두 점 사이의 거리의 개념 이해 및 문제 풀이 (고1수학 도형의 방정식)

두 점 사이의 거리의 개념 이해 및 문제 풀이 (고1수학 도형의 방정식)

지도 위의 두 지점 A, B 사이의 거리는 어떻게 구하면 좋을까요? (그림 출처: pixabay)

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽게 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 요즘 학생들이 중간고사 성적 확인까지 마치고 멘탈을 추스르면서 다음 진도를 달리고 있을 시기인데요. 고등학교 1학년 학생들이라면 지금쯤 학교 수업에서 새로운 대단원인 도형의 방정식을 들어갔을 것으로 예상됩니다. 그래서 오늘은 도형의 방정식의 첫 내용인 두 점 사이의 거리를 이해한 다음 몇 가지 응용문제를 풀어서 개념을 익혀보도록 하겠습니다.

 

● 내용 들어가기

 도형의 방정식은 도형을 다루는 기하에 해당합니다. 수학에서는 도형이 차지하는 비중이 만만치 않으며 웬만한 고난도 문제는 거의 도형에서 출제되는 경우가 많으므로 특히 신경 써서 공부해야 하는 부분이죠. 고등학교에서도 도형이 어김없이 등장한 것인데 이번에는 도형에다 방정식의 개념을 연결시키고 있죠. 지금까지 공부했던 도형은 빈 종이에다가 도형을 그려 보면서 성질을 분석하고 각이나 길이, 넓이 등을 측정하는 위주였는데, 여기서는 도형을 좌표평면 위에 그리고 방정식을 통해 도형을 표현하면서 좀 더 정밀한 분석이 이루어집니다. 이렇게 좌표평면 위에서 방정식을 통해 도형을 분석하는 분야를 해석기하라고 부릅니다.

 우리는 이 단원에서 도형을 구성하는 가장 기본적인 요소를 배우게 됩니다. 제일 먼저 도형을 이루는 가장 작은 단위인 점부터 시작하여 자와 컴퍼스만을 이용한 작도를 통해 그릴 수 있는 가장 기본적인 도형인 직선과 원을 공부하게 됩니다. 그리고 배운 내용을 바탕으로 도형을 이동하는 방법을 배우는 것으로 마무리됩니다. 오늘 포스팅을 통해 배울 내용은 점에 대한 얘기죠.

 점은 아무런 크기가 존재하지 않는 0차원의 도형이라 볼 수 있습니다. 따라서 좌표평면 위에 찍히는 점은 오직 위치 하나만으로 결정되죠. 평면좌표는 원점을 기준점으로 하여 이 점을 지나고 서로 수직인 x축과 y축이 존재하여 각 축의 좌표값으로 고유의 위치를 나타냅니다. 따라서 임의의 점 P는 그 점에서 각 축에다 그은 수선의 발이 나타내는 두 수 $x_{1},~y_{1}$에 의해 $\textrm{P}(x_{1},~y_{1})$로 나타냅니다.

 

● 수직선 위에서의 두 점 사이의 거리

 두 점 사이의 거리는 두 점을 연결한 선분의 길이를 의미하죠. 길이는 1차원 개념이므로 우선 수직선 위에서의 두 점 사이의 거리부터 정리해 봅시다.

 위의 그림에서 점 A와 점 B사이의 거리는 너무 쉽게 구할 수 있겠죠? 눈금을 세어봐도 되지만 두 점의 좌표중 큰 값인 -2에서 작은 값인 -5를 빼서 3임을 구할 수 있습니다. 그렇다면 점 A와 점 C사이의 거리는 얼마일까요? 두 점의 좌표의 부호가 서로 다르니 각각의 절댓값을 더해서 5+3=8로 구할 수도 있으나 마찬가지로 큰 값인 3에서 작은 값인 -5를 빼면 3-(-5)=8이 구해집니다. 만약 작은 값에서 큰 값을 빼면 -5-3=-8이 나오는데 여기에 절댓값을 씌우면 |-8|=8로 같은 값이 나옵니다.

