상세 컨텐츠

본문 제목

직선의 방정식 공식의 자세한 이해 및 문제 풀이 (고1수학 도형의 방정식)

본문

반응형

직선의 방정식 공식의 자세한 이해 및 문제 풀이 (고1수학 도형의 방정식)

직선의 방정식 도입을 위한 그림
직선으로 뻗은 도로

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽게 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 도형의 방정식 평면좌표에 이어서 오늘부터는 직선의 방정식에 대한 포스팅을 이어가겠습니다. 이전 포스팅에서 언급했듯이 직선은 작도를 통해 그릴 수 있는 가장 기본적인 도형입니다. 이미 초등학교 때부터 직선과 선분의 정의를 배웠을 것이고, 중학교에서도 일차함수의 그래프가 직선 형태로 나타나는 것까지 배워서 직선에 대한 기본 내용은 이미 충분히 알고 있는 상태겠죠. 우리는 일차함수 y=mx+n의 그래프를 그리고 그 특징을 배운 적이 있습니다. 이 식에서 상수 m은 직선의 기울기, n은 직선의 절편을 나타냅니다. 이와 같이 직선은 기울기와 한 점이 주어지면 딱 하나의 직선을 결정할 수 있습니다. 또한, 직선을 작도할 때 두 점을 이어서 그리는 것처럼 서로 다른 두 점이 정해지면 그것으로도 하나의 직선을 결정할 수 있죠. 오늘의 포스팅에서는 이러한 조건이 주어졌을 때 일반적으로 직선의 방정식을 구하는 방법을 알아보겠습니다.

 

● 한 점과 기울기가 주어진 직선의 방정식

 좌표평면에서 점 A(x1, y1)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식을 구해봅시다. 중학교 때 배운 일차함수 식을 이용하여 구하는 직선의 방정식을 y=mx+n으로 놓을 수 있습니다. m이 기울기이므로 n의 값만 구하면 되죠. 따라서 점 A(x1, y1)를 식에 대입하기 위해 xx1yy1로 바꾸면

y1=mx1+n,     n=y1mx1

구한 n을 방정식 y=mx+n에 대입하면

y=mx+(y1mx1),     yy1=m(xx1)

이와 같이 A(x1, y1)을 대입하면 좌변이 둘다 0이 되도록 식을 꾸밀 수 있죠. 따라서 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

중학교의 일차함수 개념을 통해 간단히 유도할 수 있는 식이죠. 다만 이 식은 함수의 관점이 아니라 도형의 관점에서 유도한 식이므로 방정식이란 용어를 쓰고 있음을 참고하세요.

사실 직선의 방정식의 공식 형태를 이해하기 위해서는 다음의 유도과정이 더 도움이 될 수 있습니다.

도형의 방정식이란 도형 위의 모든 점 (x, y)가 예외 없이 만족하는 방정식을 의미하며, 도형 밖의 점은 그 방정식을 만족하지 않아야 합니다. 따라서 도형 위의 임의의 한 점을 P(x, y)로 놓고 x, y가 만족하는 관계식을 끌어내는 방식을 이용할 수 있습니다. 이 방식은 직선뿐만 아니라 뒤에서 배울 원의 방정식이나 기타 다양한 도형의 방정식을 유도하는 데도 유용하게 활용되니 아이디어를 잘 기억해 두시기 바랍니다.

즉, 점 P(x, y)가 직선 위의 어디에 있든 점 A(x1, y1)를 통해 구한 기울기는 일정한 값 m이 나와야 하죠. 그리고 위의 식에서 분모 xx1를 상대쪽 변으로 넘기기만 하면 공식 yy1=m(xx1)가 완성됩니다. 결국, 이 직선 위에 있는 모든 점 P(x, y)는 방정식 yy1=m(xx1)을 만족한다는 뜻이 됩니다.

기울기 m이 양수인 경우는 직선이 x축과 이루는 예각의 크기를 θ라 했을 때 m=tanθ로 나타낼 수도 있습니다. 따라서 다음의 탄젠트값도 잊지 않도록 합니다.

직선의 방정식 yy1=m(xx1)에서 m=0인 경우는 어떻게 될까요? 우변이 통째로 0이 되면서 y=y1이라는 방정식이 만들어지죠. 즉, x의 값이 변해도 y의 값은 변하지 않게 되면서 우리가 흔히 알고 있는 상수함수의 식이 되며 그래프는 다음 그림과 같이 x축과 평행하거나 일치하는 직선을 이룹니다. 즉, 직선의 방정식 y=y1은 오른쪽 그림과 같이 y=y1을 만족하는 모든 점의 모임이 됩니다.

y축에 수직인 직선

 

● 두 점이 주어진 직선의 방정식

이제 서로 다른 두 점 A(x1, y1), B(x2, y2)을 지나는 직선의 방정식을 구하는 방법을 알아보겠습니다. 방정식을 구하는 원리는 앞에서 정리한 식 yy1=m(xx1)을 그대로 활용합니다. 단, 여기서는 기울기 m이 주어지지 않았으므로 두 점 A(x1, y1), B(x2, y2)으로 기울기 m을 다음과 같이 구하면 됩니다.

만약 x1=x2이면 어떻게 될까요? 이때는 기울기 m=y2y1x2x1에서 분모가 0이 되어 기울기를 계산할 수 없게 됩니다. 즉, x축 방향으로 변화가 없는 직선이 되죠. 따라서 이 직선은 다음 그림과 같이 x축과 수직인 직선이 됩니다. 따라서 이 직선의 방정식은 x=x1이 됩니다. x좌표가 x1이면 y좌표는 어떠한 값이 되든 이 직선 위의 점이 되는 거죠. 보통 한 점과 기울기에 의해서 결정이 되지만 기울기를 정의할 수 없는 유일한 경우가 바로 이런 직선입니다.

x축에 수직인 직선

이상으로부터 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

 

● x절편, y절편이 주어진 직선의 방정식

♥ 이해가 잘 되셨다면 좋아요와 선플은 포스팅 강의 제작에 큰 힘이 됩니다.
♥ 이해가 잘 안 되신 부분은 댓글을 통해 질문을 주세요.
 본문의 내용은 추가, 보완될 수 있습니다.

 

728x90
반응형

관련글 더보기