집합 사이의 포함 관계 및 부분집합의 개념 이해 (고1수학 집합과 명제, 부분 집합의 개수 구하기)

집합 사이의 포함 관계 및 부분집합의 개념 이해 (고1수학 집합과 명제, 부분 집합의 개수 구하기)

선물 상자를 받았을때, 상자 안에 또 상자가 나온다면 당황스럽겠죠? 부분 집합은 가상의 상자와 같은 개념인 집합 안에 상자가 또 들어있는 개념이라 볼 수 있습니다. (그림 출처: pixabay)

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 집합과 명제 두 번째 포스팅입니다. 오늘은 집합 사이의 포함관계와 부분집합에 대해 다뤄보겠습니다.

● 부분집합이란?

우선 부분집합에 대한 교과서의 설명부터 살펴보겠습니다.

출처: 좋은책 신사고

위의 설명과 같이 집합의 모든 원소가 다른 집합에 속한다는 것이 부분집힙의 정의입니다. 그리고 '포함된다', '포함한다'는 용어를 사용하고 있습니다. 집합의 원소를 나타낼 때 썼던 '속한다'와 매우 유사하지만 수학에서는 구분하여 쓰고 있다는 것에 주목할 필요가 있겠죠. 따라서 다음의 문장들은 전부 같은 의미를 나타냅니다. 참고로 기호 $\subset$는 포함한다는 뜻의 'Contain'의 앞글자를 따서 만든 것입니다. 

$A\subset B$ $A$는 $B$의 부분집합이다, $A$는 $B$에 포함된다. $B$는 $A$를 포함한다.

예를 들면, $A=\left\{ 1,~2\right\}$, $B=\left\{ 1,~2,~3,~4\right\}$ 이면 $A$의 모든 원소 1, 2가 $B$에 속하므로 $A$는 $B$의 부분집합이 됩니다. 따라서 $A\subset B$입니다.
반대로 $B$에 있는 3 또는 4는 $A$에 속하지 않으므로 $B$는 $A$의 부분집합이 아니죠. 따라서 $B$⊄ $A$입니다.

한편, 집합 $A$의 모든 원소는 집합 $A$가 가지고 있죠. 따라서 위의 정의에 의하면 다음과 같이 자기 자신도 부분집합이 됩니다.

$A\subset A$

또한, 공집합 $\varnothing$은 모든 집합의 부분집합으로 정의합니다. 즉, $\varnothing\subset A$입니다.

첫 부분에서 집합은 상자와 같은 개념이라고 얘기했었죠? 다음 그림과 같이 생일날 누군가한테 선물 상자를 받았는데 상자를 열어보니 상자가 또 있는 상황을 가정할 수 있겠죠? 또한, 이것저것 안에 든 물건을 봤는데 그중에 빈 상자가 있는 것도 가정할 수 있는 겁니다. 썩 맘에 드는 상황은 아니지만, 이런 맥락으로 보면 자기 자신과 공집합 또한 부분집합에 해당한다는 것을 이해할 수 있습니다.

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예를 들어, 집합 $\left\{ 1,~2,~3\right\}$의 부분집합을 모두 구해보겠습니다. 부분집합을 모두 구할 때는 종류에 따라 나눠서 구하는 게 좋겠죠? 여기서는 원소의 개수에 따라 분류할건데 이때 원소의 개수가 0개인 공집합 또한 빼먹지 말아야 합니다. 물론 자기 자신까지 포함해서요.

원소가 0개인 부분집합: $\varnothing$

원소가 1개인 부분집합: $\left\{ 1\right\}$, $\left\{ 2\right\}$, $\left\{ 3\right\}$

원소가 2개인 부분집합: $\left\{ 1,~2\right\}$, $\left\{ 2,~3\right\}$, $\left\{ 1,~3\right\}$

원소가 3개인 부분집합: $\left\{ 1,~2,~3\right\}$ (자기자신)

이렇게 해서 총 8개의 부분집합을 구할 수 있습니다.

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두 집합 $A=\left\{x~|~(x-5)(x-a)=0\right\}$, $B=\left\{-3,~5\right\}$에 대하여 $A\subset B$를 만족시키는 양수 $a$의 값을 구하시오.  [2019.11/3점]

조건에 의해 집합 $A$는 $5$와 $a$를 원소로 가집니다. 그런데 $A\subset B$이므로 $a\in B$이고 따라서 $a=-3$ 또는 $a=5$이죠. 그런데 $a$는 양수이므로 $a=5$입니다.

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● 두 집합이 같을 조건

수학에서 새로운 대상을 배우면 그들끼리 같을 조건을 정의하는 것이 필수 과정이죠. 예를 들어 두 점 $(a,~b)$, $(c,~d)$가 서로 일치하는 점이라면 즉, $(a,~b)=(c,~d)$라면 $a=c$이고 $b=d$입니다.

마찬가지로 두 집합이 서로 같기 위해서는 그 집합에 들어있는 원소의 구성이 모두 같으면 되겠죠. 집합에서는 이러한 조건을 부분집합을 가지고 다음과 같이 정의합니다.

