직선의 방정식 공식의 자세한 이해 및 문제 풀이 (고1수학 도형의 방정식)

직선의 방정식 공식의 자세한 이해 및 문제 풀이 (고1수학 도형의 방정식)

직선으로 뻗은 도로

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽게 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 도형의 방정식 평면좌표에 이어서 오늘부터는 직선의 방정식에 대한 포스팅을 이어가겠습니다. 이전 포스팅에서 언급했듯이 직선은 작도를 통해 그릴 수 있는 가장 기본적인 도형입니다. 이미 초등학교 때부터 직선과 선분의 정의를 배웠을 것이고, 중학교에서도 일차함수의 그래프가 직선 형태로 나타나는 것까지 배워서 직선에 대한 기본 내용은 이미 충분히 알고 있는 상태겠죠. 우리는 일차함수 $y=mx+n$의 그래프를 그리고 그 특징을 배운 적이 있습니다. 이 식에서 상수 $m$은 직선의 기울기, $n$은 직선의 절편을 나타냅니다. 이와 같이 직선은 기울기와 한 점이 주어지면 딱 하나의 직선을 결정할 수 있습니다. 또한, 직선을 작도할 때 두 점을 이어서 그리는 것처럼 서로 다른 두 점이 정해지면 그것으로도 하나의 직선을 결정할 수 있죠. 오늘의 포스팅에서는 이러한 조건이 주어졌을 때 일반적으로 직선의 방정식을 구하는 방법을 알아보겠습니다.

 

● 한 점과 기울기가 주어진 직선의 방정식

 좌표평면에서 점 $\textrm{A}(x_{1},~y_{1})$을 지나고 기울기가 $m$인 직선의 방정식을 구해봅시다. 중학교 때 배운 일차함수 식을 이용하여 구하는 직선의 방정식을 $y=mx+n$으로 놓을 수 있습니다. $m$이 기울기이므로 $n$의 값만 구하면 되죠. 따라서 점 $\textrm{A}(x_{1},~y_{1})$를 식에 대입하기 위해 $x$를 $x_{1}$로 $y$를 $y_{1}$로 바꾸면

$y_{1}=mx_{1}+n$,     $n=y_{1}-mx_{1}$

구한 $n$을 방정식 $y=mx+n$에 대입하면

$y=mx+(y_{1}-mx_{1})$,     $y-y_{1}=m(x-x_{1})$

이와 같이 $\textrm{A}(x_{1},~y_{1})$을 대입하면 좌변이 둘다 0이 되도록 식을 꾸밀 수 있죠. 따라서 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

중학교의 일차함수 개념을 통해 간단히 유도할 수 있는 식이죠. 다만 이 식은 함수의 관점이 아니라 도형의 관점에서 유도한 식이므로 방정식이란 용어를 쓰고 있음을 참고하세요.

사실 직선의 방정식의 공식 형태를 이해하기 위해서는 다음의 유도과정이 더 도움이 될 수 있습니다.

도형의 방정식이란 도형 위의 모든 점 $(x,~y)$가 예외 없이 만족하는 방정식을 의미하며, 도형 밖의 점은 그 방정식을 만족하지 않아야 합니다. 따라서 도형 위의 임의의 한 점을 $\textrm{P}(x,~y)$로 놓고 $x$, $y$가 만족하는 관계식을 끌어내는 방식을 이용할 수 있습니다. 이 방식은 직선뿐만 아니라 뒤에서 배울 원의 방정식이나 기타 다양한 도형의 방정식을 유도하는 데도 유용하게 활용되니 아이디어를 잘 기억해 두시기 바랍니다.

즉, 점 $\textrm{P}(x,~y)$가 직선 위의 어디에 있든 점 $\textrm{A}(x_{1},~y_{1})$를 통해 구한 기울기는 일정한 값 $m$이 나와야 하죠. 그리고 위의 식에서 분모 $x-x_1$를 상대쪽 변으로 넘기기만 하면 공식 $y-y_{1}=m(x-x_{1})$가 완성됩니다. 결국, 이 직선 위에 있는 모든 점 $\textrm{P}(x,~y)$는 방정식 $y-y_{1}=m(x-x_{1})$을 만족한다는 뜻이 됩니다.

기울기 $m$이 양수인 경우는 직선이 $x$축과 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 했을 때 $m=\textrm{tan}\theta$로 나타낼 수도 있습니다. 따라서 다음의 탄젠트값도 잊지 않도록 합니다.

직선의 방정식 $y-y_{1}=m(x-x_{1})$에서 $m=0$인 경우는 어떻게 될까요? 우변이 통째로 0이 되면서 $y=y_1$이라는 방정식이 만들어지죠. 즉, $x$의 값이 변해도 $y$의 값은 변하지 않게 되면서 우리가 흔히 알고 있는 상수함수의 식이 되며 그래프는 다음 그림과 같이 $x$축과 평행하거나 일치하는 직선을 이룹니다. 즉, 직선의 방정식 $y=y_1$은 오른쪽 그림과 같이 $y=y_1$을 만족하는 모든 점의 모임이 됩니다.

 

● 두 점이 주어진 직선의 방정식

이제 서로 다른 두 점 $\textrm{A}(x_{1},~y_{1})$, $\textrm{B}(x_{2},~y_{2})$을 지나는 직선의 방정식을 구하는 방법을 알아보겠습니다. 방정식을 구하는 원리는 앞에서 정리한 식 $y-y_{1}=m(x-x_{1})$을 그대로 활용합니다. 단, 여기서는 기울기 $m$이 주어지지 않았으므로 두 점 $\textrm{A}(x_{1},~y_{1})$, $\textrm{B}(x_{2},~y_{2})$으로 기울기 $m$을 다음과 같이 구하면 됩니다.

만약 $x_{1}=x_{2}$이면 어떻게 될까요? 이때는 기울기 $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$에서 분모가 0이 되어 기울기를 계산할 수 없게 됩니다. 즉, $x$축 방향으로 변화가 없는 직선이 되죠. 따라서 이 직선은 다음 그림과 같이 $x$축과 수직인 직선이 됩니다. 따라서 이 직선의 방정식은 $x=x_1$이 됩니다. $x$좌표가 $x_1$이면 $y$좌표는 어떠한 값이 되든 이 직선 위의 점이 되는 거죠. 보통 한 점과 기울기에 의해서 결정이 되지만 기울기를 정의할 수 없는 유일한 경우가 바로 이런 직선입니다.

이상으로부터 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

 

● x절편, y절편이 주어진 직선의 방정식

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