이므로 실근이 없죠. 따라서 원소의 개수는 0입니다.

(2) (1)번 문제처럼 0이라고 했다간 아까운 점수를 날리게 되죠. $x$에 대한 특별한 조건이 없으므로 서로 다른 두 허근이 집합의 원소가 됩니다. 따라서 원소의 개수는 2입니다.

(3) (2)번 문제처럼 2라고 했다간 또 아까운 점수를 날리게 됩니다. 이차방정식은 복소수의 범위에서 항상 2개의 근을 가진다고 배운 적이 있죠. 그러나 집합에서는 중복을 허용하지 않으므로 이 집합의 조건처럼 중근이 나오는 방정식의 경우는 원소의 개수가 1이 됩니다.

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위에서 여러 예시를 들었듯이, 집합에 들어가는 원소는 숫자뿐만 아니라 도시 이름도 들어가고 사람도 들어갈 수 있죠. 수학에서도 원소가 될 수 있는 대상은 제한이 없습니다. 따라서 도형이나 함수가 원소가 될 수도 있으며 심지어는 집합이 어떤 집합의 원소로 들어가기도 합니다. 따라서 다음과 같이 기호로 장난치는 문제를 낼 수도 있으니 헷갈리지 않도록 유의하세요.

다음 값을 구하시오.

(1) $n(\left\{1,~\left\{2,~3\right\}\right\})$

(2) $n(\left\{\left\{1,~2,~3\right\}\right\})$

(3) $n(\left\{\varnothing\right\})$

 

(1) 문제를 유심히 보지 않고 3이라고 답하면 역시 낭패를 봅니다. 문제에서 주어진 집합 $\left\{1,~\left\{2,~3\right\}\right\}$은 $1$이라는 원소와 $\left\{2,~3\right\}$라는 원소를 가진 집합이죠. 따라서 답은 2입니다.

(2) 역시나 3이라고 답하면 틀립니다. 문제에서 주어진 집합 $\left\{\left\{1,~2,~3\right\}\right\}$은 $\left\{1,~2,~3\right\}$이라는 원소 하나를 가진 집합입니다. 따라서 답은 1입니다.

(3) 마찬가지로 0이라고 하면 틀립니다. 문제에서 주어진 집합은 $\varnothing$이라는 원소를 하나 갖고 있는 집합이죠. 따라서 답은 1입니다.

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