 이와 같이 수직선 위에서 두 점 사이의 거리는 두 좌표 중 큰 값에서 작은 값을 빼서 구할 수 있죠. 만약 작은 값에서 큰 값을 빼더라도 절댓값을 씌우면 똑같은 양수가 되므로 다음과 같이 일반화할 수 있습니다.

 

● 좌표평면 위에서의 두 점 사이의 거리

 너무 쉬운 개념이므로 바로 좌표평면으로 넘어가겠습니다. 우리가 내용을 전개할 주된 무대는 수직선이 아니라 좌표평면이니까요.

 좌표평면 위의 두 점 $\textrm{A}(x_{1},~y_{1})$, $\textrm{B}(x_{2},~y_{2})$ 사이의 거리를 구해보겠습니다. 좌표의 정의에 의해 각 점에서 x축, y축에 각각 내린 수선의 발에다가 해당 좌표를 표시할 수 있습니다.

 이렇게 하면 위에서 수직선 위의 두 점 사이의 거리를 구했듯이 x축에 찍힌 두 좌표 $x_{1}$, $x_{2}$는 $\left|x_{2}-x_{1} \right|$만큼 떨어져 있고, y축에 찍힌 두 좌표 $y_{1}$, $y_{2}$는 $\left|y_{2}-y_{1} \right|$만큼 떨어져 있음을 알 수 있습니다. 이때, 우리는 위의 그림에서 붉은색으로 표시된 선분의 길이를 구하는 것이 목적입니다. 그럼 두 식 $\left|x_{2}-x_{1} \right|$, $\left|y_{2}-y_{1} \right|$을 어떻게 해야 원하는 길이를 구할 수 있을까요?

 여기서 필요한 게 바로 중학교 2학년 때 배운 피타고라스 정리입니다. 당시에는 피타고라스 정리를 원리 위주로 배우면서 직각삼각형이 되기 위한 조건 등의 간단한 문제들을 풀어봤겠지만, 피타고라스 정리의 활용도는 독자분이 생각하는 것보다 훨씬 광범위합니다. 어렸을 때 배운 수학을 다 까먹은 어른들도 피타고라스 정리만큼은 기억하실 정도로 이 정리는 유명하죠. 유명한 만큼 그 중요성 또한 크다는 것을 명심하기 바랍니다.
두 식 $\left|x_{2}-x_{1} \right|$, $\left|y_{2}-y_{1} \right|$은 그림에서 직각삼각형 의 가로와 세로의 길이를 나타냅니다. 따라서 두 점 $\textrm{A}(x_{1},~y_{1})$, $\textrm{B}(x_{2},~y_{2})$ 사이의 거리를 구하기 위해 다음과 같이 피타고라스 정리를 이용하면

 이렇게 근호를 사용한 식이 만들어집니다. 이 공식을 무작정 외울 것이 아니라 식에서 $(x_{2}-x_{1})^{2}$와 $(y_{2}-y_{1})^{2}$이 어떤 의미를 갖는지 꼭 생각하면서 익히도록 하세요.

 

● 문제 풀이

 관련 문제를 몇 개 풀면서 마무리 하겠습니다.

 

 

 위의 예제와 같이 단원 자체가 도형 분야이므로 중학교에서 배운 도형의 기본 성질을 이용하는 문제가 얼마든지 나올 수 있으니 잘 대비하시기 바랍니다. 두 점 사이의 거리는 간단한 개념이지만 그 활용도가 높으므로 다양한 상황에서 응용될 수 있습니다.

 거리와 관련된 문제를 풀 때는 일반적으로 거리를 구하기 위해 식을 이용하는 경우가 많지만, 반대로 주어진 식을 거리로 해석하여 문제를 풀 수도 있습니다. 수학에서는 이런 식으로 역발상을 필요로 하는 경우도 많다는 것을 참고하세요.

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