두 집합 $A$, $B$에 대하여 $A\subset B$이고 $B\subset A$일 때, $A$와 $B$는 서로 같다고 하며, 이것을 기호로 $\mathbf{A=B}$와 같이 나타낸다. 또 두 집합 $A$, $B$가 서로 같지 않을 때, 이것을 기호로 $\mathbf{A\neq B}$와 같이 나타낸다.

한편, 두 집합 $A$, $B$에 대하여 $A\subset B$이고 ${A\neq B}$일 때, $A$를 $B$의 진부분집합이라고 합니다. 진부분집합에서 '진'은 한자로는 眞로 '진짜'를 의미합니다. 요즘 말로 '찐'부분집합이라고 이해하시면 되겠죠? 영어로는 proper subset이라고 합니다.

 

두 집합 $A=\left\{2,~3,~x\right\}$, $B=\left\{3,~4,~2y\right\}$에 대하여 $A=B$일 때, $x+y$의 값은?  [2015.03/2점]

① $1$     ② $2$     ③ $3$     ④ $4$     ⑤ $5$

$\left\{2,~3,~x\right\}=\left\{3,~4,~2y\right\}$이므로 $x=4$이고 $2y=2$임은 금방 알 수 있겠죠?
따라서 $x+y=4+1=5$이므로 답은 ⑤번입니다.

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● 부분 집합의 개수 구하기

어떤 집합의 부분집합의 개수는 막연하게 구해서 얻어지는 것이 아니라 일정한 규칙이 있습니다. 원래 집합에 원소가 몇 개 있느냐에 따라 달렸죠.

모든 부분집합은 다음과 같이 특정한 원소가 속한 집합과 속하지 않는 집합으로 분류할 수 있습니다. 즉, 여기서는 중학교 때 가볍게 배웠던 경우의 수 개념이 이용되며, 각 원소는 동시에 선택하여 부분집합을 만들기 때문에 곱의 법칙이 이용됩니다.

출처: EBS 수학의 왕도 수학(하)

이와 같은 원리로 부분집합을 구하면 원소가 3개인 집합의 부분집합의 개수는 $2^3=8$개가 됩니다.

이것을 $n$개의 원소를 가진 집합으로 일반화하면 다음과 같습니다. 참고로 아래와 같이 나뭇가지 모양으로 뻗어나가는 그림을 수형도라고 합니다.

출처: EBS 수학의 왕도 수학(하)

즉, $n$개의 원소를 가진 집합 $A$의 부분집합의 개수는 $2^{n(A)}$가 됩니다.

이번에는 좀 더 구체적인 옵션을 달아보겠습니다. 집합 $A=\left\{ a,~b,~c\right\}$의 부분집합 중에서 $a$를 원소로 갖는 부분집합은 몇 개일까요? 이때에는 위의 수형도에서 $a$라는 원소는 O와 X 중에 오직 O만 선택할 수 있죠. 그래서 $a$로 인한 경우의 수는 2가 아니라 1이 되는 겁니다. 따라서 나머지 $b$, $c$에 대해서만 O, X의 두 가지 선택권을 가지므로 $a$를 원소로 갖는 부분집합의 개수는 $2^2=$4가 됩니다.

반대로 집합 $A=\left\{ a,~b,~c\right\}$의 부분집합 중에서 $a$를 원소로 갖지 않는 부분집합은 몇 개일까요? 이때는 수형도에서 $a$라는 원소는 O와 X 중에 오직 X만 선택할 수 있죠. 따라서 마찬가지로 $a$로 인한 경우의 수는 2가 아니라 1이 되고, 나머지 $b$, $c$에 대해서만 O, X의 두 가지 선택권을 가지므로 구하는 부분집합의 개수는 $2^2=$4가 됩니다.

이를 정리하면 다음과 같습니다.

출처: EBS 수학의 왕도 수학(하)

 

집합 $A=\left\{1,~2,~3,~4\right\}$의 부분집합 중에서 적어도 하나의 소수를 원소로 갖는 부분집합의 개수를 구하시오.

$1,~2,~3,~4$중에서 소수는 $2$, $3$이므로 이중 적어도 하나의 원소를 갖는 부분집합의 개수를 구하면 됩니다. 이 경우 다음의 세 가지 경우로 나눌 수 있습니다.

1. $2$는 속하고 $3$은 속하지 않는 부분집합의 개수: $2^2=4$
2. $2$는 속하지 않고 $3$은 속하는 부분집합의 개수: $2^2=4$
3. $2$, $3$ 모두 속하는 부분집합의 개수: $2^2=4$

따라서 $4+4+4=12$로 답을 구할 수 있는데, 이보다 더 좋은 방법은 반대의 경우 즉, $2$, $3$ 둘 다 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수를 먼저 구하는 겁니다,
해당 부분집합은 $2^2=4$이고 나머지 부분집합은 모두 $2$, $3$중 적어도 하나의 원소를 가지므로 답은
$2^4-2^2=16-4=$12로 구할 수 있습니다.

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