안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽게 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다.수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.
도형의 방정식 평면좌표에 이어서 오늘부터는 직선의 방정식에 대한 포스팅을 이어가겠습니다. 이전 포스팅에서 언급했듯이 직선은 작도를 통해 그릴 수 있는 가장 기본적인 도형입니다. 이미 초등학교 때부터 직선과 선분의 정의를 배웠을 것이고, 중학교에서도 일차함수의 그래프가 직선 형태로 나타나는 것까지 배워서 직선에 대한 기본 내용은 이미 충분히 알고 있는 상태겠죠. 우리는 일차함수 의 그래프를 그리고 그 특징을 배운 적이 있습니다. 이 식에서 상수 은 직선의 기울기, 은 직선의 절편을 나타냅니다. 이와 같이 직선은 기울기와 한 점이 주어지면 딱 하나의 직선을 결정할 수 있습니다. 또한, 직선을 작도할 때 두 점을 이어서 그리는 것처럼 서로 다른 두 점이 정해지면 그것으로도 하나의 직선을 결정할 수 있죠. 오늘의 포스팅에서는 이러한 조건이 주어졌을 때 일반적으로 직선의 방정식을 구하는 방법을 알아보겠습니다.
● 한 점과 기울기가 주어진 직선의 방정식
좌표평면에서 점 을 지나고 기울기가 인 직선의 방정식을 구해봅시다. 중학교 때 배운 일차함수 식을 이용하여 구하는 직선의 방정식을 으로 놓을 수 있습니다. 이 기울기이므로 의 값만 구하면 되죠. 따라서 점 를 식에 대입하기 위해 를 로 를 로 바꾸면
,
구한 을 방정식 에 대입하면
,
이와 같이 을 대입하면 좌변이 둘다 0이 되도록 식을 꾸밀 수 있죠. 따라서 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
중학교의 일차함수 개념을 통해 간단히 유도할 수 있는 식이죠. 다만 이 식은 함수의 관점이 아니라 도형의 관점에서 유도한 식이므로 방정식이란 용어를 쓰고 있음을 참고하세요.
사실 직선의 방정식의 공식 형태를 이해하기 위해서는 다음의 유도과정이 더 도움이 될 수 있습니다.
도형의 방정식이란 도형 위의 모든 점 가 예외 없이 만족하는 방정식을 의미하며, 도형 밖의 점은 그 방정식을 만족하지 않아야 합니다. 따라서 도형 위의 임의의 한 점을 로 놓고 , 가 만족하는 관계식을 끌어내는 방식을 이용할 수 있습니다. 이 방식은 직선뿐만 아니라 뒤에서 배울 원의 방정식이나 기타 다양한 도형의 방정식을 유도하는 데도 유용하게 활용되니 아이디어를 잘 기억해 두시기 바랍니다.
즉, 점 가 직선 위의 어디에 있든 점 를 통해 구한 기울기는 일정한 값 이 나와야 하죠. 그리고 위의 식에서 분모 를 상대쪽 변으로 넘기기만 하면 공식 가 완성됩니다. 결국, 이 직선 위에 있는 모든 점 는 방정식 을 만족한다는 뜻이 됩니다.
기울기 이 양수인 경우는 직선이 축과 이루는 예각의 크기를 라 했을 때 로 나타낼 수도 있습니다. 따라서 다음의 탄젠트값도 잊지 않도록 합니다.
직선의 방정식 에서 인 경우는 어떻게 될까요? 우변이 통째로 0이 되면서 이라는 방정식이 만들어지죠. 즉, 의 값이 변해도 의 값은 변하지 않게 되면서 우리가 흔히 알고 있는 상수함수의 식이 되며 그래프는 다음 그림과 같이 축과 평행하거나 일치하는 직선을 이룹니다. 즉, 직선의 방정식 은 오른쪽 그림과 같이 을 만족하는 모든 점의 모임이 됩니다.
이제 서로 다른 두 점 , 을 지나는 직선의 방정식을 구하는 방법을 알아보겠습니다. 방정식을 구하는 원리는 앞에서 정리한 식 을 그대로 활용합니다. 단, 여기서는 기울기 이 주어지지 않았으므로 두 점 ,으로 기울기 을 다음과 같이 구하면 됩니다.
만약 이면 어떻게 될까요? 이때는 기울기 에서 분모가 0이 되어 기울기를 계산할 수 없게 됩니다. 즉, 축 방향으로 변화가 없는 직선이 되죠. 따라서 이 직선은 다음 그림과 같이 축과 수직인 직선이 됩니다. 따라서 이 직선의 방정식은 이 됩니다. 좌표가 이면 좌표는 어떠한 값이 되든 이 직선 위의 점이 되는 거죠. 보통 한 점과 기울기에 의해서 결정이 되지만 기울기를 정의할 수 없는 유일한 경우가 바로 이런 직선입니다.
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